精品解析：山东省2024年冬季普通高中学业水平合格考试数学试题

山东省2024年冬季普通高中学业水平合格考试 数学试题 本试卷共4页，满分为100分，考试时间为90分钟 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 某乒乓球制造厂生产的乒乓球合格率是99.98%，这说明（ ） A. 该厂生产的10000个乒乓球中不合格的乒乓球一定有2个 B. 该厂生产的10000个乒乓球中合格的乒乓球一定有9998个 C. 该厂生产的10000个乒乓球中没有不合格的乒乓球 D. 该厂生产的乒乓球合格的可能性是99.98% 5. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，分别由下表给出，则（ ） x 1 2 3 2 3 4 5 6 7 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 用一段长为的铁丝围成一个矩形，则该矩形面积（单位：）的最大值为（ ） A. 64 B. 16 C. 8 D. 4 11. 在空间中，直线是异面直线，其中直线平行于平面，则与的所有可能的位置关系有（ ） A. 或 B. 或与相交 C. 或与相交 D. 或或与相交 12. 将一枚质地均匀的六面体骰子连续抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数，则事件“两次出现的点数之和是8”发生的概率为（ ） A. B. C. D. 13. 若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 14. 下列命题是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 15. 某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（ ） A. B. C. D. 16. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 17. 在“校园安全”知识竞赛中，对某校学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．其中样本数据的分布区间为，分组区间是，，，，，．根据频率分布直方图，估计该校学生参赛成绩的80%分位数是（ ） A. 75 B. 80 C. 85 D. 90 18. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 19. 在中，内角的对边分别为，若，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 2 20. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中将四面皆为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．如图所示的三棱锥为“鳖臑”，且，则此“鳖臑”的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 21. 甲、乙两名射击运动员在某次比赛中成绩的方差分别为，，则这次比赛中成绩更稳定的运动员是________． 22. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为______． 23. 函数的零点的个数为________． 24. 小明在一次考试中证明命题“若，，则”的过程如下： 证明：因为，所以． 又因为，所以， 所以． 上述证明过程中，用到的下列不等式性质的所有序号为________． ①如果，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么； ④如果，那么． 25. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 三、解答题（本题共3小题，共25分．） 26. 已知函数． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 27. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求证：． 28. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2024年冬季普通高中学业水平合格考试 数学试题 本试卷共4页，满分为100分，考试时间为90分钟 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，表示大于2的实数， 在A中大于2的元素只有3，故． 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法以及共轭复数的概念即可求解. 【详解】由题意，它的共轭复数为. 故选：D. 3. （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】． 4. 某乒乓球制造厂生产的乒乓球合格率是99.98%，这说明（ ） A. 该厂生产的10000个乒乓球中不合格的乒乓球一定有2个 B. 该厂生产的10000个乒乓球中合格的乒乓球一定有9998个 C. 该厂生产的10000个乒乓球中没有不合格的乒乓球 D. 该厂生产的乒乓球合格的可能性是99.98% 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：该厂生产的10000个乒乓球中不合格的产品不一定有2个，可能是多个或者没有，故A错误； 对于B：该厂生产的10000个乒乓球中合格的产品不一定有9998个，故B错误； 对于C：该厂生产的10000个乒乓球中可能有不合格产品，故C错误； 对于D：合格率是概率，表示“合格的可能性”，不是必然事件，该厂生产的产品合格的可能性是99.98%，故D正确； 5. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】是模相等，不一定向量相等；若，则． 因此“”是“”的必要不充分条件． 6. 下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A是指数函数，不是偶函数； B是对数函数，不是偶函数； 对于C，是偶函数，在单调递增； 对于D，在单调递减． 7. 在中，内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦定理，则. 8. 已知函数，分别由下表给出，则（ ） x 1 2 3 2 3 4 5 6 7 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】由表可知，则． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，且知． 由和联立， 解得． 10. 用一段长为的铁丝围成一个矩形，则该矩形面积（单位：）的最大值为（ ） A. 64 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】设矩形长x、宽y，则，． 该矩形面积，当且仅当等号成立． 故该矩形面积（单位：）的最大值为16． 11. 在空间中，直线是异面直线，其中直线平行于平面，则与的所有可能的位置关系有（ ） A. 或 B. 或与相交 C. 或与相交 D. 或或与相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据异面直线的定义和直线与平面的位置关系，即可求解. 【详解】由直线是异面直线，且直线平行于平面， 根据直线与平面的位置关系，可得直线与平面可能平行，相交或在平面内. 12. 将一枚质地均匀的六面体骰子连续抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数，则事件“两次出现的点数之和是8”发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】掷两次六面体骰子，分别用表示两枚骰子的出现的点数， 则样本空间，共个样本点， 设“两次出现的点数之和是8”， 则，共个样本点， 所以． 13. 若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求得的范围，再根据，得到相应的值，从而得到答案. 【详解】因为， 所以，， 又因为，所以时，. 14. 下列命题是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】A：当时不成立； B：； C：当时不成立； D：时成立．真命题是D． 15. 某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设甲答对概率，乙答对概率． 至少一人答对的概率为． 16. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由不等式的解集为， 则，且方程的两根为和． 则由韦达定理有，解得 所以． 17. 在“校园安全”知识竞赛中，对某校学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．其中样本数据的分布区间为，分组区间是，，，，，．根据频率分布直方图，估计该校学生参赛成绩的80%分位数是（ ） A. 75 B. 80 C. 85 D. 90 【答案】C 【解析】 【详解】由图知40至80所占百分数为．80至90分占20%． 因此，80%分位数应为85． 18. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案． 【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 19. 在中，内角的对边分别为，若，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由，则， 则 ， 设上的高为，则，得. 20. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中将四面皆为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．如图所示的三棱锥为“鳖臑”，且，则此“鳖臑”的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将“鳖臑”通过补形，将其补为长方体，再通过长方体的外接球性质求得外接球半径. 【详解】“鳖臑”即三棱锥的三个侧面为直角三角形，且. 则，，，平面， 则平面. 可补形为长方体，外接球直径等于长方体的体对角线． 因为，则长方体对角线： 半径，表面积． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 21. 甲、乙两名射击运动员在某次比赛中成绩的方差分别为，，则这次比赛中成绩更稳定的运动员是________． 【答案】甲 【解析】 【详解】由方差的意义知成绩的方差越小，成绩越稳定，因为，故甲更稳定． 22. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为角的终边过点，可得， 由三角函数的定义，可得. 23. 函数的零点的个数为________． 【答案】2 【解析】 【分析】函数零点个数可转化为与图象交点个数，借助于图象即可求解. 【详解】函数零点个数，即方程实数解的个数， 即与图象交点个数， 作与图象， 如图有两个交点，故零点个数为2，这两个零点分别为． 24. 小明在一次考试中证明命题“若，，则”的过程如下： 证明：因为，所以． 又因为，所以， 所以． 上述证明过程中，用到的下列不等式性质的所有序号为________． ①如果，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么； ④如果，那么． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】直接根据不等式的性质判断可得. 【详解】因为，用不等式的乘法性质②； 由，用同向不等式相加性质③； 由，用正数不等式的乘方性质④． 25. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 三、解答题（本题共3小题，共25分．） 26. 已知函数． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1）1 （2）单调增区间为， 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式求出，代入即可求解； （2）结合正弦函数的单调区间即可求解. 【小问1详解】 ． ． 【小问2详解】 ． 令，，解得， 所以的单调增区间为，． 27. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求证：． 【答案】（1）如图，设，连接， ∵四边形为直三棱柱的侧面， ∴四边形为平行四边形， ∴E为的中点， 又∵为的中点， ∴， 又∵平面，平面． ∴平面． （2）在中，，， 所以， 所以为直角三角形，即， 又∵平面，平面， ， 又，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴． 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的性质定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2）在上单调递减， 证明：，设， , 因为，则，，， 所以，即，所以函数在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再证明时，即可得解； （2）设，利用作差法证明，即可证明在上单调递减； （3）利用函数的奇偶性和单调性可将不等式化为，令，不等式化为，再令，不等式可化为，利用单调性求出的最小值，即可求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，得， 当时，， ，为奇函数，符合题意， 故. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 不等式， 由奇函数得， 因为函数在上单调递减，所以， 令，则， 整理得，则恒成立， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 因为，所以恒成立， 因为在上单调递增，所以， 所以的最大值是1，所以， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $