1.4 一元二次不等式与其他常见不等式的解法（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次不等式及分式、绝对值等常见不等式解法，以“三个二次”关系为核心，通过表格系统梳理知识要点，分十个典例类型（含参/不含参不等式、根的分布、恒成立问题等）展开精讲，结合阶段检测与模拟真题训练，构建“知识复习-方法指导-真题演练”的完整教学流程，助力学生突破解题难点。 讲义突出分层教学与核心素养培养，如通过函数图象分析根的分布问题培养数学眼光，结合参数分类讨论发展数学思维，设置实际应用案例（如营业额计算）强化数学语言表达。典例覆盖基础到综合，配合即时反馈设计，能在有限时间内提升学生解题效率，为教师精准把控复习节奏提供清晰框架。

1.4 一元二次不等式与其他常见不等式的解法（精讲） 第一部分：知识复习 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} 　 R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【注意】解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根． [常用结论] 1．分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 2．绝对值不等式：|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)； |x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数确定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 第二部分：典型例题 典例一：一元二次不等式解法（不含参） 1．（25-26高三上·山西忻州·阶段检测）已知集合，，则（      ） A． B． C． D． 2．（26-27高三·全国·暑假作业）求函数的定义域． 3．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段检测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南焦作·阶段检测）已知：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 典例二：一元二次不等式解法（含参） 7．（2026高三·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 8．（25-26高三上·河北唐山·开学考试）函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 9．（2026高三·全国·专题练习）解不等式． 10．（25-26高三上·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 11．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知二次函数. (1)若，且都有，求的最小值； (2)解关于的不等式：. 12．（2026高三上·全国·专题练习）已知，解关于的不等式：. 典例三：其他不等式 13．（25-26高二下·湖南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·全国·自主招生）不等式的解集是___________． 16．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）关于的不等式的解集为___________． 17．（25-26高三·全国·一轮复习）解不等式. 18．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·江苏宿迁·开学考试）不等式组的解集为__________. 20．（2019·河北·模拟预测）不等式的解集为___________. 21．（25-26高二下·上海·阶段检测）若对任意实数，都有，则实数的取值范围是________． 22．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________． 典例四：三个二次之间的关系应用 23．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 25．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 26．（25-26高三上·浙江·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 27．（2026·西藏林芝·二模）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 28．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 典例五：一元二次方程根的分布问题 29．（26-27高三·全国·暑假作业）关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 30．（26-27高三·全国·暑假作业）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 31．（26-27高三·全国·暑假作业）若关于的方程有且只有一个根在区间上，则的值范围为______． 32．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 33．（26-27高三·全国·暑假作业）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 34．（26-27高三·全国·暑假作业）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 典例六：一元二次不等式恒成立问题（R上） 35．（上海市宝山区2026-2026学年高三上学期6月期末教学质量监测数学试题）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 36．（2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 37．（25-26高三上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 典例七：一元二次不等式恒成立问题（某区间上） 39．（26-27高三·全国·暑假作业）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 40．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 41．（25-26高三上·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 42．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 43．（2026高三·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 44．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 典例八：一元二次不等式有解问题 45．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高三上·四川成都·期中）已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 48．（25-26高三上·山西晋城·期末）（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 49．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末），使成立，则实数的取值范围是___________. 50．（25-26高三上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 典例九：已知参数，求取值范围 51．（26-27高三·全国·暑假作业）已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 52．（26-27高三·全国·暑假作业）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 53．（25-26高三上·四川巴中·阶段检测）已知函数. (1)若为一次函数，且满足，求； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，求使的取值范围. 54．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 典例十：一元二次不等式的应用 55．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 56．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 57．（25-26高三上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 58．（25-26高三上·贵州遵义·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 一元二次不等式与其他常见不等式的解法（精讲） 第一部分：知识复习 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} 　 R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【注意】解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根． [常用结论] 1．分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 2．绝对值不等式：|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)； |x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数确定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 第二部分：典型例题 典例一：一元二次不等式解法（不含参） 1．（25-26高三上·山西忻州·阶段检测）已知集合，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出集合，利用交集定义即可得. 【详解】，则. 2．（26-27高三·全国·暑假作业）求函数的定义域． 【答案】 【详解】要使函数有意义，需使，解得， 则函数的定义域是． 3．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段检测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法、对数型函数的最值性质，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由， 因此. 令，所以当时，， 所以， 所以. 4．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， ． 5．（25-26高三上·河南焦作·阶段检测）已知：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先化简命题和，再利用包含关系，结合充分条件与必要条件的定义求解即可. 【详解】对于：，，即解得， 所以对应的集合. 对于：，，因为分母不为0，所以， 即，解得，所以对应的集合. 因为集合A与集合B不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以. 典例二：一元二次不等式解法（含参） 7．（2026高三·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果． 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 8．（25-26高三上·河北唐山·开学考试）函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当时，， ， 得，； （2），，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 9．（2026高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为 【分析】分、及进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得. 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 10．（25-26高三上·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）解：， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 11．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知二次函数. (1)若，且都有，求的最小值； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题得到，所以，再利用基本不等式求解即可. （2）不等式等价于，对分三种情况讨论即可 【详解】（1）由题，对称轴为，所以，变形得，则 ， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为. （2）不等式即求解 ①当时，，解集为 ②当时，抛物线开口向上， 若，即时，恒成立，解集为 若，即时，则，解集为 若，即时，不等式解集为 ③当时，抛物线开口向下，此时恒成立， 不等式解集为 12．（2026高三上·全国·专题练习）已知，解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】分别在、和的情况下，利用一元二次不等式的求法求得对应的解集. 【详解】， 当时，， 方程的两个根分别为 或， 则由，得； 当时，，原不等式化为，得； 当时，，不等式无解， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 典例三：其他不等式 13．（25-26高二下·湖南·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法求解分式不等式即可得出结果． 【详解】解：不等式，可化为，整理得， 即，解得． 所以不等式的解集为． 14．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意， ，则. 15．（25-26高二下·全国·自主招生）不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】对于原不等式，有，原不等式化为，两边平方化简为，结合高次不等式的解法并结合可得出原不等式的解集. 【详解】对于不等式，有，可得， 所以原不等式化为． 因为，必有，可得， 由可得， 即， 整理可得， 方程的两根分别为，，如下图所示： 不等式的解为或或， 又因为，故原不等式的解集为. 16．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合一元二次不等式解法，分段求解即可. 【详解】由不等式有意义，得，解得， 当时，，因此； 当时，，即，解得，因此， 所以不等式的解集为. 故答案为： 17．（25-26高三·全国·一轮复习）解不等式. 【答案】或或 【详解】因为次数为2，根为2， 的次数为奇数，根分别为. 如图所示，“奇穿偶不穿”，解集为或或． 18．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 19．（25-26高三上·江苏宿迁·开学考试）不等式组的解集为__________. 【答案】 【分析】根据题意结合绝对值的几何意义解不等式即可. 【详解】对于，即，可得，解得； 对于，即，可得，解得； 综上所述：不等式组的解集为. 故答案为：. 20．（2019·河北·模拟预测）不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】转化为不等式组，利用绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】等价于， 解得或， 不等式的解集为， 故答案为. 【点睛】绝对值不等式的常见解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 21．（25-26高二下·上海·阶段检测）若对任意实数，都有，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】要使不等式对任意恒成立，只需小于等于的最小值即可. 【详解】根据绝对值的几何意义，是数轴上点到点的距离，是点到点的距离， 当点在和之间（含端点）时，两个距离之和最小，最小值就是到的距离， 即的最小值为. 因此不等式恒成立要求即可，即的取值范围是. 22．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________． 【答案】 【详解】令， 当时，； 当时，，得，所以； 当时，不成立． 故原不等式的解集为. 典例四：三个二次之间的关系应用 23．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 24．（25-26高三上·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 25．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 26．（25-26高三上·浙江·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 27．（2026·西藏林芝·二模）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 28．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 【答案】 【分析】根据三个二次的关系，得出以及用表示出，代入求解分式不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，得， 故可化为 ，又因为，所以原不等式等价于，即. 所以解集为. 典例五：一元二次方程根的分布问题 29．（26-27高三·全国·暑假作业）关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 30．（26-27高三·全国·暑假作业）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 31．（26-27高三·全国·暑假作业）若关于的方程有且只有一个根在区间上，则的值范围为______． 【答案】 【分析】根据判别式分和两种情况讨论，当时分别解得方程的根，再验证是否在所给区间内；当时，由题意可得，进而可得，再验证端点的值是否满足可得. 【详解】令， ①当两个根相等时，则，解得或， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，满足题意． ②当两个根不相等时，则，即，解得或. 因为方程有且只有一个根在区间上， 所以，解得,满足，因此方程有两个不同的根； 当时，此时方程为，方程的根为或，，，满足题意． 当时，此时方程为，方程的根为或，，，不合题意； 所以实数的取值范围为． 32．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 33．（26-27高三·全国·暑假作业）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】考查二次函数根的分布问题，由题意得出且，从而求出的取值范围. 【详解】令， 因为方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为． 34．（26-27高三·全国·暑假作业）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 典例六：一元二次不等式恒成立问题（R上） 35．（上海市宝山区2026-2026学年高三上学期6月期末教学质量监测数学试题）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 36．（2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 37．（25-26高三上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 38．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，对任意恒成立，需满足： ，解得， 综上可得． 典例七：一元二次不等式恒成立问题（某区间上） 39．（26-27高三·全国·暑假作业）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】含参恒成立问题，通过，，可直接分离参数，转化为在上恒成立问题，即，计算即可. 【详解】要使 在上恒成立， 即 ，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 40．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 41．（25-26高三上·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 42．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 43．（2026高三·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】 ∵对任意的，恒成立，∴当时，. ∵二次函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： （i）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴， ∴，即，解得或， ∵，∴. （ii）当，即时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴，即， ∵二次项系数大于0且，∴不等式无解. （iii）当，即时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，解得：或， ∵，∴. 综上可知，实数的取值范围为. 44．（2026高三·全国·专题练习）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 典例八：一元二次不等式有解问题 45．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 46．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 47．（25-26高三上·四川成都·期中）已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 48．（25-26高三上·山西晋城·期末）（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 49．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末），使成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用分离参变量法，来求函数的最大值，即可得参数范围. 【详解】由于当时，不等式， 要，使成立，即满足 因为函数在上单调递增，所以， 即， 故答案为： 50．（25-26高三上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 典例九：已知参数，求取值范围 51．（26-27高三·全国·暑假作业）已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) 【分析】（1）原不等式等价于，对二次项系数进行讨论，结合一元二次不等式恒成立求解即可. （2）设，则是关于的一次函数，得到联立求解即可. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，即，无实数解. 所以，不存在实数，使得不等式对恒成立． （2）设，当时，恒成立． 又是关于的一次函数， 所以恒成立，，解得， 所以. 所以实数的取值范围是． 52．（26-27高三·全国·暑假作业）若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将转化为关于的一次函数，判断的单调性，得到，解不等式即可. 【详解】设， 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增． 所以等价于，即， 整理得，解得， 故实数的取值范围为. 53．（25-26高三上·四川巴中·阶段检测）已知函数. (1)若为一次函数，且满足，求； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，求使的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）设，利用待定系数法求出即可； （2）将参数分离，利用基本不等式求出表达式的最小值可得结果； （3）将函数改写成关于的函数，利用函数单调性解不等式可求出的取值范围为. 【详解】（1）设，， 由可得， 即，所以， 解得或， 因此或. （2）由题可知，不等式在时恒成立. 显然当时，为任意值时都满足题意； 当时，不等式可化为在时恒成立， 易知， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以； 即实数的取值范围为. （3）令，， 因为，所以. 要使在上恒成立，则， 即，解得，即； 因此使的取值范围为. 54．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由三个二次的关系以及韦达定理求解即可； （2）通过，，讨论求解即可； （3）令，由求解即可. 【详解】（1）不等式的解集为 即的解集为， 可知方程的两个根为，且， 由根与系数的关系可得，解得， 则； （2）由，即， 得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得； 当时，解得，不等式的解集为. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式的解集为. （3）不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令， 若时，即或， 当时，满足， 当时，不成立，不满足， 若，需满足，解得，且， 综上可知：实数的取值范围为. 典例十：一元二次不等式的应用 55．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 56．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【答案】（1）且；（2）5km 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 57．（25-26高三上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【答案】(1)第年 (2)第年 【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论； （2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. 58．（25-26高三上·贵州遵义·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $