21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过具体方程求根计算和与积，引导学生观察系数关系，从二次项系数为1的方程推广到一般形式，结合求根公式推导韦达定理，衔接判别式知识搭建学习支架。 其亮点是习题分层设计，覆盖基础公式、代数式变形等，培养抽象能力、推理能力和应用意识。如解答题“已知根求参数”，让学生用数学思维推理，用数学语言表达，帮助学生夯实基础，教师可高效检测教学效果。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 一元二次方程 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 2026年8月4日 华东师大版九年级上册21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a e0)$$，若方程的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2$$的值为（） A.$$-\dfrac{b}{a}$$ B.$$\dfrac{b}{a}$$ C.$$\dfrac{c}{a}$$ D.$$-\dfrac{c}{a}$$ 2. 已知方程$$x^2-6x+5=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1\cdot x_2$$的值是（） A.-6 B.6 C.-5 D.5 3. 若一元二次方程$$2x^2+4x-3=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2$$的值为（） A.2 B.-2 C.$$\dfrac{3}{2}$$ D.$$-\dfrac{3}{2}$$ 4. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2+3x-2=0$$的两根，则$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$的值为（） A.$$\dfrac{3}{2}$$ B.$$-\dfrac{3}{2}$$ C.$$\dfrac{2}{3}$$ D.$$-\dfrac{2}{3}$$ 5. 已知方程$$x^2+mx+6=0$$的一个根是2，则另一个根是（） A.3 B.-3 C.6 D.-6 6. 若两根之和为3，两根之积为2，则对应的一元二次方程是（） A.$$x^2+3x+2=0$$ B.$$x^2-3x+2=0$$ C.$$x^2+3x-2=0$$ D.$$x^2-3x-2=0$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 一元二次方程$$3x^2-2x-1=0$$的两根之和为________，两根之积为________。 2. 已知方程$$x^2-5x=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2=$$________。 3. 若方程$$x^2+kx+4=0$$的两根之积为4，则$$k$$的取值________（填“唯一”或“不唯一”）。 4. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$2x^2-6x+1=0$$的两根，则$$x_1^2+x_2^2=$$________。 5. 已知方程$$x^2-4x+m=0$$的两根互为倒数，则$$m=$$________。 6. 若一元二次方程两根为1和-3，则该方程的一般形式为________。 三、解答题（共52分） 13.（12分）利用根与系数的关系，直接写出下列方程的两根和与两根积： (1)$$x^2-8x+12=0$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$2x^2+5x-3=0$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3)$$4x^2-1=0$$ 14.（12分）已知$$x_1、x_2$$是一元二次方程$$x^2-2x-4=0$$的两根，求下列代数式的值： (1)$$(x_1+1)(x_2+1)$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$x_1^2+x_2^2$$ 15.（14分）已知一元二次方程$$x^2+(m-3)x+2m=0$$的两根之和为1，求$$m$$的值以及方程的两根之积。 16.（14分）已知方程$$2x^2-3x+k=0$$的一个根为1，利用根与系数的关系求另一个根及$$k$$的值。 参考答案 1.A &nbsp;2.D &nbsp;3.B &nbsp;4.B &nbsp;5.A &nbsp;6.B 7.$$\dfrac{2}{3}、-\dfrac{1}{3}$$ &nbsp;8.5 &nbsp;9.不唯一 &nbsp;10.8 &nbsp;11.1 &nbsp;12.$$x^2+2x-3=0$$ 13.解：(1)$$x_1+x_2=8$$，$$x_1x_2=12$$ (2)$$x_1+x_2=-\dfrac{5}{2}$$，$$x_1x_2=-\dfrac{3}{2}$$ (3)$$x_1+x_2=0$$，$$x_1x_2=-\dfrac{1}{4}$$ 14.解：由题意得$$x_1+x_2=2$$，$$x_1x_2=-4$$ (1)原式$$=x_1x_2+x_1+x_2+1=-4+2+1=-1$$ (2)原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4+8=12$$ 15.解：由两根之和$$-(m-3)=1$$，解得$$m=2$$。 两根之积$$2m=4$$，即两根之积为4。 16.解：设另一根为$$x$$，由两根之和得$$1+x=\dfrac{3}{2}$$，解得$$x=\dfrac{1}{2}$$。 由两根之积得$$1\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{k}{2}$$，解得$$k=1$$。 命题说明（约420字） 本套练习题适配华东师大版九年级上册21.2.5一元二次方程的根与系数的关系，承接根的判别式知识点，完全沿用整套试卷统一的题型、分值与难度梯度，是一元二次方程章节的重点拓展内容，适配课后巩固与小节检测。根与系数的关系（韦达定理）是中考高频考点，常用于不解方程求值、求参数、构造方程。 习题设计层层递进、重难点全覆盖。选择题重点考查韦达定理基础公式、简单代数式变形、已知根构造方程，纠正学生混淆两根和、两根积符号的高频错误；填空题侧重基础公式计算、代数式恒等变形、根的特殊性质应用，夯实公式运用能力；解答题涵盖直接求根和根积、经典代数式求值、参数求解、已知一根求另一根与参数，全面覆盖本节必考题型。 本节核心知识为：在$$a e0$$且$$\Delta\ge0$$的前提下，$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$。整套习题针对性训练学生不解方程解题的思维，熟练掌握平方和、倒数和等常见代数式变形技巧，规避忽略方程有实根前提、符号出错等问题，完善一元二次方程知识体系，为后续综合题型学习夯实基础。 （全文约1050字） 1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和 进行有关的推理论证； 2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母 系数的取值范围. 学习目标 求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0 的两根 x1 和 x2， 计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数有什么关系？ (x + 1)(x－ 4)= 0 x1 = 1，x2 = －4. x1 + x2 =－3，x1x2 = －4. x2 + 3x －4 = 0 二次项系数为 1 一次项系数为 3 常数项为 －4 等于一次项系数的相反数 等于常数项 因式分解 对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？ 新课导入 我们来考察方程 x2 + px + q = 0（p2－4q ≥ 0） 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 ＝ ， ＝ . ＝ + = p. ＝ · = = q. 探索新知 概 括 二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为 x1、x2，那么 ＝ －p. ＝ q. 知识点1一元二次方程的根与系数的关系 1.知识初练 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋2x－1＝0：x1＋x2＝____，x1x2＝____； (2)－x2＋6x－2＝0：x1＋x2＝____，x1x2＝____； (3)3x2＋x＝6x＋7：x1＋x2＝____，x1x2＝____； (4)(x＋1)(x－2)＝2：x1＋x2＝____，x1x2＝____． 1星题 夯实四基 －2 －1 6 2 1 －4 举一反三 2．[安徽合肥一模]已知m，n是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个根，则m＋n－mn的值为________． 6 举一反三 例 8 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积： （1）x2 + 3x－5 = 0； （2）2x2 － 3x －5 = 0. 解 （1）设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = －3，x1x2 = －5. （2）方程两边同除以 2 ，得 x2 － x－ = 0. 设两根为 x1、x2 ，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = － . （2）2x2 － 3x －5 = 0. 你会直接写出答案吗？ 例 8 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积： x1 + x2 = – = ， x1x2 = . 知识点2一元二次方程的根与系数的关系的应用 3.知识初练 已知关于x的方程x2－5x＋k＝0的一个根为1，则方程的另一个根为________． 4 举一反三 4．[天津二模]已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，且x1＋x2＝3，x1x2＝2，则b，c的值分别是(　　) A．b＝3，c＝2 B．b＝－3，c＝2 C．b＝－3，c＝－2 D．b＝3，c＝－2 B 举一反三 5．已知a，b是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则a2b＋ab2的值是(　　) A．－1 B．－6 C．－5 D．6 B 举一反三 例 9 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0， b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数的关系. 解 方程两边同除以 a ，得 x2 + x + = 0. 由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = . 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系. 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7. 已知方程 一般形式 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0） x1 + x2 = －，x1x2 = 没有实数根 整理 代值计算 Δ ≥ 0 Δ < 0 判断 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7. 解:（1）方程化为一般形式为 3x2 + 5x + 1＝0， 则 Δ ＝ 52－4×3×1 ＝13 > 0. 设两根为 x1、x2，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = . 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7. （2）方程化为一般形式为 x2 － 4x － 7＝0， 则 Δ ＝ (－4)2－4×1×(－7) ＝44 > 0. 设两根为 x1、x2，可得 x1 + x2 = －，x1x2 = . 1. 试由一元二次方程的求根公式，直接推导方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与系数的关系. 【选自教材第36页 练习 第1题】 解: 因为 x = ， 所以 x1 + x2 = + ， x1 · x2 = · . 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 2. 不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根 的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： 【选自教材第36页 练习 第2题】 （1）x2 + 4x － 3 = 0； （2）3x2 － 4x = 0； 解: （1）因为Δ ＝ 42 －4×1×(－3)＝ 28 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1、x2 ， 则 x1 + x2 ＝－4，x1 · x2 ＝－3. 2. 不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根 的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： 【选自教材第36页 练习 第2题】 （1）x2 + 4x － 3 = 0； （2）3x2 － 4x = 0； （2）因为 Δ ＝(－4)2 －4×3×0 ＝ 16 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1 、x2 ， 则 x1 + x2 ＝－，x1 · x2 ＝ 0. （3）2= x； （4） = . （3）原方程可变形为 x2 + 4 ＝ 0. 因为 Δ ＝02 －4×1×4 ＝－16 < 0，所以方程没有实数根. （4）原方程可变形为 3x2 + 9x－2 ＝ 0. 因为Δ ＝92 －4×3×(－2)＝ 105 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1、x2， 则 x1 + x2 ＝－，x1 · x2 ＝－. 3. 试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法: 【选自教材第37页 练习 第3题】 （1）已知关于 x 的方程 x2 + mx + 2n = 0 的两个根是 1 和 －3， 求 m 和 n 的值； 解:（1）解法一: 将 x＝ 1 和 x ＝ －3 分别代入方程， 得 1 + m + 2n = 0， 9－3m + 2n = 0， 解得 m = 2， n = － . 解法二: 根据根与系数的关系，得 1 + (－3)＝ －m， 1×(－3)＝ 2n，所以 m = 2，n = －. （2）已知关于 x 的方程 x2 + mx－20 = 0 的一个根是 －4， 求它的另一个根和 m 的值. （2）解法一: 将 x ＝－4 代入方程，得 16－4m－20 ＝ 0， 解得 m ＝－1. 将 m ＝－1 代回原方程，得 x2－x－20＝0，解得 x1 ＝ 5， x2 ＝－4，所以另一个根是 5. 解法二: 根据根与系数的关系，设另一个根为 a， 则有－4 + a ＝－m，－4×a ＝－20，所以 a ＝ 5，m ＝－1， 即另一个根为 5，m 的值为 －1. C 举一反三 7．若关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个同号的实数根，则k的取值范围是(　　) A．k<1 B．0<k≤1 C．0≤k<1 D．k>0 B 举一反三 8.【思维可视化】已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2＋mn＋2m的值． 思维过程 (1)分析问题：观察m2＋mn＋2m与x2＋2x－5＝0中的哪些整体或部分有关？ (2)写出解题过程． 举一反三 解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根， 所以mn＝－5，m2＋2m－5＝0，所以m2＋2m＝5， 所以m2＋mn＋2m＝(m2＋2m)＋mn＝5－5＝0. 举一反三 针对练习 已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2－2mn－2n＋1的值． 解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，所以m＋n＝－2，mn＝－5，n2＋2n－5＝0，所以n2＋2n＝5. 所以m2－2mn－2n＋1＝m2－2mn＋n2－n2－2n＋1＝(m－n)2－(n2＋2n)＋1＝(m＋n)2－4mn－(n2＋2n)＋1＝(－2)2－4×(－5)－5＋1＝20. 举一反三 9.【新情境】兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程的两根为－2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程的两根为3和4，则原方程可能是(　　) A．x2＋7x－12＝0 B．x2－7x－12＝0 C．x2＋7x＋12＝0 D．x2－7x＋12＝0 B 2星题 提升四能 举一反三 10．[安徽合肥模拟]已知关于x的方程2x2－3x＋k＝0的两根分别为x1和x2，若4x1＋x2＝0，则k的值为(　　) B 举一反三 11．[安徽蚌埠三模]已知两个不相等的实数m，n满足m2－4＝2m，n2＝4＋2n，则 (m－n)2＝________． 20 举一反三 12.(分类讨论思想)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根． (1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值； 解：根据题意得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，解得m≥2. 因为(x1－1)(x2－1)＝28，即x1x2－(x1＋x2)＋1＝28， 所以m2＋5－2(m＋1)＋1＝28， 整理，得m2－2m－24＝0，解得m1＝6，m2＝－4， 因为m≥2，所以m的值为6. 举一反三 (2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长． 解：当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的一个根，记x1＝7， 把x1＝7代入方程，得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0， 整理，得m2－14m＋40＝0，解得m1＝10，m2＝4. 当m＝10时，x1＋x2＝2(m＋1)＝22， 举一反三 解得x2＝15，而7＋7<15，故舍去； 当m＝4时，x1＋x2＝2(m＋1)＝10， 解得x2＝3，此时符合三角形的三边关系，所以这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 当7为等腰三角形的底边长时，x1＝x2，所以m＝2， 方程可化为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3， 而3＋3<7，故舍去．所以这个三角形的周长为17. 举一反三 一元二次方 程根与系数 的关系 使用 条件 设二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q ＝ 0 的 两根为 x1 、x2，那么 x1 + x2 ＝－p，x1x2 ＝ q ①方程是一元二次方程，且要化为一般形式； ②方程有实数根，即 Δ ≥ 0 对于一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 ( a ≠ 0)， 当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根 分别为x1 、x2 ，这两个根与系数的关系是 x1 + x2 ＝－，x1 x2 ＝ . 课堂小结 谢谢观看 THANKS － 6．若方程x2－4x－2＝0的两个根为x1，x2，则 ＋的值为(　　) A．2 B. C．－2 D．－ A．－ B．－2 C. D．2 $