3.2.1 相似三角形的判定（1） 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

相似三角形的判定（1） 3 北师版九年级上册 1 相似多边形 各角分别相等、各边成比例 相似三角形 三角分别相等、三边成比例 类比引入 怎么判定三角形相似呢？ 相似三角形的定义既是性质，又是判定。 三角形相似的判定定理 三角分别相等、三边成比例的两个三角形相似 几何语言： A B C A' C' B' 在 △ABC 和 △A'B'C' 中， ∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B’， ∠C＝∠C'， ∴△ABC∽△A'B'C'。 （定义法） 注意：对应性，顺序性，传递性 三角形全等与相似的区别与联系 类别 形状 大小 对应边 对应角 符号 相似比 联系 全等三角形 相同 相等 相等 相等 ≌ 1 全等三角形是特殊的相似三角形 相似三角形 不一定相等 成比例 ∽ 正实数 可否用比较少的条件来判定三角形相似呢？ 类比全等三角形 ∽ △ABC △A'B'C' ∠A=∠A ' ∠B=∠B ' ∠C=∠C ' 需要6个条件吗？ 探究新知 复习回顾 全等三角形 全等三角形 对应边相等，对应角相等 ① 一个条件 ② 两个条件 ③ 三个条件 ① SSS ② ASA ③ AAS ④ SAS 返回 需要6个条件吗？ ∽ △ABC △A'B'C' ∠A=∠A ' ∠B=∠B ' ∠C=∠C ' 角相等 边成比例 2个 2个 + 4个 至少需要几个条件呢？ 分类讨论 尝试·思考 如果只有一个角相等，它们一定相似吗？ 如果有两个角分别相等呢？ 角的关系 A B C A' B' C' 不相似 一个条件 两个条件 与同伴合作，两个人分别画 △ABC 和 △A′B′C′， 使得∠A 和∠A′ 都等于∠α，∠B 和∠B′ 都等于∠β。 此时，∠C 与∠C′ 相等吗？ 三边的比 相等吗？ 这样的两个三角形相似吗？ 几何画板.gsp 操作·交流 改变 ∠a，∠ β 的大小，再试一试，并与同伴进行交流。 三角形相似的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似 几何语言： A B C A' C' B' 在 △ABC 和 △A'B'C' 中， ∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'， ∴△ABC∽△A'B'C'。 判断： （1）两个全等三角形一定相似 （2）两个等腰直角三角形一定相似 （3）两个直角三角形一定相似 （4）两个等边三角形一定相似 （5）顶角相等的两个等腰三角形一定相似 （6）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 巩固练习 11 例1 如图，在 △ABC 中，D、E 分别是的边 AB 和 AC 上的点，且 DE∥BC，AB = 7，AD = 5，DE = 10，求 BC 的长。 平行 角相等 解：∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C。 A B C D E ∴△ADE∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）。 △相似 ∴ ∴ 思考：若 DE 与 BC 不平行，△ADE 与△ABC 还可能相似吗？ 12 达标检测 【选自教材P68 随堂练习 第1题】 1.有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？ 2.顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？ 相似，理由是：直角相等，一锐角相等，即有两角分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可知这两个三角形相似。 相似，理由是：因为顶角相等，两个底角也分别相等。 【选自教材P68 随堂练习 第2题】 3. 如图，在 △ABC 中，AD = BD，∠1 = ∠2。 求证：△ABC∽△EAD。 解：证明： ∵AD = BD， ∴∠B = ∠EAD。 ∵∠ADB = ∠1 + ∠C = ∠2 + ∠ADE， ∠1 = ∠2， ∴∠C = ∠ADE。 ∴△ABC∽△EAD。 4. 如图，△ABC 的高 AD，BE 相交于点 F。 求证： 。 解：证明： ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠AEF = ∠BDF = 90°。 又∵∠AFE = ∠BFD， ∴△AFE∽△BFD。 课堂小结 ①两角分别相等 (2) 两个条件 ①只有一个角相等 (1) 一个条件 A B C A' C' B' △ABC∽△A'B'C' 角的关系 两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的确实高度，于是，命令祭司们去丈量。可是，没有一个祭司知道该怎样测量，在这个问题面前，祭司们个个束手无策。显然，人是不可能爬到那么高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来测量呢？一时，金字塔的高度成了一个难题。同时悬赏求解答。 趣味拓展 17 有一个叫法涅斯的学者，看到国王的诏书后，决心解决这个难题。他想了好几个解题的方案，但都行不通。失败并没有使他灰心。法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索解决的办法，以致撞到树上。于是，他转了个弯，又走下去。太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到哪里。这时，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向。法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖着一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短……那么，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度呢？他自言自语起来。 想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起来。经过几天的观察、测量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度。于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来。然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的诏书。国王得到“有人揭下招字” 的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待.一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式。测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法涅斯一起来到金字塔旁。看热闹的人黑压压一片，喧哗奢，拥挤著，他们等待著庄严的一刻到来。法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视著自己的影子。 看看时间快到了，太阳光给每一个在场的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子。当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。这时，助手们立即测出了金字塔的阴影的长。接着，法涅斯十分准确地算出了金字塔的高度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告诉大家。场上，发出一阵热烈的欢呼声。显然，法涅斯利用相似三角形的原理测得了塔高。在法涅斯以前，还没有人知道这个原理呢！法涅斯第一次发现、利用这个原理。在那个时代，这是一个伟大的创举！ 在这个基础上，法涅斯进一步研究，得出一个法则：在任意两个对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等。从而，找到了在任何季节，在任何时候都能测塔高的方法。 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $