1.3 等式与不等式的性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

1.3 等式与不等式的性质 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a; (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c; (3)同向可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd; (5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1); (6)可开方性:a>b>0⇒>(n∈N,n≥2). 常用的结论 1.真分数的性质 若a>b>0,m>0,则<; >(b-m>0). 2.倒数性质 (1)ab>0,a>b⇔<; (2)a>b>0,d>c>0⇒>. 考点一　作商与作差法比较两个数(式)的大小 考点二　不等式的基本性质 考点三　不等式的性质证明不等式 考点四　利用不等式求值或取值范围 考点一　作商与作差法比较两个数(式)的大小 1．（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 2．（25-26高三上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【分析】用作差法计算比较的大小关系． 【详解】 ，故B正确． 故选：B． 3．（2026·云南保山·二模）（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，若，则，故A为假命题； 对于B，，，又，，故B为真命题； 对于C，，则，，故C为真命题； 对于D，且，则，，故D为真命题． 4．（25-26高三上·广东深圳·月考）（多选）已知，则下列不等式成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作商法、作差法分别判断选项AB；借助函数的单调性判断C；由于无法确定与1的大小，所以无法判定D. 【详解】因为，则，且， ，所以，A正确； ，由于， 所以，则，B正确； ，函数在上单调递减，则，C错误； 函数在上单调递减，但无法确定与1的大小， 所以D选项无法确定. 故选：AB 5．（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质以及特殊值求解. 【详解】选项A： 因为，，所以，错误. 选项B：. ，取，则，错误. 选项C： . 因为，，故，即，C正确. 选项D：取，满足，则左边，右边，，D错误. 考点二　不等式的基本性质 6．（2026·四川遂宁·一模）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，， 因，则， 从而，故D正确. 故选：ABD 7．（25-26高三上·吉林长春·期中）（多选）已知，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数函数的单调性，可判断A的正误；利用作差法，可判断B的正误；根据不等式的性质，可判断C的正误，构造函数，利用导数求得单调性，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：因为在上单调递减，且，则， 所以，故A正确； 选项B：， 因为，所以，则，故B错误； 选项C：因为，所以， 所以，即，故C正确； 选项D：令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 当时，，即，所以， 当时，，即，所以，此时不成立，故D错误. 故选：AC 8．（2026·江西·二模）（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质即可判断AC，利用作差法即可判断B，利用基本不等式即可判断D. 【详解】对于A：由得，又，所以，故A正确； 对于B：，又， 所以，所以， 所以，所以，故B错误； 对于C：由，所以，故C错误； 对于D：， 由，所以，所以， 当，即时，等号成立， 所以，故D正确. 9．（2026·陕西·模拟预测）（多选）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断. 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：， 因为，所以；又，， 即，故，故D正确. 10．（2026·贵州黔西南·二模）（多选）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先根据条件判断，再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小. 【详解】由条件可知，，则，故A正确； ，故B正确； ，，所以，故C错误； 设，为增函数减函数=增函数，所以为增函数， 因为，所以，即，即，故D正确. 考点三　不等式的性质证明不等式 11．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用不等式的性质比较大小. 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，，所以， 所以，又，所以. 12．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 13．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知. (1)求的最小值； (2)证明：. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式即可求解； （2）利用换元法将表达式化简，并结合指数函数值域以及不等式性质可得出证明. 【详解】（1）由可得，即； 所以， 因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 即的最小值为2. （2）令（其中为实数）， 因此可得; ; 又因为，所以， 因此， 即 14．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 15．（2026高三·全国·专题练习）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用不等式的基本性质和作差比较法即可证明. 【详解】因，则由 ， （当且仅当时等号成立）； 又因， 则；同理可证， 故可得（当且仅当时等号成立）. 故原不等式得证． 考点四　利用不等式求值或取值范围 16．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 17．（25-26高三·全国·二轮复习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 18．（25-26高三上·陕西渭南·月考）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将用和表示出来，再根据已知不等式利用性质求出的取值范围. 【详解】设，则， 所以，解得， 即， ， 则， 因此. 故选：D. 19．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】令，，用含和的表达式表示出和，并将其代入中，即可得解． 【详解】令，，则. 解方程组可得 所以. 因为，所以，所以. 所以的取值范围为． 故答案为： 20．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据b的范围，可得的范围，根据a的范围，可得的范围，将所求变形，即可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以，则. 故选：C 1．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，运用举反例的方法，逐一分析选项，判断在的条件下，各选项中的不等式是否一定成立. 【详解】选项A：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故A错误； 选项B：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故B错误； 选项C：因为函数 在上是单调递增函数，因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确； 选项D：当 时，，不等式不成立，故D错误. 2．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】举出反例可判断BCD，根据不等式的基本性质，可判断A，进而得到答案． 【详解】对于A，由，两式相加得，故A正确； 对于B，令，满足， 此时，，故B错误； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，所以， 所以由，因此选项A错误，选项D正确； 若，显然，，此时， 若，显然，，此时， 所以选项BC都不恒成立，所以选项BC都不正确. 4．（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解计算即可. 【详解】，， ，， . 故选：C. 5．（25-26高三上·全国·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设求得的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得. 【详解】设， 则，解得，所以； 又，， 所以， 所以. 故选：B. 6．（2026·山东东营·二模）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】选项A利用函数的单调性判断；选项B余弦函数不单调，举反例；选项C根据不等式的性质确定；选项D利用函数的单调性判断. 【详解】函数在区间上单调递增， 因为，所以，选项A正确； ，时，，选项B错误； 若，，则，选项C正确； 函数在上单调递减，所以，选项D错误. 7．（2026·山西吕梁·二模）（多选）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，取，此时，但，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，因为，故，而，故，故C正确； 对于D，， 若，则， 故即，故D错误. 8．（25-26高三上·湖南·阶段检测）（多选）已知实数x，y满足，则下列说法正确的有（   ） A．x的取值范围为 B．y的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】对于AB，根据不等式的同向可加性求解即可；对于C，由A知x的取值范围，结合对勾函数的性质可得的取值范围；对于D，根据指数幂的运算性质将展开，根据指数函数的单调性及不等式的同向可加性可得所求范围. 【详解】对于A，因为，则由，可知，即，故A正确； 对于B，因为，则由，可知，即，故B错误； 对于C，由A知，根据对勾函数的性质知在上单调递减，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，因为，又， 所以，所以， 所以的取值范围为，故D正确． 故选：AD. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）设，则的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质逐一求解目标式的范围即可. 【详解】①由，得. 又，所以. 所以的取值范围是. ②由，，知. 所以的取值范围是. ③由，得； 由，得. 所以. 所以的取值范围是. ④由，得. 又，所以. 所以的取值范围是. 故答案为：；；；. 10．（2026高三·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是________． 【答案】②④ 【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断. 【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确； 对于②，；，∴②正确； 对于③，若，如，但，∴③不正确； 对于④，，∴，， 又∵，∴，∴，∴，∴④正确． 故答案为：②④. 11．（25-26高三上·四川南充·月考）（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据不等式的同向可加性结合待定系数法即可求的取值范围； （2）根据不等式的性质结合逐步判断即可得结论. 【详解】（1）设， 所以，解得， ， 即 的取值范围是. （2）证明： ， ， . 12．（25-26高三·贵州贵阳·月考）已知实数，，满足. (1)若，求证：； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）由条件得且，代入，利用基本不等式求解. 【详解】（1）由，且，得，， 故，所以，所以，即. （2）由且，，，得，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 13．（25-26高三上·河北保定·月考）实数满足． (1)求的取值范围： (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将表示为，再利用不等式的性质求出范围. （2）用表示出，再利用不等式的性质求出的范围. 【详解】（1）设，则且，解得， 因此，而， 因此，即， 所以的取值范围是. （2）由， 得， 由，得， 因此，即， 所以的取值范围是. 14．（25-26高三上·北京·开学考试）已知实数满足． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)； ． (2)证明见解析 【分析】（1）由不等式的性质即可求解； （2）通过作差法即可求证. 【详解】（1）因为，所以， 因为， 所以； （2）．         因为，所以． 所以； 所以． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，求的取值范围. 【答案】 【分析】计算出，从而得到，得到答案. 【详解】设， ∴， ∴，解得， 故， ∵，， ∴，， ∴， 即， 故的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 等式与不等式的性质 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a; (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c; (3)同向可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd; (5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1); (6)可开方性:a>b>0⇒>(n∈N,n≥2). 常用的结论 1.真分数的性质 若a>b>0,m>0,则<; >(b-m>0). 2.倒数性质 (1)ab>0,a>b⇔<; (2)a>b>0,d>c>0⇒>. 考点一　作商与作差法比较两个数(式)的大小 考点二　不等式的基本性质 考点三　不等式的性质证明不等式 考点四　利用不等式求值或取值范围 考点一　作商与作差法比较两个数(式)的大小 1．（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 2．（25-26高三上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 3．（2026·云南保山·二模）（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 4．（25-26高三上·广东深圳·月考）（多选）已知，则下列不等式成立的有（   ） A． B． C． D． 5．（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 考点二　不等式的基本性质 6．（2026·四川遂宁·一模）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 7．（25-26高三上·吉林长春·期中）（多选）已知，则下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 8．（2026·江西·二模）（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西·模拟预测）（多选）如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（2026·贵州黔西南·二模）（多选）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 考点三　不等式的性质证明不等式 11．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 12．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 13．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知. (1)求的最小值； (2)证明：. 14．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 15．（2026高三·全国·专题练习）若，求证：． 考点四　利用不等式求值或取值范围 16．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高三·全国·二轮复习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·陕西渭南·月考）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的取值范围． 20．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京石景山·二模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·全国·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东东营·二模）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 7．（2026·山西吕梁·二模）（多选）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖南·阶段检测）（多选）已知实数x，y满足，则下列说法正确的有（   ） A．x的取值范围为 B．y的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 9．（25-26高三·全国·一轮复习）设，则的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________；的取值范围是________． 10．（2026高三·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是________． 11．（25-26高三上·四川南充·月考）（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 12．（25-26高三·贵州贵阳·月考）已知实数，，满足. (1)若，求证：； (2)若，，，求的最小值. 13．（25-26高三上·河北保定·月考）实数满足． (1)求的取值范围： (2)求的取值范围． 14．（25-26高三上·北京·开学考试）已知实数满足． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，求的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $