1.4 基本不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦基本不等式这一高考高频考点，涵盖考向预测、双基自测、核心梳理、题型突破及限时训练等模块，按“明考向-梳考点-破题型-强训练”逻辑架构知识，通过考点梳理（如基本不等式成立条件与变形）、方法指导（配凑法等6类求最值策略）、真题训练（分层限时练习），帮助学生系统突破公式应用与最值求解难点。 资料以“数学思维”与“应用意识”为核心，创新设计题型突破环节，如通过配凑法将x>3时y=1/(x-3)+2x变形为1/(x-3)+2(x-3)+6，培养运算能力与推理意识。设置基础判断、多选、解答等分层练习，配合限时训练即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.4　基本不等式 【高考考向预测】 近三年高考基本不等式考查频率高，多以选择、填空题形式出现，常单独命题或结合函数、数列、几何等知识考查最值与范围问题，重点考查公式运用、式子配凑及等号成立条件；预测2027年依旧为高频考点，命题趋向题型灵活化，侧重多题型融合、双变量最值及实际应用考查，愈发注重解题思路变通与易错点辨析，整体立足核心考点，难度适中稳中略有创新。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≤成立的条件是相同的. (　 　) (2)y=x+的最小值是2. (　 　) (3)y=x(2-x)的最大值是1. (　 　) (4)若x>0，y>0且x+y=xy，则xy的最小值为4. (　 　) 2.(2025·延庆模拟)已知x<0，则y=1+2x+的最大值为　　　　，当且仅当x=　　　　时取得最大值.  3.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若x<0，则x+≤-2 B.若x>0，则x-≤-2 C.若x∈R且x≠0，则≥2 D.x2+≥1 4.已知x>0，y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 1.灵活应用两个基本不等式的变形公式 (1)+≥2(a，b同号，当且仅当a=b时，等号成立)； (2)≤≤≤(a>0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立). 2.谨防两个易误点 (1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误. (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值. 【题型突破●明方向】 题型一　基本不等式的理解及常见变形 例1　(1)(多选)下列说法不正确的是(　　) A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2 B.x+的最小值是4 C.+的最小值为2 D.存在a，使得a+<2成立 (2)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.b>>a> B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 【跟踪训练】1　(1)已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A.4ab≤(a+b)2 B.≤ C.≤ D.ab≤ 题型二　利用基本不等式求最值 命题点1　直接法 例2　(1)(苏教版必修第一册P61习题3.2 T2改编)设x>0，y>0，且xy=4，则+的最小值为　　　　.  (2)(人教B版必修第一册P78例4改编)已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为　　　　，此时x=　　　　.  命题点2　配凑法 例3　(1)(2025·吉林模拟)已知x>3，则y=+2x的最小值是(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 (2)(2026·渭南模拟)已知0<x<1，则x(4-3x)的最大值为　　　　.  命题点3　常数代换法 例4　(1)(2025·宣城模拟)已知正实数a，b满足2a+b=4，则+的最小值是(　　) A.+ B.4 C. D.+ (2)(2025·上海)设a，b>0，a+=1，则b+的最小值为　　　　.  命题点4　消元法 例5　已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 命题点5　构造不等式法 例6　(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 命题点6　齐次化法 例7　(2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则的最小值为(　　) A.12 B.3+2 C. D. 【跟踪训练】2　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4 B.函数y=(x>-1)的最小值为2 C.已知x+y=1，x>0，y>0，则+的最小值为 D.若正数m，n，满足m+n=2，则+的最大值为2 (2)已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为　　　　.  【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(苏教版必修第一册P61练习T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是(　　) A.4 B.4 C.9 D.18 2.若x>0，则函数y=的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 3.(2025·德阳模拟)若x>1，则函数y=2x+的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 4.(2026·绍兴模拟)已知a>0，b>0，且a+4b=4ab，则a+b的最小值是(　　) A.2 B.+1 C. D. 5.(2025·连云港模拟)设a>0，b>-1，且a+b=1，则+的最小值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 6.设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则的最大值为(　　) A.4 B.2 C.3 D.1 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法正确的是(　　) A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4 B.函数y=的最小值是2 C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6 D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8 8.(2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是(　　) A.ab≤2 B.+≤1 C.a2+b2≥ D.3a+9b≥18 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.函数f(x)=的最小值为　　　　.  10.已知a>-1，b<2，+=，则a-b的最小值为　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求： (1)x+y的最小值；(4分) (2)xy的最大值；(4分) (3)x-y的取值范围.(5分) 12.(15分)已知下列求最小值的方法： 求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值. 解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，所以x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值为-2.请模仿上述例题， (1)求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a+b+c+d≥4，当且仅当a=b=c=d时等号成立)(5分) (2)求x3-x，x∈[0，+∞)的最小值；(5分) (3)已知a>0，求x3-ax，x∈[0，+∞)的最小值.(5分) [每小题5分，共10分] 13.(2026·重庆模拟)已知x，y均为正实数，若x+y=1，则的最小值为　　　　.  14.若x1，x2，…，x2 026均为正实数，则x1++++…++的最小值为　　　　　　.  第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.4　基本不等式 【高考考向预测】 近三年高考基本不等式考查频率高，多以选择、填空题形式出现，常单独命题或结合函数、数列、几何等知识考查最值与范围问题，重点考查公式运用、式子配凑及等号成立条件；预测2027年依旧为高频考点，命题趋向题型灵活化，侧重多题型融合、双变量最值及实际应用考查，愈发注重解题思路变通与易错点辨析，整体立足核心考点，难度适中稳中略有创新。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≤成立的条件是相同的. (　 　) (2)y=x+的最小值是2. (　 　) (3)y=x(2-x)的最大值是1. (　 　) (4)若x>0，y>0且x+y=xy，则xy的最小值为4. (　 　) 【答案】（1）× （2）×（3）√（4）√ 2.(2025·延庆模拟)已知x<0，则y=1+2x+的最大值为　　　　，当且仅当x=　　　　时取得最大值.  【答案】-3　-1 【解析】y=1+2x+=1-2≤1-2×2=-3， 当且仅当(-x)2=1，即x=-1时等号成立， 故y=1+2x+的最大值为-3，此时x=-1. 3.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若x<0，则x+≤-2 B.若x>0，则x-≤-2 C.若x∈R且x≠0，则≥2 D.x2+≥1 【答案】ACD 【解析】当x<0时有-x>0， 则x+=-≤-2=-2， 当且仅当-x=，即x=-1时等号成立，A选项正确； 当x>0时，y=x-单调递增，其值域为R，B选项错误； 若x∈R且x≠0，则=|x|+≥2=2， 当且仅当|x|=，即x=-1或x=1时等号成立，C选项正确； x2+=x2+1+-1≥2-1=1， 当且仅当x2+1=，即x=0时等号成立，D选项正确. 4.已知x>0，y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为　　　　.  【答案】8 【解析】方法一　由x>0，y>0，2x+y=xy， 可得y=>0，则x>1， 则2x+y=2x+= = =2(x-1)++4 ≥2+4=8， 当且仅当2(x-1)=，即x=2时，等号成立， 所以2x+y的最小值为8. 方法二　由x>0，y>0，2x+y=xy，得+=1， 所以2x+y=(2x+y)=++4≥2+4=8， 当且仅当=，2x+y=xy， 即x=2，y=4时，等号成立， 所以2x+y的最小值为8. 【核心梳理●明考点】 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 1.灵活应用两个基本不等式的变形公式 (1)+≥2(a，b同号，当且仅当a=b时，等号成立)； (2)≤≤≤(a>0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立). 2.谨防两个易误点 (1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误. (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值. 【题型突破●明方向】 题型一　基本不等式的理解及常见变形 例1　(1)(多选)下列说法不正确的是(　　) A.若a，b∈R，且ab>0，则a+b≥2 B.x+的最小值是4 C.+的最小值为2 D.存在a，使得a+<2成立 【答案】ABC 【解析】选项A，若a，b均为负数，不等式不成立，故A错误； 对于B，当x>0时，x+≥2=4(当且仅当x=2时取等号)，当x<0时，x+=-≤ -2=-4(当且仅当x=-2时取等号)，故B错误； 对于C，y=+≥2，等号成立的条件是=，即x2+2=1，显然不能取到，故C错误； 对于D，存在a=-1，使得a+<2成立，故D正确. (2)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.b>>a> B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 【答案】C 【解析】∵0<a<b，∴2b>a+b， ∴b>>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a. 故b>>>a. 【思维升华】基本不等式的常见变形 (1)ab≤≤. (2)≤≤≤(a>0，b>0). 【跟踪训练】1　(1)已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵a>b>0，则a2+b2>2ab， ∴2(a2+b2)>a2+b2+2ab， ∴2(a2+b2)>(a+b)2， ∴>，∴由p可推出q； 当a<0，b<0时，q也成立， 如a=-1，b=-3时，=5>=4， ∴由q推不出p， ∴p是q成立的充分不必要条件. (2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A.4ab≤(a+b)2 B.≤ C.≤ D.ab≤ 【答案】ABD 【解析】A选项，4ab-(a+b)2=-(a-b)2≤0，即4ab≤(a+b)2，故A选项正确； B选项，当a+b>0时，>0，则-==≤0恒成立，即≤恒成立，当a+b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确； C选项，当a+b>0时，2ab-=≤0，即2ab≤，≤恒成立， 当a+b<0时，2ab-=≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误； D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确. 题型二　利用基本不等式求最值 命题点1　直接法 例2　(1)(苏教版必修第一册P61习题3.2 T2改编)设x>0，y>0，且xy=4，则+的最小值为　　　　.  【答案】1 【解析】∵x>0，y>0，且xy=4， ∴+≥2=2=1， 当且仅当即x=y=2时，等号成立， ∴+的最小值为1. (2)(人教B版必修第一册P78例4改编)已知x∈(-1，3)，则y=(1+x)(3-x)的最大值为　　　　，此时x=　　　　.  【答案】4　1 【解析】当x∈(-1，3)时，1+x>0，3-x>0. 由基本不等式可得≤=2， 从而(1+x)(3-x)≤4，即y≤4. 当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立. 从而当x=1时，y取得最大值4. 命题点2　配凑法 例3　(1)(2025·吉林模拟)已知x>3，则y=+2x的最小值是(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】C 【解析】由x-3>0，则y=+2(x-3)+6≥2+6=10， 当且仅当=2(x-3)，即x=4时等号成立，故最小值为10. (2)(2026·渭南模拟)已知0<x<1，则x(4-3x)的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】当0<x<1时，0<3x<3，4-3x>0， 故x(4-3x)=×3x(4-3x)≤=， 当且仅当3x=4-3x，即x=时取等号， 故x(4-3x)的最大值为. 命题点3　常数代换法 例4　(1)(2025·宣城模拟)已知正实数a，b满足2a+b=4，则+的最小值是(　　) A.+ B.4 C. D.+ 【答案】D 【解析】设x=a+2，y=b，则a=x-2，b=y， 故2x+y=8，其中x>2，y>0， +=(2x+y)=， 由+≥4， 当且仅当=，且2x+y=8， 即x=4(2-)，y=8(-1)时等号成立， 此时满足x>2，y>0， 故+的最小值为×(6+4)=+. (2)(2025·上海)设a，b>0，a+=1，则b+的最小值为　　　　.  【答案】4 【解析】易知b+==ab++2≥2+2=4， 当且仅当ab=1，即a=，b=2时取等号，此时b+取得最小值4. 命题点4　消元法 例5　已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 【答案】B 【解析】因为实数x，y满足3xy+y2=1，y>0， 所以x=， 则2x+y=+y=+≥2=， 当且仅当=，即y=时，等号成立， 所以2x+y的最小值是. 命题点5　构造不等式法 例6　(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 【答案】BC 【解析】因为ab≤≤(a，b∈R)， 由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3， 解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确； 由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤， 解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确； 方法一　因为x2+y2-xy=1可变形为+y2=1， 设x-=cos θ，y=sin θ， 所以x=cos θ+sin θ，y=sin θ， 因此x2+y2=cos2θ+sin2θ+sin θcos θ =1+sin 2θ-cos 2θ+ =+sin∈，所以D错误. 方法二　因为x2+y2≥-2xy， 所以-xy≤， 所以1=x2+y2-xy≤x2+y2+=(x2+y2)， 则x2+y2≥，当且仅当x=-y=±时等号成立，所以D错误. 方法三　当x=，y=-时满足x2+y2-xy=1， 但是x2+y2≥1不成立，所以D错误. 命题点6　齐次化法 例7　(2026·新余模拟)已知x，y为正实数，且x+y=2，则的最小值为(　　) A.12 B.3+2 C. D. 【答案】C 【解析】由x+y=2，则= = ==++， ∵x，y为正实数，∴>0，>0， ∴++≥2+=， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立. 故的最小值为. 【思维升华】利用基本不等式求最值时需注意 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有六种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法；六是齐次化法. 【跟踪训练】2　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4 B.函数y=(x>-1)的最小值为2 C.已知x+y=1，x>0，y>0，则+的最小值为 D.若正数m，n，满足m+n=2，则+的最大值为2 【答案】ACD 【解析】当x>0时，y=2-3x-=2-≤2-2=2-4，当且仅当3x=，即x=时，等号成立，所以y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4，故A正确； 因为x>-1，则x+1>0， 所以y===x+1++1≥2+1=3，当且仅当x+1=， 即x=0时，等号成立，故B错误； 因为x+y=1，x>0，y>0， 所以+=+=++≥+2=， 当且仅当=，即x=，y=时，等号成立，故C正确； 由(+)2=m+n+2=2+2≤2+(m+n)=4，当且仅当m=n=1时等号成立， 则+的最大值为2，故D正确. (2)已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为　　　　.  【答案】7 【解析】∵x>0，y>0，2x+y=1， ∴= ==++1 ≥2+1=7， 当且仅当=，且2x+y=1， 即x=y=时，等号成立， ∴的最小值为7. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(苏教版必修第一册P61练习T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是(　　) A.4 B.4 C.9 D.18 【答案】D 【解析】因为m>0，n>0，mn=81， 由基本不等式得m+n≥2=18， 当且仅当m=n=9时，等号成立， 所以m+n的最小值是18. 2.若x>0，则函数y=的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 【答案】D 【解析】∵x>0，∴y==x++1 ≥2+1=11， 当且仅当x=，即x=5时，等号成立， ∴函数y=的最小值为11. 3.(2025·德阳模拟)若x>1，则函数y=2x+的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】C 【解析】若x>1，则x-1>0， 所以y=2(x-1)++2≥2+2=10， 当且仅当2(x-1)=，即x=3时等号成立. 4.(2026·绍兴模拟)已知a>0，b>0，且a+4b=4ab，则a+b的最小值是(　　) A.2 B.+1 C. D. 【答案】C 【解析】∵a>0，b>0，a+4b=4ab， ∴+=1， ∴a+b=(a+b)=1+++≥+2=， 当且仅当=，即a=，b=时，等号成立. 5.(2025·连云港模拟)设a>0，b>-1，且a+b=1，则+的最小值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】B 【解析】因为a>0，b>-1，则b+1>0， 因为a+b=1，则a+(b+1)=2， 所以+=[a+(b+1)] = ≥=2， 当且仅当即时，等号成立， 因此+的最小值为2. 6.设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则的最大值为(　　) A.4 B.2 C.3 D.1 【答案】D 【解析】因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy， 所以==≤=1， 当且仅当=(x>0，y>0)，即x=y时，等号成立，故的最大值为1. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法正确的是(　　) A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4 B.函数y=的最小值是2 C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6 D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8 【答案】ACD 【解析】A选项，对于函数y=2x+(x<0)， 2x+=-≤-2=-4， 当且仅当-2x=，即x=-1时等号成立，所以A选项正确； B选项，y==+≥2=2， 当=时，无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误； C选项，对于函数y=x+(x>-2)，x+2>0， x+=x+2+-2≥2-2=6， 当且仅当x+2=，即x=2时等号成立，所以C选项正确； D选项，由基本不等式得≥， 所以x2+y2≥2·=2×22=8， 当且仅当x=y=2时等号成立，所以D选项正确. 8.(2025·苏州模拟)已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是(　　) A.ab≤2 B.+≤1 C.a2+b2≥ D.3a+9b≥18 【答案】ACD 【解析】ab=·a·2b≤=2，当且仅当a=2b=2时取等号，故A正确； +=(a+2b)=≥=， 当且仅当a=b=时取等号，故B错误； a2+b2=(4-2b)2+b2=5b2-16b+16=5+≥， 当b=，a=时取等号，故C正确； 3a+9b=3a+32b≥2=2=18， 当且仅当a=2b=2时取等号，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.函数f(x)=的最小值为　　　　.  【答案】4 【解析】函数f(x)=的定义域为(1，+∞)，f(x)==+≥2=4，当且仅当=，即x=5时取等号，故当x=5时，f(x)取得最小值，最小值为4. 10.已知a>-1，b<2，+=，则a-b的最小值为　　　　.  【答案】9 【解析】设a+1=x>0，2-b=y>0， 则+=，a-b=x+y-3 =3(x+y)-3=3-3≥3-3=9. 当且仅当 即x=y=6，即a=5，b=-4时等号成立. 四、解答题(共28分) 11.(13分)已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求： (1)x+y的最小值；(4分) (2)xy的最大值；(4分) (3)x-y的取值范围.(5分) 【解析】由题意，正实数x，y满足x+y+xy=8， (1)由x+y=8-xy≥8-， 可得(x+y)2+4(x+y)-32≥0， 解得x+y≥4， 当且仅当x=y=2时，等号成立， 故x+y的最小值为4. (2)方法一　因为x+y+xy=8，x>0，y>0， 所以8-xy=x+y≥2， 所以()2+2-8≤0， 所以(+4)(-2)≤0， 所以≤2，即xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，所以xy的最大值为4. 方法二　由x+y≥4，可得xy=8-(x+y)≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立， 所以xy的最大值为4. (3)由x+y+xy=8，可得y=， 由可得0<x<8， 且x-y=x-=x+1-， 令t=x+1，则t∈(1，9)，构造函数f(t)=t-，t∈(1，9)，由于函数f(t)在(1，9)上单调递增， 所以f(t)的值域为(-8，8)， 故x-y的取值范围为(-8，8). 12.(15分)已知下列求最小值的方法： 求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值. 解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，所以x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值为-2.请模仿上述例题， (1)求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a+b+c+d≥4，当且仅当a=b=c=d时等号成立)(5分) (2)求x3-x，x∈[0，+∞)的最小值；(5分) (3)已知a>0，求x3-ax，x∈[0，+∞)的最小值.(5分) 【解析】(1)因为x∈[0，+∞)， 利用a+b+c+d≥4， 当且仅当a=b=c=d时等号成立， 得到x4+1+1+1≥4x， 所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3， 当且仅当x=1时等号成立， 即x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值为-3. (2)因为x∈[0，+∞)，利用a+b+c≥3， 当且仅当a=b=c时等号成立， 得到x3++≥x， 所以x3-x=x3++--x≥x--x=-， 当且仅当x=1时等号成立， 即x3-x，x∈[0，+∞)的最小值为-. (3)因为x∈[0，+∞)，且a>0， 利用a+b+c≥3， 当且仅当a=b=c时等号成立， 得到x3++≥ax， 所以x3-ax=x3++--ax≥ax--ax=-， 当且仅当x==时等号成立， 即x3-ax(a>0)，x∈[0，+∞)的最小值为-. [每小题5分，共10分] 13.(2026·重庆模拟)已知x，y均为正实数，若x+y=1，则的最小值为　　　　.  【答案】25 【解析】由x+y=1，可得y=1-x， 代入S=中， 可得S==-5×， 设t=x+，由x>0，y>0得0<x<1， 则<t<，则x=t-， 于是S=-5× =-5×=-5×， t+≥2=，当且仅当t=时，等号成立， 即当x=，y=时，S=取得最小值25. 14.若x1，x2，…，x2 026均为正实数，则x1++++…++的最小值为　　　　　　.  【答案】4 【解析】原式=++…++++x1 ≥2++…++++x1 =++…++++x1 ≥2+…++++x1 =+…++++x1 ≥…≥+x1≥2=4， 当且仅当=xi(i=1，2，3，…，2 026，xi>0)， 即x1=x2=…=x2 026=2时，等号成立， 故x1++++…++的最小值为4. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $