1.4 基本不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦基本不等式高考核心考点，涵盖概念性质、重要不等式及八大求最值方法，按“基础概念—方法技巧—实际应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导与真题训练结合，帮助学生系统突破不等式求最值难点。 资料采用“方法归类+真题变式”教学策略，如常数代换法中通过“1”的代换训练培养数学思维，实际问题中引导用数学语言构建模型，设置分层练习适配不同学生，助力高效提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

1.4 基本不等式 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. (3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. (3).若a>0,b>0,则≤≤≤.其中和分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.可根据题目需要选择合适的形式. 考点一　直接利用基本不等式求最值 考点二　利用配凑法求最值 考点三　利用常数代换法求最值 考点四　利用消元法求最值 考点五　利用齐次化法求最值 考点六　利用对勾函数求最值 考点七　利用基本不等式求参数值或范围 考点八　利用基本不等式解决实际问题 考点一　直接利用基本不等式求最值 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．（2026·浙江宁波·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 考点二　利用配凑法求最值 6．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 7．（25-26高三上·山东烟台·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·重庆·月考）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（2026高三上·山东枣庄·月考）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点三　利用常数代换法求最值 10．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 11．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 12．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 13．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 14．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 15．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 考点四　利用消元法求最值 16．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 17．（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________. 18．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 19．（25-26高三上·云南·月考）若非零实数a，b满足，则的最小值为_____. 20．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 考点五　利用齐次化法求最值 21．（25-26高三上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 22．（25-26高三上·上海·月考）若对恒有，则的取值范围是_____ 23．（25-26高三上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 考点六　利用对勾函数求最值 24．（25-26高三上·广东广州·月考）（多选）下列函数最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 26．（25-26高三上·山东潍坊·月考）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 27．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 28．（25-26高三上·辽宁·开学考试）（多选）已知，则下列说法正确的是（　　） A． B．的最小值为 C．的最小值为12 D．的最小值为 考点七　利用基本不等式求参数值或范围 29．（25-26高三上·广东·月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高三上·山东日照·月考）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 31．（25-26高三上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 33．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点八　利用基本不等式解决实际问题 34．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 35．（25-26高三上·上海静安·月考）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 36．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 37．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 2．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·山东·月考）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 5．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 10．（25-26高二上·贵州毕节·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为4 D．的最小值为4 11．（2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____． 12．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________． 13．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____. 14．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 15．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 基本不等式 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. (3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. (3).若a>0,b>0,则≤≤≤.其中和分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.可根据题目需要选择合适的形式. 考点一　直接利用基本不等式求最值 考点二　利用配凑法求最值 考点三　利用常数代换法求最值 考点四　利用消元法求最值 考点五　利用齐次化法求最值 考点六　利用对勾函数求最值 考点七　利用基本不等式求参数值或范围 考点八　利用基本不等式解决实际问题 考点一　直接利用基本不等式求最值 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 2．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 4．（2026·浙江宁波·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据基本不等式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】若，则，充分性成立； 若，取，满足条件， 则，不满足，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5．（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 考点二　利用配凑法求最值 6．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 7．（25-26高三上·山东烟台·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 8．（24-25高一上·重庆·月考）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】将原式配凑为，利用基本不等式求解即可. 【详解】，，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为6. 故选：C. 9．（2026高三上·山东枣庄·月考）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将原式变形为，再使用基本不等式求解即可． 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是3. 故选：C. 考点三　利用常数代换法求最值 10．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 11．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 12．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 13．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 14．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为5． 15．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 考点四　利用消元法求最值 16．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 17．（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________. 【答案】5 【分析】根据题意得，对整理，再利用基本不等式求解. 【详解】由得，所以， 因为，，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5. 18．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【详解】因，则，当且仅当时取等号. 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 19．（25-26高三上·云南·月考）若非零实数a，b满足，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】变形给定等式可得，令并换元，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，， 则，即， 令，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 20．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据题设条件求得，代入所求式利用基本不等式即可求解. 【详解】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 考点五　利用齐次化法求最值 21．（25-26高三上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 22．（25-26高三上·上海·月考）若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 23．（25-26高三上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 考点六　利用对勾函数求最值 24．（25-26高三上·广东广州·月考）（多选）下列函数最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A选项通过二次函数求最值，BCD通过基本不等式可求最值，注意验证成立要求. 【详解】A. ，二次函数，当时， 取得最小值为,A选项不正确. B. , 当且仅当即时成立，B选项正确. C．，当且仅当即，不成立，C选项不正确. D. , 当且仅当，即时成立，故D选项正确. 故选：BD 25．（25-26高三上·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可. 【详解】对于①只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确； 对于②,，令， 则在上单调递增，则最小值为, 则②不正确； 对于③,，则③正确； 对于④,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则④不正确. 综上只有1个正确， 故选：B. 26．（25-26高三上·山东潍坊·月考）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据对勾函数的性质可得最小值. 【详解】由，令，则. ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以时，函数. 故函数的最小值为. 故选：C. 27．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可判断. 【详解】当时，函数无最小值，故A错误； 函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误； 当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确, D错误. 故选：C. 28．（25-26高三上·辽宁·开学考试）（多选）已知，则下列说法正确的是（　　） A． B．的最小值为 C．的最小值为12 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】已知条件可化为，对A，令，则，结合其单调性可判断；对B，由条件式消元得到二次函数，求其最值即可判断；对C，由条件式消元，利用基本不等式，可得判断；对D，直接由基本不等式判断. 【详解】由得， 对于A，因为，所以，所以， 令，因为所以，即， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为，所以，A正确； 对于B，因为，所以， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确； 故选：ABD. 考点七　利用基本不等式求参数值或范围 29．（25-26高三上·广东·月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用已知条件将等式变形为1的表达式，再通过“1的代换”将展开，最后应用基本不等式求出最小值，再根据不等式恒成立的条件，将问题转化为关于的不等式，从而确定的取值范围. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 若不等式恒成立，则， 所以，解得. 故选：C 30．（25-26高三上·山东日照·月考）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】将问题转化为，利用基本不等式求的最小值，再解绝对值不等式即可求解. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以. 所以，即，所以， 解得，则实数m的取值范围是. 故答案为：. 31．（25-26高三上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 32．（25-26高三上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 33．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 考点八　利用基本不等式解决实际问题 34．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 35．（25-26高三上·上海静安·月考）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)（千米/时）； (2)当时，最小运输成本为696元． 【分析】（1）根据题意列出不等式，根据一元二次不等式的解法，求出结果即可. （2）根据题意，列出函数，根据基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（元）， 每小时的运输成本不高于420元，所以，解得， 可得，即（千米/时）， 所以，此时汽车的速度应该控制在（千米/时）； （2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）， 所以汽车的行驶时间为（小时）， 所以全程运输成本，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 即当速度为（千米/时），最小运输成本为696元． 36．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米 (2) 【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度； （2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 37．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合物理中的电阻、电流和功率公式，以及基本不等式，即可求出结果. 【详解】由题知，总电阻， 电路电流， 所以滑动变阻器功率为 ， 因为，当且仅当即时，等号成立， 此时满足到的范围， 所以此时最大，且为. 1．（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】B 【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到与的关系式，再用基本不等式求最小值. 【详解】由换底公式可得 ， 原式化为 ，所以 ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，取等号成立. 所以的最小值是. 2．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 3．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 4．（25-26高三下·山东·月考）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 5．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 7．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，即可判断；对于B，利用即可判断；对于C，对式子两边同时平方可得，根据的范围即可判断；对于D，由可得，根据二次函数的性质即可判断. 【详解】选项A，由，可得，即，故A正确； 选项B，利用基本不等式可知，整理可得， 当且仅当，即，时，等号成立，故B错误； 选项C，整理式子，可得， 两边同时平方得，即， 因为，所以，当且仅当，时，等号成立，故C正确； 选项D，由，可得，得， 则， 函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 所以，故D正确. 8．（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】CD 【详解】因为，所以，，， 当时，， 当时，， 结合选项，的值可能为或． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】AC 【分析】选项A，由，，，直接利用基本不等式求出的范围，从而得到的最大值；选项B，将所求的的分子转化为，利用基本不等式求解即可；选项C，设，则，由得到从而得到的范围，即可得到的最大值；选项D，将所求的转化为，利用基本不等式求解即可. 【详解】选项A，，，，， ，当且仅当，即时，等号成立； 故ab的最大值为，故选项A正确； 选项B，，， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项B错误； 选项C，设，则， ，， ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，故选项C正确； 选项D，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项D错误. 故选：AC. 10．（25-26高二上·贵州毕节·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为4 D．的最小值为4 【答案】ABC 【分析】根据对勾函数的性质及基本不等式可得. 【详解】对于A：由，当且仅当时等号成立，所以A正确； 对于B：，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：， 当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 对于D：令，则，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减， 所以，所以D错误. 故选：ABC. 11．（2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____． 【答案】 【分析】由基本不等式进行求解． 【详解】因为，所以，等号成立时，， 故函数的最小值为． 12．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用所给定义域构造基本不等式求最值 【详解】当时，，当且仅当时等号成立 ．又，即实数的最小值为-3． 13．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】3 【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】设，因，则， 且， 因，当且仅当时取等， 即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 14．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 【答案】0 【详解】已知，则， ， ， ， 设，则，， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为0． 15．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 【答案】4 【分析】由题设可得，随后讨论的取值可得，，最后由基本不等式可得答案. 【详解】由得， 故当时，， 当时，，故， 故当时，， 即，故， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $