3.2.4 黄金分割 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

黄金分割 3 北师版九年级上册 1 情景导入 A B C L K D E G H F 一个五角星如图所示。 （1）从图中找出相等的角、相等的线段。 A B C L K D E G H F 一个五角星如图所示。 （2）在图中找出相似比不同的两对相似三角形。 如△ACD∽△ABF，△FGH∽△DGC 小亮认为， 。你同意他的看法吗？说说你的理由。 4 探究新知 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，那么线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫作线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫作黄金比。 A B C 5 A A C 例 计算黄金比。 解：由 ，得AC 2＝AB·BC。 设AB＝1，AC＝x， ∴ x2＝1×（1－x）， 即x2＋x－1＝0。 解这个方程，得 （不合题意，舍去）。 则BC = 1－x 。 所以，黄金比 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 比值称为黄金比，近似值为0.618 线段AB被点C黄金分割 黄金分割点 归纳总结 A A C 黄金比是一个比值，它没有单位! A B C 黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点。如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点。 D 并且AD＝BC，AC＝BD。 已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），若 AB = 4 cm，则 AC 的长为________cm。 巩固练习 变式：已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，若 AB = 4 cm，则 AC 的长为________________cm。 古希腊时期的巴台农神庙 尝试·思考 宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形。如图，已知矩形 ABCD 为黄金矩形，在边 AB 和边 CD 上分别取点 E，F，使四边形 AEFD 为正方形。 A B D C E F H G （1）矩形 EBCF 是黄金矩形吗？为什么？ 设矩形 ABCD 中，长 AB = a，宽 BC = b， A B D C E F H G 已知四边形 AEFD 是正方形，所以 AE = AD = BC = b，则： 由 ABCD 是黄金矩形，得： EB = AB－AE = a－b 矩形 EBCF 的宽为 EB = a－b，长为 BC = b， 我们计算它的宽长比： 因为 ，所以 ，代入得： 是 （2）在边 EF 和边 BC 上分别取点 G，H，使四边形 EBHG 为正方形，那么矩形 GHCF 是黄金矩形吗？ 已知四边形 EBHG 是正方形，所以 EG = EB = a－b，则： GF = EF－EG = BC－EB = b－(a－b)=2b－a 矩形 GHCF 的宽为 CF = 2b－a，长为 EB = a－b， 计算宽长比： 代入 ，即 ，得： A B D C E F H G 是 （3）在这个图中，你还能得到更多的黄金矩形吗？试一试！ A B D C E F H G 已知线段 AB ，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、 AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ） S1 ＞ S2 B. S1 ＜ S2 C. S1 = S2 D. S1 ≥ S2 巩固练习 C 黄金分割在几何作图上有很多应用,如五角星形的各边是按黄金分割划分的。 A B C L K D E G H F 黄金分割也被应用于各种艺术品创作当中 绘画：《蒙娜丽莎》 雕像：《维纳斯》 苹果logo 影视中的黄金分割使画面更加自然大方与舒适 公认最完美的人体比例也和黄金分割挂钩 自然界中的黄金分割 生活中的黄金分割 达标检测 【选自教材P72 随堂练习】 1. 采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设 AB 是已知线段，过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = AB；连接 DA，在 DA 上截取 DE = DB；在 AB 上截取 AC = AE。点 C 就是线段 AB 的黄金分割点。请说明其中的道理。 A B D E C ∵DE = BD = 1 解：设BD＝1，AB＝2, ∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点。 A B D E C 拓 展 黄金分割点的作法： 如图，已知线段AB， （1）以线段AB为边作正方形ABCD； （2）取AD的中点E，连接EB； （3）延长DA至点F，使EF＝EB； （4）以AF为边作正方形AFGH； A B D C E 点H即为所求的黄金分割点。 F G H 【阅读教材p73 】 2. 如图：在 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，求证：D 是 AC 的黄金分割点。 证明：在等腰△ABC 中，顶角∠A = 36°， 所以∠ABC = ∠C = 72°， ∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD = ∠DBC = 36°， 在△ACB 和△BCD 中，∠BDC = 72°， ∵∠C = ∠C，∠A = ∠CBD = 36°， ∴△ACB ∽△BCD， ∴AC∶BC = BC∶DC， ∵∠A = ∠ABD ， ∴AD = BD。 ∵∠DBC = 36°，∠C = 72°， ∴∠BDC = 72°， ∴BD = BC， ∴AD = BC， ∴AC∶AD = AD∶DC， 即点 D 是 AC 的黄金分割点。 课堂小结 较长线段 原线段 ＝ 较短线段 较长线段 比值称为黄金比，近似值为0.618 线段AB被点C黄金分割 黄金分割点 A A C 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $