2.3 一元二次不等式与其它不等式解法 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次不等式及其他不等式解法，涵盖不含参与含参不等式求解、三个“二次”关系、恒成立与有解问题、根的分布等高考核心考点，按题型逻辑分层梳理知识体系。通过考点精讲、方法提炼、真题演练的教学流程，帮助学生构建解题框架，突破分类讨论、参数分析等难点。 资料以题型分层设计为特色，每个题型配套“方法提炼”模块，如含参不等式求解强调二次项系数、根的大小等分类讨论要点，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础到综合的梯度练习，结合高考真题训练，助力学生在有限时间内提升解题效率，为教师精准把控复习进度提供系统指导。

§2.3 一元二次不等式与其它不等式解法·复习讲义 目录 题型1：求不含参的一元二次不等式的解集 3 题型2：求含参的一元二次不等式的解集 4 题型3： 三个“二次”之间的关系 5 题型4：其他不等式的解法 5 题型5：一元二次不等式在R上恒成立 6 题型6：一元二次不等式在某区间上恒成立 7 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 8 题型8：一元二次方程根的分布 8 1. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 R 的解集 2. 或型不等式的解集 不等式 解集 {x|x≠a} 3. 分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 4. 绝对值不等式 （1）； 推广： ； （2）或； 推广：或； （3）或； （4）； （5）与的解法： ①数轴上的几何意义： 在数轴上的几何意义表示为到两定点的距之和，； 在数轴上的几何意义表示为到两定点的距离之差，. ②采用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想. 题型1：求不含参的一元二次不等式的解集 方法提炼 解一元二次不等式的4个步骤 【例1.1.】 已知则不等式的解集为______． 【例1.2.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 不等式 的解集为__________． 题型2：求含参的一元二次不等式的解集 方法提炼 解含有参数的一元二次不等式时要注意分类讨论． (1) 关于不等式类型的讨论：二次项系数，，； (2) 关于不等式对应方程的实数根的讨论：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根； (3) 关于不等式对应的方程的实数根的大小的讨论，，． 【例2.1.】 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 关于的不等式的解集不可能是 （    ） A．或 B． C． D． 【例2.3.】 已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 【例2.4.】 若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数 m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知集合，关于的不等式的解集记为. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型3： 三个“二次”之间的关系 方法提炼 (1) 一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2) 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【例3.1.】 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【例3.2.】 （多选）已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 （多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 题型4：其他不等式的解法 【例4.1.】 （2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【例4.2.】 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例4.4.】 不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 不等式的解集为______. 【例4.6.】 （多选）关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【例4.7.】 已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为_________． 题型5：一元二次不等式在R上恒成立 方法提炼 (1) 对任意实数恒成立的条件是或. (2) 对任意实数恒成立的条件是或. 【例5.1.】 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 【例5.2.】 已知关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围是__________. 【例5.3.】 （多选）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【例5.4.】 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例5.5.】 已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 题型6：一元二次不等式在某区间上恒成立 方法提炼 有两种命题情况：一是自变量在给定区间上恒成立;二是在给定参数的范围上恒成立.这两种情况的解法为： (1) 不等式解集法：若在区间上恒成立，且不等式的解集为，则； (2) 函数最值法：已知函数的值域为，则恒成立⇒ ，即；恒成立⇒，即. (3) 分离参数法：将参数与变量分离，即化成或的形式，通过解不等式或得的取值范围. (4) 主参换位法：即把主元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. (5) 数形结合法：结合函数图像将问题转化为函数图像的对称轴、区间端点的函数值或函数图像的位置（相对于轴）关系求解. 【例6.1.】 已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为__________． 【例6.2.】 已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D． 【例6.3.】 已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【例6.4.】 已知，不等式，则实数的取值范围是______． 【例6.5.】 已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 方法提炼 不等式有解问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1) 若存在，有解⇒； (2) 若存在，有解⇒. 【例7.1.】 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______． 【例7.2.】 若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 【例7.3.】 若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 题型8：一元二次方程根的分布 方法提炼 一般情况下需要从以下4个方面考虑： ①开口方向；②方程的根的判别式；③对称轴与区间端点的关系；④区间端点函数值的正负. (1) 两根在同一区间 根的分布 大致图像 结论 (2) 两根不在同一区间【抓①开口方向②区间端点函数值的正负】 根的分布 大致图像 结论 或 (3) 在区间上只有一根 或 (4) ①方程有两个不等的负根 ②方程有两个不等的正根 ③方程有一正根和一负根 【例8.1.】 已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【例8.2.】 方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【例8.3.】 已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【例8.4.】 关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §2.3 一元二次不等式与其它不等式解法·复习讲义 目录 题型1：求不含参的一元二次不等式的解集 3 题型2：求含参的一元二次不等式的解集 5 题型3： 三个“二次”之间的关系 8 题型4：其他不等式的解法 11 题型5：一元二次不等式在R上恒成立 15 题型6：一元二次不等式在某区间上恒成立 18 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 23 题型8：一元二次方程根的分布 25 1. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 R 的解集 2. 或型不等式的解集 不等式 解集 {x|x≠a} 3. 分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 4. 绝对值不等式 （1）； 推广： ； （2）或； 推广：或； （3）或； （4）； （5）与的解法： ①数轴上的几何意义： 在数轴上的几何意义表示为到两定点的距之和，； 在数轴上的几何意义表示为到两定点的距离之差，. ②采用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想. 题型1：求不含参的一元二次不等式的解集 方法提炼 解一元二次不等式的4个步骤 【例1.1.】 已知则不等式的解集为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 【例1.2.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、求对数型复合函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】分别求出两个集合，按照集合的并运算即可 【详解】集合，集合或， 故或，即． 【例1.3.】 使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】考查二次根式有意义的条件 ，要使二次根式有意义，即，然后求解这个不等式即可得到的取值范围. 【详解】，即，解得. 【例1.4.】 不等式 的解集为__________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为 题型2：求含参的一元二次不等式的解集 方法提炼 解含有参数的一元二次不等式时要注意分类讨论． (1) 关于不等式类型的讨论：二次项系数，，； (2) 关于不等式对应方程的实数根的讨论：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根； (3) 关于不等式对应的方程的实数根的大小的讨论，，． 【例2.1.】 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 【例2.2.】 关于的不等式的解集不可能是 （    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】分、、三种情况讨论，结合一元二次函数图象解不等式. 【详解】若，则等价于， 若，则不等式的解集为，故B不符合题意； 若，则不等式的解集为，故D不符合题意； 若，则不等式的解集为，故C不符合题意； 若，则等价于， 则不等式的解集为或； 若，则不等式的解集为， 综上可知，A选项符合题意. 故选：A 【例2.3.】 已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由题意可得集合以及两集合之间的包含关系，分情况讨论的解集，建立不等式得解． 【详解】由可得， 又， ， 当时，，由可得或，所以； 当时，，满足； 当时，，由可得或，所以； 综上，实数的取值范围是． 【例2.4.】 若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数 m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意写出不等式的解集，根据解集中恰有3个正整数求出m的取值范围． 【详解】关于x的不等式可化为 ， 该不等式的解集中恰有3个正整数，所以， 不等式的解集为，且， 即实数的取值范围是 故选：B. 【例2.5.】 已知集合，关于的不等式的解集记为. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）代入求出集合和它的补集，再解二次不等式得到集合，最后求并集得到结果； （2）先将 “充分不必要条件” 转化为集合的真包含关系，，再对分情况讨论不等式的解集，最后结合包含关系确定的取值范围. 【详解】（1）当时，有，整理得，解得或， 所以或，所以，又， 所以； （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 不等式可化为， 若，则不等式即，解得，所以， 满足； 当时，不等式即，解得， 若，则，解得； 当时，不等式即，解得或， 满足； 综上，实数的取值范围为. 题型3： 三个“二次”之间的关系 方法提炼 (1) 一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2) 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【例3.1.】 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 【例3.2.】 （多选）已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据一元二次不等式与相应的一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可判断出结论． 【详解】关于的不等式的解集是， 所以，且是一元二次方程即的两根， 所以，选项A正确； ，选项B正确； ，选项D正确； 由，可得：是错误的，即选项C错误． 故选：ABD． 【例3.3.】 （多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 题型4：其他不等式的解法 【例4.1.】 （2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式不等式 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【例4.2.】 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】分式不等式 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 【例4.3.】 已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式 【分析】根据方程的根与不等式的解集之间的关系求解即可. 【详解】易知是方程的根， 即，所以, 当时，不等式为，即,其解集为或. 故实数的值为1. 【例4.4.】 不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根式不等式 【分析】由已知，根据原不等式，可直接列式求解. 【详解】由已知，需满足，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【例4.5.】 不等式的解集为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】高次不等式、解不含参数的一元一次不等式 【分析】将不等式转化为不等式组，再依次解不等式组，最后取并集即可. 【详解】不等式化为： 或， 解，得，即； 解，得，即且， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 【例4.6.】 （多选）关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】分式不等式、高次不等式 【分析】根据分式不等式以及高次不等式的解法结合解集的端点特征分析求解即可. 【详解】对于关于x的不等式，显然且， 此时，可得， 则原不等式等价于， 因为不等式的解集为， 根据解集的端点个数可知，且，故D正确； 可知的解集为， 令，解得或， 若，则，且，可得，则， 可知，，为不等式的解集端点， 且，可以取到，不可以取到， 则，解得，故AC错误，B正确. 故选：BD. 【例4.7.】 已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为_________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、根式不等式 【分析】由二次根式的非负性求的取值范围，然后两边同时平方解不等式，讨论的不同取值得到不等式的解集，根据题意列方程，解得，即可求得结果. 【详解】∵，∴或 ∵，∴， ∵，∴， 即， 当时，恒成立， ∴不等式的解集是不符合题意，舍去. 当时，， ∴不等式的解集是， 即，即， 则，或（舍去）， 则. 当时，不等式的解集是， 即，即， ∴，即，则（舍去）或（舍去） 当时，， 当，，即时， 不等式的解集是，不符合题意，舍去. 当，，即时， ∵， 当且仅当，即时取等号， ∴当时，， 不等式的解集是或，不符合题意，舍去. 综上所述，. 故答案为：. 题型5：一元二次不等式在R上恒成立 方法提炼 (1) 对任意实数恒成立的条件是或. (2) 对任意实数恒成立的条件是或. 【例5.1.】 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0，函数图像与轴无交点，则不等式大于0恒成立，从而求出参数取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为： 【例5.2.】 已知关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】先根据解集为，得出不等式恒成立，再分是否为0，分类讨论列式求解. 【详解】因为关于的不等式：的解集为，所以关于的不等式：恒成立， 当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，必须且只需，解得； 综上，. 故答案为：. 【例5.3.】 （多选）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【难度】0.68 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】首先根据绝对值三角不等式求的最小值，再根据不等式恒成立，转化为，即可求解. 【详解】不等式， 由不等式恒成立，可知， 即，解得：， 选项中满足条件的只有BC. 【例5.4.】 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分与讨论即可得. 【详解】当时，可得，符合题意； 当时，需使，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 【例5.5.】 已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.78 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）将看作整体，然后由二次不等式解法可得答案； （2）由题可得，然后由基本不等式求得最小值可得答案. 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 题型6：一元二次不等式在某区间上恒成立 方法提炼 有两种命题情况：一是自变量在给定区间上恒成立;二是在给定参数的范围上恒成立.这两种情况的解法为： (1) 不等式解集法：若在区间上恒成立，且不等式的解集为，则； (2) 函数最值法：已知函数的值域为，则恒成立⇒ ，即；恒成立⇒，即. (3) 分离参数法：将参数与变量分离，即化成或的形式，通过解不等式或得的取值范围. (4) 主参换位法：即把主元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. (5) 数形结合法：结合函数图像将问题转化为函数图像的对称轴、区间端点的函数值或函数图像的位置（相对于轴）关系求解. 【例6.1.】 已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 【例6.2.】 已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在，上恒成立，得到，求解关于的不等式组得得取值范围． 【详解】解：令， 则不等式恒成立转化为在上恒成立． 有，即， 整理得：， 解得：或． 的取值范围为． 故选：C． 【例6.3.】 已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 【例6.4.】 已知，不等式，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】对已知不等式变形，通过构造函数，利用数形结合思想进行运算求解即可. 【详解】因为， 所以由不等式， 设， 原问题转化为，恒成立， 在同一直角坐标系内，画出两个函数的图象，如下图所示： 因为问题是研究的情况，所以当的情况不用研究. 当时，， ，或， 当时，舍去，所以， 要想，恒成立，只需，而， 所以， 当时，舍去，所以， 此时要想，恒成立，只需，而， 所以， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 【例6.5.】 已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【答案】 【难度】0.38 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】根据绝对值的概念，化简不等式，根据恒成立的条件，列出不等式，对不等式的参数进行分类讨论，进而求出参数范围. 【详解】由可得， 即， 对于是关于的一次函数，因为，，所以， 对于，恒成立，等价于恒成立， 即， 对于，当时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知，则此时函数在上单调递减， 所以时，得，解得，即取值范围为； 对于，可知时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知对称轴，则此时函数在上单调递增， 所以时，得，解得，即取值范围为； 综上所述，取值范围为. 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 方法提炼 不等式有解问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1) 若存在，有解⇒； (2) 若存在，有解⇒. 【例7.1.】 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可. 【详解】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 【例7.2.】 若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】不等式在区间内有解，即在区间内有解， 那么，设. 根据二次函数的性质可知，所以. 故答案为：. 【例7.3.】 若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 题型8：一元二次方程根的分布 方法提炼 一般情况下需要从以下4个方面考虑： ①开口方向；②方程的根的判别式；③对称轴与区间端点的关系；④区间端点函数值的正负. (1) 两根在同一区间 根的分布 大致图像 结论 (2) 两根不在同一区间【抓①开口方向②区间端点函数值的正负】 根的分布 大致图像 结论 或 (3) 在区间上只有一根 或 (4) ①方程有两个不等的负根 ②方程有两个不等的正根 ③方程有一正根和一负根 【例8.1.】 已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】令，求出对称轴，得到，分别讨论，，时满足的条件得到答案 【详解】（1）令， 由题意得对称轴为：，且 ①时，要使在上有零点， 则，即，解得： ②时，要使在上有零点， 则，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （2）由（1）知，， ①时，，即，解得： ②时，，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （3）由（1）知，， ①时，有一解或无解，不符合题意 ②时，，即，解得： ③时，，无零点，不符合题意， 综上所述， （4）由（1）知， ①时，，即，解得：，， ②时，，即，解得：，， ③时，，无零点，符合题意， 综上所述， 【例8.2.】 方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 【例8.3.】 已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 【例8.4.】 关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $