专题1.5 一元二次不等式与其他常见不等式解法讲义-2027届高三数学一轮复习

专题1.5 一元二次不等式与其他常见不等式解法 知识点1：一元二次不等式的概念及解法 (1)概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． (3)一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. （4）解一元二次不等式的一般步骤 ①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． ②判：计算对应方程的判别式． ③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． ④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得，即为集合， 则选项C是充要条件，故C错误； 与和均无交集，故A，B错误； 集合是的真子集， 则成立，一定满足，但成立，不一定满足， 故D是的一个必要不充分条件，故D正确． 知识点2：分式不等式的解法 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. >0⇔f(x)g(x) >0，<0⇔f(x)·g(x)< 0. ≥0⇔ ⇔f(x)·g(x) >0或. ≤0⇔⇔f(x)·g(x) <0或 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·贵州遵义·阶段检测）不等式的解集是______. 【答案】（或） 【详解】即， 得或，所以原不等式的解集为，（或）. 知识点3：绝对值不等式的解法 1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)． 【跟踪训练】 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）不等式的解为________ 【答案】 【详解】令，则变为，解得， 则求的解即可，解得. 知识点4：三个“二次”之间的关系 1．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． 2．三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式 f(x)>0 或f(x)<0 的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 不等式 的解集 f(x)>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R f(x)<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【跟踪训练】 4．（26-27高三上·全国·课堂例题）若关于的不等式的非空解集为，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系即可求解． 【详解】由不等式的非空解集为， 则二次函数开口向上，且和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 即，且，整理得， 解得，或， 当时，，不符合题意，所以． 知识点5：不等式恒成立问题与能成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 2.恒成立问题 ①恒成立，则； 恒成立，则 ②恒成立，则； 恒成立，则 ③最值取不到，不等式加上等号 3.能成立问题 ①有解，则； 有解，则 ②有解，则； 有解，则 ③最值取不到，不等式去掉等号 【跟踪训练】 5．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 题型一：不含参一元二次不等式的解法 题型二：分式不等式与高次不等式 题型三：绝对值不等式的解法 题型四：含参数一元二次不等式的解法 题型五：三个二次之间的关系 题型六：二次函数根的分布问题 题型七：一元二次不等式恒成立问题 题型八：一元二次不等式能成立问题 题型九：解含参型绝对值不等式 题型十：解不等式组型求参数问题 题型十一：不等式组整数解求参数问题 题型十二：利用一元二次不等式解决实际问题 题型一：不含参一元二次不等式的解法 1．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由，得，即， 所以或， 故不等式的解集为. （2）由，得，所以， 故不等式的解集为. （3）由，得，所以， 故不等式的解集为. （4）因为， 所以无解，即不等式的解集为. 2．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式可化为. 因此， 所以，对应区间为. 3．（26-27高三上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 4．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，解得，， 又， 所以. 题型二：分式不等式与高次不等式 5．（25-26高三·全国·一轮复习）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由可得， 由于是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 6．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】将不等式移项通分：， 两边同乘，不等号方向改变：，等价于，且， 解得或. 所以原不等式的解集为或. 7．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）移项后得到，然后转化为整式不等式求解即可； （2）移项后得到，因式分解后，转化为整式不等式，最后利用数轴穿根法求解即可. 【详解】（1）由，得， 即0，解得或， 所以不等式解集为或. （2）原不等式等价于     由数轴穿根法可知原不等式解集为； 8．（26-27高三上·四川遂宁·开学考试）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【详解】不等式，即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式，即，即， 所以，解得， 故不等式的解集为，B正确； 不等式，即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 因为不等式， 所以，即，D选项的解集中包含了，所以D错误. 题型三：绝对值不等式的解法 9．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）解下列方程或不等式 (1)； (2)解不等式：； (3)解不等式：； 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】利用绝对值的定义去绝对值，然后按照一元一次方程（不等式）的解法进行求解即可. 【详解】（1）由已知可得 或 解得或． （2）由绝对值不等式的性质可得 ，解得. （3）当时，，解得. 当时，,不符合题意，舍去. 当时，,解得. 综上所述，不等式的解为或 10．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况求解不等式，再取其并集，即可得不等式的解集. 【详解】由不等式，知且. 当，即且时， 因为，所以不等式恒成立； 当，即时， ，， 即，， 所以或（与矛盾，舍去）. 综上所述，不等式的解集为. 11．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________. 【答案】 【分析】分类讨论去绝对值并分别求解，将各区间的解集取并集得出最终结果. 【详解】当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为3，无解. 综上，不等式的解集为. 12．（2026高三·全国·专题练习）不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 【答案】 【详解】，解得. 对于 ， （方法一）当 时， ，得； 当时， ，得. 故 的解集为. （方法二），得. （方法三）显然，两边平方，得. 故填； 题型四：含参数一元二次不等式的解法 13．（25-26高三上·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【答案】（1）当时，解集为{或}；当时，解集为{且}；当时，解集为{或}． （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】（1）根据题意，将二次函数因式分解，分类讨论的取值范围即可求解； （2）根据题意，将不等式转化为，分类讨论的取值范围即可求解. 【详解】（1）由题：，二次函数开口向上，方程的根为，， 当时，开口向上，不等式的解集为：{或}； 当时，不等式变为，解集为：{且}； 当时，开口向上，不等式的解集为{或}； 综上所述，当时，解集为{或}； 当时，解集为{且}； 当时，解集为{或}． （2）由题：，即， 当时（即），； 当时（即），； 当时（即），； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 14．（26-27高三上·全国·课堂例题）解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 15．（26-27高三上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 16．（25-26高三下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）把函数解析式代入不等式，原不等式转化为，由，得到不等式解集为； （2）分=0， 0，0，三种情况去讨论. 其中，对于0，再对2个根进行大小比较讨论. 【详解】（1）当时，函数化简为,代入不等式， 得，得，得原不等式转化为， 由分母不为0，得，所以得， 所以，所以， 得不等式解集为； （2）， 当=0，即时，，则的解集为， 当0，方程的两个根为 当0，即时，二次项系数，抛物线开口向上，且， 不等式的解集为. 当0，即， 当时，，不等式化为， 解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 题型五：三个二次之间的关系 17．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用三个二次的关系，结合韦达定理用表示，再逐项判断即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个实根，且， 则，即，ACD正确； 不等式，解得，B错误. 18．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AB 【详解】对于A，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为和2，且，故A正确； 对于B，由韦达定理得，解得， 所以，故B正确； 对于C，由，得，因为，所以，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 即，解得或， 所以不等式的解集为或.故D错误. 19．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 20．（25-26高三下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 题型六：二次函数根的分布问题 21．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）“”是“关于的方程有一正一负根”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】方程有一正一负根的等价条件： 对于一元二次方程有一正一负根， 只需满足两根之积（此时判别式会自动成立）. 本题中，因此两根之积为，方程有一正一负根等价于. 由此可知：“”和“方程有一正一负根”可以互相推出，因此是充要条件. 22．（25-26高三下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 23．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 24．（25-26高三·全国·一轮复习）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】考查二次函数根的分布问题，由题意得出且，从而求出的取值范围. 【详解】令， 因为方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为． 题型七：一元二次不等式恒成立问题 25．（26-27高三上·安徽亳州·阶段检测）若不等式的解集是，则的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为， 当，即时，若不等式的解集是， 则，解得， 综上所述，的取值范围为． 26．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 27．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）若命题：“存在，使得”为假命题，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】“存在，使得” 为假命题， 则对任意，都有，恒成立， ，，整理可得， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减， 当时，， 故，即的最大值是4． 28．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）已知二次函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； (2)或 (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式解法分类讨论求解即可； （2）根据一元二次不等式解法结合题意分类讨论求解即可； （3）由题意参变分离可得对恒成立，换元令，可得，利用基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 （3）当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 题型八：一元二次不等式能成立问题 29．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）“，”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，所以， 则，， 选项A，能推出，不能推出，故是它的一个充分不必要条件； 选项B是它的充分必要条件，选项C、D，是既不充分也不必要条件. 30．（2026高三·全国·专题练习）设，命题：，使得不等式成立，若为真命题，求的取值范围. 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论求解即可. 【详解】因为：，使得不等式成立为真命题， 当时，不等式化为，为假命题，不符合题意； 当时，函数开口向上， 则，使得不等式成立，为真命题，符合题意； 当时，需满足，解得. 综上所述，的取值范围为. 31．（25-26高三下·天津滨海新区·期中）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 32．（2026高三·全国·专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得存在，使得成立，令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出. 【详解】存在，不等式成立， 则，能成立， 即对于，成立， 令，， 则需要大于函数在的最小值， 则，令， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 又， ，，，，， 所以，所以. 故选：C. 题型九：解含参型绝对值不等式 33．（25-26高三上·上海·期中）若不等式恒成立，则a的取值范围是________. 【答案】 【分析】分别讨论、和三种情况，求得的最小值，分析即可得答案. 【详解】因不等式恒成立， 则当时，因 ； 当时，，所以； 当时， 综上，函数的最小值为2，故，即a的取值范围是. 故答案为： 34．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数 . (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形得到，分，和三种情况，去绝对值求出不等式的解集； （2），分和两种情况，由绝对值三角不等式得到最小值，进而得到，求出答案. 【详解】（1）时，， 则，即， 当时，，解得，与取交集得， 当时，，解得，与取交集得， 当时，，解得，与取交集得， 综上，不等式的解集为； （2），即， 故， 当时，不等式显然成立， 当时，由绝对值三角不等式得， 当且仅当时，等号成立， 因此，平方得，解得，故， 综上，实数的取值范围是. 35．（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）已知都是正数. (1)若，求的最大值； (2)若，且，求的最小值； (3)若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)2； (3)或. 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得最值. （2）利用，展开后直接利用基本不等式求出结果. （3）利用基本不等式“1”妙用求出最小值，再由不等式有解建立不等式并求解即得. 【详解】（1）由都是正数，得，解得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. （2）由都是正数，且，，得 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （3）由都是正数，，得， 当且仅当，即时取等号，由不等式有解， 得，当时，，解得，则； 当时，，解得，无解； 当时，，解得，则， 所以的取值范围是或. 36．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知函数． (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 (3)． 【分析】(1)先把原不等式整理成一个标准的二次不等式，然后分情况讨论系数为和不为的情况，确保这个不等式对所有实数都成立，从而确定的取值范围. (2)先把不等式左边因式分解，再根据系数的不同取值，比较两个根的大小，从而确定不等式的解集. (3)先通过换元把含绝对值的方程转化为普通二次方程，再根据原方程要有四个不同实根的要求，转化为这个二次方程必须有两个不相等的正根，进而求出的取值范围. 【详解】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得， 得， 综上可得，的取值范围是 （2）由题，即， 当时，，所以不等式的解集为； 当时，或， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当，则，不等式的解集为 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 （3）由题可知关于的方程有四个不同实根，令， 则关于的方程有两个不同正根， 则，可得； 故实数的取值范围是． 题型十：解不等式组型求参数问题 37．（25-26高三上·江苏扬州·期中）设集合，集合为关于的不等式组的解集，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得在上恒成立，由此可求的范围，再求的最小值. 【详解】因为不等式组的解集，，， 所以不等式在上恒成立， 且不等式的解集包含集合， 又不等式可化为， 所以不等式的解集为， 所以，所以，且，所以. 不等式在上恒成立，故，其中， 设，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以当时，函数，取最大值，最大值为， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为. 故选：C. 38．（25-26高三上·上海闵行·阶段检测）已知、，关于的不等式组解集为，则的值为______． 【答案】 【分析】分，和进行讨论，结合一元二次不等式的解集特点得到结果. 【详解】①当时显然不成立； ②当时，不等式组可化为， 设的两根为，则有，即， 故不等式组化为，根据不等式组的解集为，可知不符合题意； ③当时，不等式组可化为， 即，根据不等式组的解集为，可得 ，解得，故，， 所以. 故答案为：. 39．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求解两个不等式，就第二个含参的不等式分类讨论其解集，借助于数轴表示即可求得参数的范围. 【详解】由，可得或；由 ，可得（*）. ① 若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意； ② 若时，则由（*），可得，显然不符合题意； ③ 若时，则由（*），可得， 此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即. 综上可得，实数的取值范围 故选：B. 40．（25-26高三上·上海·随堂练习）若不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】先求出的解集，然后其解集与的交集为空集可求出实数的取值范围. 【详解】由，得， 因为不等式组的解集为空集， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为： 题型十一：不等式组整数解求参数问题 41．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________． 【答案】． 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 42．（25-26高三·全国·一轮复习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合二次不等式的求法分别求出各不等式的解集，即可求解. 【详解】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 43．（25-26高三上·四川广安·期中）已知关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次不等式组有且仅有两个整数解，分类讨论，即可. 【详解】由，解得或， 由，解得或， 当时，的解为， 因为不等式有且仅有两个整数解， 所以，解得， 当时，的解为， 因为不等式有且仅有两个整数解， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是 故选：C 44．（2026高三·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果． 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 题型十二：利用一元二次不等式解决实际问题 45．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. (1)若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） (2)为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】(1) (2)这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. （2）由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 46．（26-27高三上·四川阿坝·阶段检测）北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 【答案】(1)元 (2)当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意求出此定价下的销售量，即可求得现在的销售的总收入，再根据与原收入的关系，解关于的一元二次不等式； （2）根据改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，列出关于，的不等式，问题转化为关于，的不等式有解，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． （2）依题意知，当时，不等式有解， 等价于当时，有解， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 47．（2026高三上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50 (2)存在， 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 48．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【答案】（1）且；（2）5km 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】函数有意义， 则需满足， 解得， 故函数的定义域为． 2．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等价于， 解得， 则集合， 所以. 3．（26-27高三上·江西九江·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 即，解得， 所以不等式的解集为 4．（26-27高三上·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 5．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）已知命题为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为命题为真命题，故恒成立， 故恒成立， 设，此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故在上的最小值为， 故. 6．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 7．（26-27高三上·辽宁锦州·阶段检测）若不等式的解集为，则成立的充要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为不等式的解集为， 所以与是方程的两个根，且， 所以，， 则不等式可化为，解得， 所以成立的充要条件是. 8．（26-27高三上·全国·课后作业）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将不等式进行变式，将a的取值范围初步求出，再根据初步范围和不等式恰有2个整数解进行分类讨论，最终求出a的范围. 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 9．（25-26高三下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 10．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 【答案】ABD 【详解】不等式即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式即，即，即， 解得，故不等式的解集为，B正确； 不等式即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 由关于x的不等式 的解集为知， 方程有两个实数根为1和5，且， 由韦达定理得，可得， 故，即，即， 即的解集是，D正确. 11．（25-26高三上·江苏无锡·期末）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 12．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，，若，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】已知集合，集合且， 当时，，解得，符合题意； 当时，即或时，此时方程的两个根需满足小于等于， 则，得，所以； 综上所述，，即实数的取值范围为． 13．（25-26高三上·辽宁大连·期中）若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【答案】 【分析】通过不断构造函数利用一元二次函数性质求解最值. 【详解】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. 14．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 15．（25-26高三下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 16．（25-26高三下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】(1)对进行分类讨论求解不等式； (2)利用分离参数法求k的取值范围； (3)把看作自变量，构造函数，求解实数的取值范围. 【详解】（1）因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）当时，， 知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 （3）设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 一元二次不等式与其他常见不等式解法 知识点1：一元二次不等式的概念及解法 (1)概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． (3)一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. （4）解一元二次不等式的一般步骤 ①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． ②判：计算对应方程的判别式． ③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． ④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 知识点2：分式不等式的解法 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. >0⇔f(x)g(x) >0，<0⇔f(x)·g(x)< 0. ≥0⇔ ⇔f(x)·g(x) >0或. ≤0⇔⇔f(x)·g(x) <0或 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·贵州遵义·阶段检测）不等式的解集是______. 知识点3：绝对值不等式的解法 1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)． 【跟踪训练】 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）不等式的解为________ 知识点4：三个“二次”之间的关系 1．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． 2．三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式 f(x)>0 或f(x)<0 的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 不等式 的解集 f(x)>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R f(x)<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【跟踪训练】 4．（26-27高三上·全国·课堂例题）若关于的不等式的非空解集为，则________． 知识点5：不等式恒成立问题与能成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 2.恒成立问题 ①恒成立，则； 恒成立，则 ②恒成立，则； 恒成立，则 ③最值取不到，不等式加上等号 3.能成立问题 ①有解，则； 有解，则 ②有解，则； 有解，则 ③最值取不到，不等式去掉等号 【跟踪训练】 5．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型一：不含参一元二次不等式的解法 题型二：分式不等式与高次不等式 题型三：绝对值不等式的解法 题型四：含参数一元二次不等式的解法 题型五：三个二次之间的关系 题型六：二次函数根的分布问题 题型七：一元二次不等式恒成立问题 题型八：一元二次不等式能成立问题 题型九：解含参型绝对值不等式 题型十：解不等式组型求参数问题 题型十一：不等式组整数解求参数问题 题型十二：利用一元二次不等式解决实际问题 题型一：不含参一元二次不等式的解法 1．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4). 2．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 4．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：分式不等式与高次不等式 5．（25-26高三·全国·一轮复习）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 7．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 8．（26-27高三上·四川遂宁·开学考试）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 题型三：绝对值不等式的解法 9．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）解下列方程或不等式 (1)； (2)解不等式：； (3)解不等式：； 10．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________. 12．（2026高三·全国·专题练习）不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 题型四：含参数一元二次不等式的解法 13．（25-26高三上·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 14．（26-27高三上·全国·课堂例题）解关于x的不等式. 15．（26-27高三上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 16．（25-26高三下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 题型五：三个二次之间的关系 17．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D． 18．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 19．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 20．（25-26高三下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 题型六：二次函数根的分布问题 21．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）“”是“关于的方程有一正一负根”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 22．（25-26高三下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 24．（25-26高三·全国·一轮复习）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 题型七：一元二次不等式恒成立问题 25．（26-27高三上·安徽亳州·阶段检测）若不等式的解集是，则的范围是（     ） A． B． C． D． 26．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 27．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）若命题：“存在，使得”为假命题，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 28．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）已知二次函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型八：一元二次不等式能成立问题 29．（26-27高三上·湖南邵阳·开学考试）“，”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 30．（2026高三·全国·专题练习）设，命题：，使得不等式成立，若为真命题，求的取值范围. 31．（25-26高三下·天津滨海新区·期中）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（2026高三·全国·专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型九：解含参型绝对值不等式 33．（25-26高三上·上海·期中）若不等式恒成立，则a的取值范围是________. 34．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数 . (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 35．（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）已知都是正数. (1)若，求的最大值； (2)若，且，求的最小值； (3)若，且存在使不等式有解，求的取值范围. 36．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知函数． (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 题型十：解不等式组型求参数问题 37．（25-26高三上·江苏扬州·期中）设集合，集合为关于的不等式组的解集，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·上海闵行·阶段检测）已知、，关于的不等式组解集为，则的值为______． 39．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高三上·上海·随堂练习）若不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________． 题型十一：不等式组整数解求参数问题 41．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为____________． 42．（25-26高三·全国·一轮复习）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高三上·四川广安·期中）已知关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（2026高三·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 题型十二：利用一元二次不等式解决实际问题 45．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. (1)若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） (2)为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 46．（26-27高三上·四川阿坝·阶段检测）北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 47．（2026高三上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 48．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 1．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 2．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·江西九江·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 5．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）已知命题为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·辽宁锦州·阶段检测）若不等式的解集为，则成立的充要条件是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·全国·课后作业）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 10．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 11．（25-26高三上·江苏无锡·期末）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 12．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，，若，则实数的取值范围为________． 13．（25-26高三上·辽宁大连·期中）若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 14．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 15．（25-26高三下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 16．（25-26高三下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $