专题1.4 基本不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

专题1.4 基本不等式 知识点1：基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 【常用结论】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：“1”的代换求最值 题型四：配凑法求最值 题型五：消元法求最值 题型六：换元法求最值 题型七：齐次化求最值 题型八：多次运用基本不等式 题型九：三角换元法求最值 题型十：待定系数法 题型十一：万能K法 题型十二：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 题型十三：利用基本不等式解决实际问题 题型十四：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 题型一：基本不等式及其应用 1．（26-27高三上·全国·课堂例题）（多选）下列结论正确的是（    ） A．对于任意，，均成立 B．若，同号，则 C．若，，则恒成立 D．若，，且，则 【答案】BD 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于A，因为，即，所以. 如，，，，此时不成立. 综上，A错误. 对于B，若，同号，则，，所以， 当且仅当即时等号成立，B正确. 对于C，如，，，，此时不成立，C错误. 对于D，若，，则，当且仅当时等号成立. 而，所以等号取不到，所以若，，且，则，D正确. 2．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项． 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，由∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 4．（26-27高三上·全国·课堂例题）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 题型二：直接法求最值 5．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 6．（25-26高三上·甘肃定西·开学考试），且x，y都是正数，则的最大值是_______． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式即可求解． 【详解】由x，y都是正数， 则，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是． 7．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知，均为正实数，则的最小值为（     ） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由题意得， 而，均为正实数，由基本不等式可得， 当且仅当时取等，即时取等， 此时可得的最小值为，故D正确. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 由，得， 当且仅当即时取等号， 得到的最小值为. 题型三：“1”的代换求最值 9．（25-26高三下·陕西汉中·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 10．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）若，则的最小值为__________． 【答案】9 【详解】，故， 由对数有意义可知，则， ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9． 11．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 12．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 题型四：配凑法求最值 13．（25-26高三下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 14．（2026高三·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 15．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）（多选）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 16．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 题型五：消元法求最值 17．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为______. 【答案】36 【详解】已知实数满足，即，所以， 当且仅当时取等，解得，所以的最小值为36. 18．（26-27高三上·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 19．（2026高三·全国·专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【详解】由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 20．（25-26高三上·湖南株洲·期末）（多选）已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先化简成同底数幂，再利用基本不等式（积定和最小）可判断A；先利用消元法，再利用基本不等式可判断B；利用基本不等式（和定积最大）、柯西不等式、二次函数单调性均可判断C；利用常数代换法、函数单调性均可判断D. 【详解】A.由基本不等式得 =，当且仅当，即时等号成立，A正确； B.由得， =，当且仅当， 即时等号成立，B错误； C.法一：（基本不等式）由得，即， ，所以， 当且仅当，即时等号成立， 法二：（柯西不等式）， 同理时等号成立， 法三：（二次函数单调性）由得， ， 当时，函数有最小值，C正确； D. 法一：（常数代换法）由得， ==1， 当且仅当，即时取等号， 法二：（函数单调性）由得, =，令， 二次函数开口向下，对称轴，当时， 所以，当且仅当时取等号，D正确. 题型六：换元法求最值 21．（26-27高三上·陕西·开学考试）已知正数，满足，求的最大值． 【答案】 【分析】利用条件恒等变形换元，结合基本不等式锁定换元变量范围，再借助二次函数单调性求最值，注意定义域优先. 【详解】，且， ，即． 代入所求代数式： 令，原式． 由基本不等式：， ，当且仅当时取等． 二次函数，开口向下，对称轴 ，在上单调递增， 故当时取得最大值． 此时，解得：，． 代入： 的最大值为． 22．（2026高三上·全国·专题练习）已知，，且，则的最小值是________． 【答案】 【分析】将原式变形可得，设，构造函数，结合基本不等式可得，再根据函数单调性可得最值. 【详解】， 令，则原式可设为的函数，当时，此函数为单调递增函数， 因为，且，，当且仅当时，的最小值为， 又在上单调递增， 所以原式的最小值为， 则的最小值是. 23．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过双换元法将目标函数转化为求新变量乘积的形式，并结合已知条件利用基本不等式求出该乘积的最大值，最终代回原式求得最小值. 【详解】令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 24．（25-26高三下·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【详解】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 题型七：齐次化求最值 25．（25-26高三下·山东青岛·开学考试）已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 【答案】B 【分析】根据题意整理得，令，利用基本不等式求得，进而整理可得，结合对勾函数求最值. 【详解】∵， 令， ∵，，则，当且仅当，即时等号成立， 故，可得， 又∵在上单调递增，则， ∴，即S的最大值是. 故选：B. 26．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）（多选）已知均为正实数，则（    ） A．的最大值为1 B．若，则的最大值为8 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】应用基本不等式计算判断A，特殊值法计算判断B，应用基本不等式结合常数代换计算判断C，化简再应用二次函数值域计算判断D. 【详解】已知均为正实数， A中，因为，，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值为1，所以A正确； B中，当时，满足，但是， 所以的最大值不是8，所以B不正确； C中，若，则， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立，所以C正确； D中，由，可得， 则， 令，则， 又由，所以当，可得， ，即时，， 所以，所以D正确． 故选：ACD． 27．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 28．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得且，则，令，，，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】，，，即有且， 将代入得， 令，，， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值，即的最小值是. 故选：D. 题型八：多次运用基本不等式 29．（26-27高三上·全国·课后作业）已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先对进行拆分，分别求出和的最小值．对于，提取后，利用，构造齐次式，从而借助基本不等式求得最小值；对于，将看作常数，借助基本不等式求得最小值．求得的两个最小值都与有关，观察后再次借助基本不等式求得最小值． 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为，此时，，，． 30．（25-26高三下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，当，时，原式取得最小值. 31．（25-26高三下·重庆·阶段检测）对任意的正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值. 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 32．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，且，则的最小值为______． 【答案】64 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】法一：因为，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最小值为64． 法二：因为，，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为64． 故答案为：64. 题型九：三角换元法求最值 33．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知，则的最大值是__________. 【答案】 【分析】通过双曲线参数换元将所求表达式转化为关于正弦函数的二次函数，结合二次函数单调性与定义域求解最大值. 【详解】已知双曲线方程，设参数满足，， 其中，此时. 将代入所求表达式，得到 ， 由同角三角函数基本关系 ， 代入得 ，令， ， 则表达式转化为二次函数 . 该二次函数开口向下，对称轴为， 对称轴在定义域内，故最大值在处取得， 得到 ，即所求最大值为. 34．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）已知，且. ①求的最大值； ②求的最小值； ③求的最大值. 【答案】（1） （2）①；②；③. 【分析】（1）令，代入表达式中结合余弦二倍角公式，辅助角公式即可求解； （2）①结合已知条件，利用基本不等式先求解的最大值，即可得出的最大值；②将代入中化简，利用基本不等式求解即可；③由，得且，代入式子化简得，令，得出，代入化简后的式子，根据所给条件利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，令， 所以 ， 其中，所以当时，有最大值， 所以的最大值为：，即的最大值为. （2）①因为，所以， 由， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. ②因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. ③因为，所以，， 所以 ， 令，由，则，此时， 所以原式化为 因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最大值为. 35．（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知实数，满足，则的最小值是______． 【答案】 【分析】将原式变形成平方和形式，利用三角换元法求出,然后将用三角函数表示出来，再利用三角函数的有界性即可求出最小值. 【详解】原式变形为,设，化简得, 所以 ， 因为,当时，原式最小，最小值是. 36．（2026高三下·全国·专题练习）已知，，且满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】方法一：令，令，变形得到，由基本不等式得最小值为． 方法二：设其中，．令再令，得到，由基本不等式得到最小值为. 【详解】方法一：令，由，得 令 因为，所以，且从而 于是，， ， 因为，所以由基本不等式得， 因此，当且仅当，即 时等号成立． 此时 由，，得 此时，，且，所以所求最小值为． 方法二：设其中，． 由 ，得 因此， ， 令则， 且 再令 则 由基本不等式 所以 当 ，即时等号成立． 此时，所以． 结合，得 故所求最小值为 ． 题型十：待定系数法 37．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】将代入后剩下关于的二元不等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入所求关系式，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时，，， ， 当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为2. 故选：B. 38．（25-26高三上·山东淄博·阶段检测）设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，可得z＝x2﹣3xy+4y2，3，再利用基本不等式的性质与二次函数的单调性即可得出． 【详解】解：∵正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2， ∴3≥23＝1， 当且仅当x＝2y＞0，z＝2y2＞0时取等号． ∴x+2y﹣z＝4y﹣2y2＝﹣2（y﹣1）2+2≤2，y＝1，x＝2，z＝2时取等号． ∴x+2y﹣z的最大值为2． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质、配方方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 39．（25-26高三上·安徽池州·阶段检测）已知x，y，z为正实数，则的最大值为 A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以的最大值为，选C. 40．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由得，由x，y为正数得． （2）由得，利用基本不等式求最值即可. （3）由得，化简之后结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）∵，∴， ∵x，y为正数，∴， ∴． （2）∵，∴， ∴ ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为． （3）∵， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 题型十一：万能K法 41．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 故选：B. 42．（2026·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设，结合立方和公式得出，由，解关于的不等式，再利用基本不等式，再解关于的不等式得出结果. 【详解】根据题意可得：，即， 设， 则：，， ， ，， 解得或， 又， ，化简得， ①当时，不等式不成立； ②当时，，即， ，又恒成立，可得， 的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】易错点点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 43．（25-26高三下·浙江·阶段检测）若正数，，满足，则的最大值是________. 【答案】 【分析】将看成关于的方程，则问题等价于关于的方程有解，则，再将问题转化为关于的不等式有解，从而，进而得到结果. 【详解】解：把式子看作是关于的方程，则问题等价于关于的方程有解，则，即，则问题转化为关于的不等式有解，则，化简得，所以，此时，，符合条件. 故答案为： 【点睛】本题考查函数与方程，注意转化思想在解题中的应用，属于中档题. 44．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知正数，满足，则的最大值是__________. 【答案】/ 【分析】通过 “变量替换（比值法）” 将二元问题转化为一元函数的最值问题，然后由“判别式法”求得最大值. 【详解】设，即， 则， ∵关于的二次三项式的判别式，即恒成立， ∴， 则，， ∴， 令，则，方程一定存在正根， 则， 即，解得， 当时，方程整理为即，符合题意， ∴的最大值为. 故答案为：. 题型十二：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 45．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 46．（2026高三上·全国·专题练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 【答案】 【分析】代数变形后利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，故， 因为，故， 而，故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故，故实数的最大值是. 47．（2026高三上·全国·专题练习）已知不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值是______． 【答案】/ 【分析】利用均值不等式可求实数的最大值. 【详解】因为，故，故， 而，故， 故，当且仅当时等号成立， 故，故实数的最大值是. 48．（2026高三上·全国·专题练习）设正数满足，则使恒成立的实数的最大值是_______． 【答案】 【分析】由正数条件得，作比值换元，将约束条件与目标不等式全部转化为关于的不等式，恒成立问题转化为求式子最小值，借助换元和基本不等式求解. 【详解】由，得，即， 利用立方和公式得， 令，则，代入得， 所以，所以， 则， 要使恒成立，需使恒成立， 因为，所以，分离参数得， ， 当且仅当时等号成立，所以， 要对所有恒成立，则， 所以，的最大值为. 题型十三：利用基本不等式解决实际问题 49．（26-27高三上·全国·课堂例题）某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【答案】y＝320×＋16 000，最小值为26 240元 【分析】设网箱长为米，则宽为米，分别表示网衣、筛网、底面的造价，得到总造价关于的函数，再利用基本不等式求最小值. 【详解】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 50．（25-26高三上·上海静安·阶段检测）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)（千米/时）； (2)当时，最小运输成本为696元． 【分析】（1）根据题意列出不等式，根据一元二次不等式的解法，求出结果即可. （2）根据题意，列出函数，根据基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（元）， 每小时的运输成本不高于420元，所以，解得， 可得，即（千米/时）， 所以，此时汽车的速度应该控制在（千米/时）； （2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）， 所以汽车的行驶时间为（小时）， 所以全程运输成本，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 即当速度为（千米/时），最小运输成本为696元． 51．（2026·上海闵行·一模）某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】(1)57600元 (2) 【分析】（1）甲工程队整体报价为，利用基本不等式求解即可； （2）若乙队要确保竞标成功则恒成立，先参变量分离化为恒成立，再求函数的最小值即可求解. 【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， ，当且仅当时，“=”成立， 因此至少要付给甲工程队57600元； （2）若乙队要确保竞标成功则， 所以， 则， 因为，所以函数， 函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 52．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． (1)如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益； (2)请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益． 【答案】(1)万元 (2)万元 【分析】（1）结合题目中的收益函数，代入计算即可求解. （2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，然后根据的范围，利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】（1）小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元， 所以A，B两个项目所获得的收益分别为万元，万元， 所以他能获得的收益为万元. （2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，. 那么总收益为 万元， 当且仅当时，即时，等号成立， 故小王投入B项目万元，投入项目万元时，获得最大总收益，总收益的最大值为万元. 题型十四：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 53．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． (1)求证：； (2)求的最大值． 【答案】(1)根据三角形面积公式可得：， 余弦定理可得：， 又因为，所以， 在中，两边同时除以整理可得： 即 . (2) 【分析】（1）先分别写出三角形面积公式和余弦定理表达式，再结合已知条件建立等式，最后通过化简等式求解. （2）通过已知条件求出的值，再利用基本不等式求出的最大值，进而得到三角形面积的最大值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：，两边平方得： ，又因为， 所以，化简可得：， 因为是三角形内角，，解得， 所以，已知， 由基本不等式得 ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，的最大值是． 54．（26-27高三上·天津河北·开学考试）如图，在中，，，为上一点，且满足，则____________；若，则的最小值为____________． 【答案】 / 【分析】由，得，把改写为的线性组合，利用C，P，D 三点共线，则系数之和为1，求出；对平方展开，代入得到表达式；再用基本不等式，求出的最小值，开方得到模长最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，由向量三点共线结论：若，则， 所以，所以； 所以， 因为，所以，得， 因为， 所以， 由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以，即的最小值为. 55．（25-26高三上·广东湛江·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或； (2)4 【分析】（1）分别考虑直线的横、纵截距是否均为0设方程，代入求出参数，可得结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值． 【详解】（1）当直线的横、纵截距均为0时，设其方程为，代入，得，则得； 当直线的横、纵截距均不为0时，可设，代入点，解得， 则直线方程为， 所以直线的方程为或； （2）由题意直线的斜率存在，可设， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形PQSR面积的最小值为4． 56．（2026·广东深圳·模拟预测）已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】联立直线与抛物线方程得到弦中点坐标，进而表示出直线的斜率，结合不等式性质求解最大值. 【详解】∵ 抛物线，，∴ 焦点的坐标为. 分两种情况讨论： ① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线方程得， 故，，中点，此时直线的斜率为. ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）， 联立，消去整理得. 设，，由韦达定理得， ∴ . ∵ 为线段的中点， ∴ 的横坐标，纵坐标. ∴ 直线的斜率. 要求的最大值，不妨设（时斜率为负，显然小于正数），则. 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， ∴ . 综上，直线的斜率的最大值为. 1．（26-27高三上·四川成都·开学考试）函数的最大值为（    ） A．−2 B．−4 C．−6 D．−9 【答案】C 【详解】因为，所以，. 由基本不等式得： 当且仅当，即，即.时，等号成立. 因此，的最小值为. 所以. 故当时，函数取得最大值. 2．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】∵ ，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 又，代入上述不等式可得 设（），整理得， ∵ ，∴解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 3．（25-26高三下·云南文山·阶段检测）已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【详解】， 当且仅当时等号成立， 因为， 所以解得时等号成立，取最小值，即. 4．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知向量，满足，，且满足，若正实数m，n，满足，最小值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用向量的模的运算性质求出，再由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，即， 又，，代入上式得， 所以可得，即， ， 当且仅当，即时等号成立. 5．（25-26高三上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 6．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知为正实数，且，则下列选项错误的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 【答案】B 【分析】先利用指数运算得，然后利用基本不等式求解判断A；利用二次函数性质求解判断B；利用基本不等式的常数代换技巧求解判断C；先利用已知得，然后利用基本不等式求解判断D. 【详解】因为，所以，又为正实数， A：由基本不等式：， 两边平方得，即，当且仅当等号成立， 即，因此的最大值为，故A正确； B：将代入得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴， 代入得最小值为，故B错误； C：， 得到的最小值为8，当且仅当等号成立，故C正确； D：， 由（1）知，所以，即， 当且仅当等号成立，符合条件， 因此的最小值为，故D正确. 7．（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）已知，，且，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，将变形成，直接用基本不等式即可.对于B，将完全平方，再利用基本不等式即可.对于C，根据基本不等式可直接求解.对于D，常数代换法，根据选项中的分母，先将题干的式子凑成分母的形式，再将两个多项式相乘，利用基本不等式即可求范围. 【详解】对于A，根据基本不等式， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，A选项正确. 对于B，. 根据基本不等式，，当且仅当，即时等号成立， 所以， 因为，，所以，B选项正确. 对于C，根据基本不等式，，当且仅当，即时等号成立， 所以，C选项错误. 对于D，因为， 所以，即， . 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，D选项正确. 8．（25-26高三下·安徽合肥·期末）“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 9．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）（多选）已知，且，则（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式和二次函数的性质对选项逐个判断即可. 【详解】对于A选项，因为，所以，即， 解得，当且仅当，时等号成立； 对于B选项，因为，所以， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 由二次函数的性质可得，当时，上式取得最小值为，故C正确； 对于D选项，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，故D错误. 10．（26-27高三上·四川成都·开学考试）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若 且，则 的最小值为 8 B．若 且，则 的最小值为 9 C．若，则 的最小值为 2 D．若 ，且 ，则 的最小值为 2 【答案】ABD 【分析】逐项利用基本不等式求最小值，并核对等号成立条件是否满足题设约束． 【详解】A、由 ，得 当且仅当 时等号成立． 结合 ，得 ，故最小值为 ，A正确． B、由得 ，即 因为 ，所以 ． 令 ，则 ，于是 当且仅当 时等号成立，此时 ，故最小值为 ，B正确． C、由 且 ，得 ． 于是 当且仅当 时等号成立，此时 ，故最小值为 ，C错误． D、设 ． 由 及 ，得 ，且 又所以即 因为 ，所以 ． 当 时满足题设条件，且 ，故最小值为 ，D正确． 11．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】BC 【分析】根据基本不等式及不等式等号成立的条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确； 对于C， ，当且仅当， 即，时，等号成立，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 与已知矛盾，所以等号不成立，故D错误. 综上所述，选项BC正确. 12．（25-26高三上·山东威海·期中）下列各式中，最小值是2的有________. ①    ②    ③    ④， 【答案】① 【分析】通过基本不等式来分析每个选项式子的最小值即可.. 【详解】对于①，，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故①满足题意； 对于②，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当且仅当等号成立， 因为，所以无解，所以等号不成立， 所以，故③不满足题意； 对于④，因为，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，故④不满足题意. 故答案为：① 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 【答案】4 【分析】利用基本不等式可得的最小值，从而得到，求出答案 【详解】，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，则，即， 解得，所以， 则的最小值是. 14．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）已知，则的最大值为______. 【答案】 【详解】已知，因此，， 对原式平方，展开得：， 由基本不等式得：， 当且仅当，也就是时等号成立， 代入平方可得：， 由于，两边开平方得，即最大值为. 15．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)设，求的最小值.（提示：若，，，则，当且仅当时，等号成立.） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由已知条件将用含的表达式替换，再由基本不等式可求得最小值； （2）将用含的表达式替换，再分别结合二元基本不等式和不等式性质可求出的最大值； （3）将用含的表达式替换，再利用提示由三元基本不等式求解目标式的最值即可. 【详解】（1）由已知，，得， 所以， 当且仅当时，又，即时，等号成立； 即的最小值为. （2）由已知得，因此 ， 由可得，当且仅当，即时等号成立； 因此，此时符合条件， 即的最大值为 （3）将代入得 ； 对，有， 当且仅当即，时等号成立； 此时，符合条件，因此， 即的最小值为 16．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）求下列各题中的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且，求的最小值； (4)已知，，且，求的最小值. 【答案】(1)5 (2) (3) (4)9 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及不等式的解法，逐个求解，即可得到答案. 【详解】（1）解：由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）解：由，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （3）解：由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （4）解：由，，且， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，解得或， 所以，所以的最小值为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 基本不等式 知识点1：基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【常用结论】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：“1”的代换求最值 题型四：配凑法求最值 题型五：消元法求最值 题型六：换元法求最值 题型七：齐次化求最值 题型八：多次运用基本不等式 题型九：三角换元法求最值 题型十：待定系数法 题型十一：万能K法 题型十二：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 题型十三：利用基本不等式解决实际问题 题型十四：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 题型一：基本不等式及其应用 1．（26-27高三上·全国·课堂例题）（多选）下列结论正确的是（    ） A．对于任意，，均成立 B．若，同号，则 C．若，，则恒成立 D．若，，且，则 2．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 4．（26-27高三上·全国·课堂例题）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二：直接法求最值 5．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26高三上·甘肃定西·开学考试），且x，y都是正数，则的最大值是_______． 7．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知，均为正实数，则的最小值为（     ） A．3 B．7 C．8 D．9 8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型三：“1”的代换求最值 9．（25-26高三下·陕西汉中·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）若，则的最小值为__________． 11．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 12．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型四：配凑法求最值 13．（25-26高三下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 14．（2026高三·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____. 15．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）（多选）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 16．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为____________________． 题型五：消元法求最值 17．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为______. 18．（26-27高三上·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 19．（2026高三·全国·专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 20．（25-26高三上·湖南株洲·期末）（多选）已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 题型六：换元法求最值 21．（26-27高三上·陕西·开学考试）已知正数，满足，求的最大值． 22．（2026高三上·全国·专题练习）已知，，且，则的最小值是________． 23．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高三下·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 题型七：齐次化求最值 25．（25-26高三下·山东青岛·开学考试）已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 26．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）（多选）已知均为正实数，则（    ） A．的最大值为1 B．若，则的最大值为8 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 27．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 28．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 题型八：多次运用基本不等式 29．（26-27高三上·全国·课后作业）已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 30．（25-26高三下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 31．（25-26高三下·重庆·阶段检测）对任意的正实数，满足，则的最小值为__________. 32．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，且，则的最小值为______． 题型九：三角换元法求最值 33．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知，则的最大值是__________. 34．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）已知，且. ①求的最大值； ②求的最小值； ③求的最大值. 35．（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知实数，满足，则的最小值是______． 36．（2026高三下·全国·专题练习）已知，，且满足，则的最小值为______． 题型十：待定系数法 37．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．2 C． D．3 38．（25-26高三上·山东淄博·阶段检测）设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 39．（25-26高三上·安徽池州·阶段检测）已知x，y，z为正实数，则的最大值为 A．1 B．2 C． D． 40．（25-26高三上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 题型十一：万能K法 41．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 42．（2026·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为__________. 43．（25-26高三下·浙江·阶段检测）若正数，，满足，则的最大值是________. 44．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知正数，满足，则的最大值是__________. 题型十二：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 45．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 46．（2026高三上·全国·专题练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 47．（2026高三上·全国·专题练习）已知不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值是______． 48．（2026高三上·全国·专题练习）设正数满足，则使恒成立的实数的最大值是_______． 题型十三：利用基本不等式解决实际问题 49．（26-27高三上·全国·课堂例题）某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 50．（25-26高三上·上海静安·阶段检测）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 51．（2026·上海闵行·一模）某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 52．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． (1)如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益； (2)请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益． 题型十四：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 53．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． (1)求证：； (2)求的最大值． 54．（26-27高三上·天津河北·开学考试）如图，在中，，，为上一点，且满足，则____________；若，则的最小值为____________． 55．（25-26高三上·广东湛江·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 56．（2026·广东深圳·模拟预测）已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 1．（26-27高三上·四川成都·开学考试）函数的最大值为（    ） A．−2 B．−4 C．−6 D．−9 2．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 3．（25-26高三下·云南文山·阶段检测）已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 4．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知向量，满足，，且满足，若正实数m，n，满足，最小值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26高三上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知为正实数，且，则下列选项错误的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 7．（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）已知，，且，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·安徽合肥·期末）“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）（多选）已知，且，则（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 10．（26-27高三上·四川成都·开学考试）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若 且，则 的最小值为 8 B．若 且，则 的最小值为 9 C．若，则 的最小值为 2 D．若 ，且 ，则 的最小值为 2 11．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 12．（25-26高三上·山东威海·期中）下列各式中，最小值是2的有________. ①    ②    ③    ④， 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 14．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）已知，则的最大值为______. 15．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)设，求的最小值.（提示：若，，，则，当且仅当时，等号成立.） 16．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）求下列各题中的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且，求的最小值； (4)已知，，且，求的最小值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $