专题1.3 等式与不等式的性质讲义-2027届高三数学一轮复习

专题1.3 等式与不等式的性质 知识点1：等式的性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么． 【跟踪训练】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【答案】花卉带的宽度应大于等于，且小于. 【详解】设花卉带的宽度应为，则， 即，化简得 解得，又因为，所以， 所以花卉带的宽度应大于等于，且小于. 知识点2：不等式的性质 1.常见的文字语言与符号语言之间的转化 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 2.不等式的性质 性质 具体名称 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 ， 3 可加性 4 可乘性 的符号 5 同向可加性 6 同向同正可乘性 7 可乘方性 （，） 同正 8 可开方性 （，） 注：(1)同向不等式可以相加，不能相减； (2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变． 3.倒数性质(1)a>b，ab>0⇒<；(2)a<0<b⇒<；(3)a>b>0，d>c>0⇒>. 4.分数性质若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<；>(b－m>0)； (2)假分数性质：>；<(b－m>0)． 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·北京昌平·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，在的情况下讨论；对于B，取，讨论即可；对于C，在的情况下讨论；对于D，通过不等式变换即可. 【详解】选项A：若，则，错误. 选项B：若，，，，错误. 选项C：若，，，错误. 选项D：因为，所以，故成立，正确. 知识点3：比较两个实数大小的方法 ⑴作差法：对于两个实数，，通过比较与的大小关系，从而得到实数，的大小关系，具体方法如下：；；． ⑵作商法：对于任意两个正数，，通过比较与的大小关系，从而得到正数，的大小关系，具体方法如下：当，时，；；． 【跟踪训练】 3．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 题型一：用不等式表示不等关系 题型二：作差法、作商法比较大小 题型三：比较数或式子的大小 题型四：由不等式的性质证明不等式 题型五：利用不等式求值或取值范围 题型六：不等式的综合问题 题型一：用不等式表示不等关系 1．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【答案】C 【分析】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数，将题干条件转化为不等式组：，，，代入特殊值验证，可以判断选项A、B、D；由可得，进而可得，可以判断C. 【详解】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数 选项A：若，满足所有题干条件，此时，不满足“多于三倍”，故A错误； 对选项B：若，，不满足“多于两倍”，故B错误； 对选项C：由可得，又，因此， 即恒成立，故C正确； 对选项D：若，满足，此时， 不满足“多于三倍”，故D错误. 2．（26-27高三上·全国·课后作业）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 【答案】 【详解】根据题意得，需要满足如下不等关系：①， ，化简为②， 又③，④,且；⑤ 由①、②、③、④、⑤组成不等式组，即. 3．（26-27高三上·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 4．（26-27高三上·全国·课堂例题）某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 【答案】 【详解】由该班共有人，这笔开学费用共元，根据题意得. 题型二：作差法、作商法比较大小 5．（26-27高三上·全国·课后作业）若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1），分母正负无法确定，故错误； （2）若，故错误； （3）若，故错误. 6．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明：因为，所以， 所以. 【详解】略 7．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，试比较的大小. 【答案】 【详解】因为， 所以. 8．（25-26高三上·浙江温州·期末）（多选）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较和作商比较法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，由，所以，所以A正确； 对于B，因为，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由， 因为，可得，且，， 所以，即，所以，所以C错误； 对于D，由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以D正确. 故选：ABD. 题型三：比较数或式子的大小 9．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）对于实数，，，下列命题是真命题的为（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】因为，所以，故A错误； 因为，，所以，故B错误； 因为，所以，，所以，故C正确； 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，故D正确. 10．（26-27高三上·四川·阶段检测）（多选）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ ，可知，即，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变. ∴ ，故A正确. 对于选项B： 取反例：，，，，满足，， 此时，，，不满足，故B错误. 对于选项C： 作差得. ∵ ，∴ ，. ∴ ，即，故C正确. 对于选项D： 取反例：，，，满足且， 此时，，，即，不满足. 故D错误. 11．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】D 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 12．（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的基本性质推导即可. 【详解】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 题型四：由不等式的性质证明不等式 13．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 【答案】 （1） （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）， 所以 （2）略 14．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 15．（25-26高三上·湖南·阶段检测）（1）已知，证明：． （2）已知均为正数，证明：． 【答案】（1）证明： 因为，所以. 因为，所以， 所以. （2）证明： 因为，所以，当且仅当时，等号成立. 同理，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立. 【分析】（1）先利用不等式的乘法法则得，然后利用不等式的加法法则证明即可； （2）结合不等式的加法法则，利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）略； （2）略. 16．（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）（1）已知x，y，m，n都是正数，且，，求证：； （2）证明：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 【答案】（1） 因为，m，n都是正数，不等式两边同乘以得， 又x，y都是正数且，所以，， 故， 所以； （2） 充分性：，故， 一元二次方程变形为， 即，， ，故方程的一个根为，充分性成立； 必要性：将代入一元二次方程得，必要性成立； 所以是一元二次方程的一个根的充要条件是. 【分析】（1）先得到，从而得到，作差法得到，证明出结论； （2）先证明充分性，再证明必要性，从而得到结论. 【详解】（1）略 （2）略 题型五：利用不等式求值或取值范围 17．（25-26高三下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 18．（25-26高三下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 19．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 20．（25-26高三上·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围. （2）将用表示出，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 题型六：不等式的综合问题 21．（25-26高三下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由题得中一个为正，两个为负，不妨设，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，所以中一个为正，两个为负， 不妨设，所以， 又， 当且仅当即时等号成立， 所以，所以，所以， 所以的最小值为. 22．（26-27高三上·上海杨浦·开学考试）已知三个非负实数､､满足和，则的最小值和最大值分别是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用表示及目标代数式，再利用确定范围，利用不等式性质可得答案. 【详解】由题可得，从而，. 由题可得，从而，则. 23．（25-26高三上·河南·阶段检测）我们把中的最大值记为，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】通过设最大值为，利用不等式关系推导的下界，结合等号成立条件确定最小值. 【详解】设（），则： ， ， . 结合前两式，得，又 ，所以，即，故. 当时，，，此时，等号成立. 故选：C 24．（25-26高三上·上海徐汇·期中）记表示，，，三个数中的最小数，若方程有解，其中，，均为正数，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方程有解得到，不妨设，从而得到，然后由作差法确定的值，然后由不等式的基本性质求得最大值. 【详解】，则， 若，则，故 ∴， ， ∴，当且仅当时取等号. 同理若，则，故 ∴， ， ∴，当且仅当时取等号. 同理若且，∵，故. ∴， ， ∴， 当且仅当时取等号. 综上所述：的最大值为. 故选：B. 1．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由，可得，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，由，可得，C错误； 对于D，由，可得，D错误. 2．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 3．（26-27高三上·浙江·开学考试）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数的底数，故该函数在R上单调递减，因为，所以； 幂函数的指数，故该函数在上单调递增，因为，所以； 综上，. 4．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，取，，，，则，，所以，此时选项A不成立； 对于选项B，取，，，，则，，所以，此时选项B不成立； 对于选项C，取，，，，则，，所以，此时选项C不成立； 对于选项D，，其中由已知得，，，故恒成立. 5．（25-26高三下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 6．（26-27高三上·全国·课后作业）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为, 所以, 因为, 所以, 所以, 所以. 7．（2026·浙江·一模）对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】应用不等式性质结合充分必要条件的定义求解即可. 【详解】对实数，当时，，则， 当时，，则， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 9．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】A.∵，， 又∵，∴ 即，故A错误； B.∵，∴，又∵，∴，故B正确； C.∵，∴，又∵，∴，故C正确； D.∵，又，， ∴，∴，即，故D错误. 10．（25-26高三下·辽宁大连·期末）（多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】本题考查不等式的基本性质与幂函数单调性的应用，需结合性质或反例逐项判断命题正误。 【详解】选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，因此D错误. 11．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，则，故B正确； 对于C，由，，得，则，故C错误； 对于D，由，，得，，则，故D正确. 12．（26-27高三上·全国·课后作业）若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 【答案】①③④ 【详解】因为，，所以，，所以，故①成立； 取，，，，代入②，可知②不成立； 因为，由不等式的可加性知，所以③成立； 由知，，由不等式的可加性知，所以④成立． 13．（25-26高三下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 14．（25-26高三上·浙江杭州·期中）对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 【答案】9 【分析】令，根据的定义，通过配凑系数法，结合条件，求得的最小值； 【详解】令，则． 为非负实数，且， ，． 且当时， 的最小值为9. 15．（26-27高三上·全国·课后作业）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由如下： ， 由于，且 所以，即， 因此. (2)，理由如下： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1）,理由略； （2）,理由略. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【详解】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，∴，，即 所以， （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 等式与不等式的性质 知识点1：等式的性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么． 【跟踪训练】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 知识点2：不等式的性质 1.常见的文字语言与符号语言之间的转化 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 2.不等式的性质 性质 具体名称 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 ， 3 可加性 4 可乘性 的符号 5 同向可加性 6 同向同正可乘性 7 可乘方性 （，） 同正 8 可开方性 （，） 注：(1)同向不等式可以相加，不能相减； (2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变． 3.倒数性质(1)a>b，ab>0⇒<；(2)a<0<b⇒<；(3)a>b>0，d>c>0⇒>. 4.分数性质若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<；>(b－m>0)； (2)假分数性质：>；<(b－m>0)． 【跟踪训练】 2．（25-26高三下·北京昌平·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 知识点3：比较两个实数大小的方法 ⑴作差法：对于两个实数，，通过比较与的大小关系，从而得到实数，的大小关系，具体方法如下：；；． ⑵作商法：对于任意两个正数，，通过比较与的大小关系，从而得到正数，的大小关系，具体方法如下：当，时，；；． 【跟踪训练】 3．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 题型一：用不等式表示不等关系 题型二：作差法、作商法比较大小 题型三：比较数或式子的大小 题型四：由不等式的性质证明不等式 题型五：利用不等式求值或取值范围 题型六：不等式的综合问题 题型一：用不等式表示不等关系 1．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 2．（26-27高三上·全国·课后作业）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 3．（26-27高三上·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·全国·课堂例题）某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 题型二：作差法、作商法比较大小 5．（26-27高三上·全国·课后作业）若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） 6．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，求证：. 7．（26-27高三上·全国·课后作业）已知，试比较的大小. 8．（25-26高三上·浙江温州·期末）（多选）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 题型三：比较数或式子的大小 9．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）对于实数，，，下列命题是真命题的为（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 10．（26-27高三上·四川·阶段检测）（多选）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 11．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 12．（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 题型四：由不等式的性质证明不等式 13．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 14． （26-27高三上·全国·课后作业）已知，求证:. 15．（25-26高三上·湖南·阶段检测）（1）已知，证明：． （2）已知均为正数，证明：． 16．（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）（1）已知x，y，m，n都是正数，且，，求证：； （2）证明：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 题型五：利用不等式求值或取值范围 17．（25-26高三下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 18．（25-26高三下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 20．（25-26高三上·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 题型六：不等式的综合问题 21．（25-26高三下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 22．（26-27高三上·上海杨浦·开学考试）已知三个非负实数､､满足和，则的最小值和最大值分别是（    ）． A． B． C． D． 23．（25-26高三上·河南·阶段检测）我们把中的最大值记为，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 24．（25-26高三上·上海徐汇·期中）记表示，，，三个数中的最小数，若方程有解，其中，，均为正数，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 1．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·浙江·开学考试）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（26-27高三上·全国·课后作业）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江·一模）对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（25-26高三下·辽宁大连·期末）（多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·全国·课后作业）若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 13．（25-26高三下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 14．（25-26高三上·浙江杭州·期中）对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 15．（26-27高三上·全国·课后作业）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $