3.2.4 黄金分割 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 3.2.4黄金分割 2026年8月2日 3.2.4 黄金分割 同步练习题 3.2.4 黄金分割 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 黄金分割的定义 点$$C$$把线段$$AB$$分成两条线段$$AC$$和$$BC$$（$$AC>BC$$），如果$$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AC}{AB}$$，那么称线段$$AB$$被点$$C$$黄金分割，点$$C$$叫做线段$$AB$$的黄金分割点，$$AC$$与$$AB$$的比叫做黄金比。 2. 黄金比（必考数值） 黄金比：$$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$$ 核心数值需熟记：准确值$$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$$，近似值$$0.618$$。 3. 黄金分割点的数量 一条线段有两个黄金分割点，分别位于线段中点两侧，两点关于线段中点对称。 4. 线段黄金分割常用公式 设线段总长为$$AB=a$$， 较长线段：$$AC=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}a$$， 较短线段：$$BC=AB-AC=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}a$$。 5. 黄金矩形 宽与长的比等于黄金比（$$\approx0.618$$）的矩形叫做黄金矩形，视觉协调美观，是常见几何模型。 6. 核心性质 黄金分割满足比例中项关系：$$AC^2=AB\cdot BC$$，可结合比例性质、相似知识综合解题。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 黄金比的近似值为（） A. 0.518 B. 0.618 C. 0.718 D. 0.818 2. 一条线段的黄金分割点有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 3. 若线段$$AB$$被点$$C$$黄金分割（$$AC>BC$$），则下列比例式正确的是（） A. $$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{AC}$$ B. $$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AC}{BC}$$ C. $$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$$ D. $$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$$ 4. 已知线段$$AB=10$$，点$$C$$是$$AB$$的黄金分割点（$$AC>BC$$），则$$AC$$的长为（） A. $$5(\sqrt{5}-1)$$ B. $$10(\sqrt{5}-1)$$ C. $$5(\sqrt{5}+1)$$ D. $$\sqrt{5}-1$$ 5. 下列关于黄金矩形的说法正确的是（） A. 长与宽相等的矩形 B. 宽与长的比为黄金比的矩形 C. 长与宽的比为2:1的矩形 D. 四个角不是直角的矩形 6. 若点$$C$$黄金分割线段$$AB$$（$$AC>BC$$），则$$AC^2=$$（） A. $$AB\cdot AC$$ B. $$AB\cdot BC$$ C. $$BC\cdot AC$$ D. $$AB+BC$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 黄金比的准确值是________，近似值是________。 2. 线段$$AB$$的黄金分割点有________个。 3. 若线段总长为$$a$$，黄金分割后较长线段的长度为________。 4. ________与________的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。 5. 点$$C$$是线段$$AB$$黄金分割点（$$AC>BC$$），则比例中项式为________。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）基础计算： 已知线段$$AB=20\mathrm{cm}$$，点$$C$$是线段$$AB$$的黄金分割点（$$AC>BC$$），求线段$$AC$$和$$BC$$的长度。 2. （14分）比例验证： 已知线段$$AB=10$$，$$AC=5\sqrt{5}-5$$（$$AC>BC$$），求证：点$$C$$是线段$$AB$$的黄金分割点。 3. （14分）黄金矩形应用： 已知一个黄金矩形的长为$$10\mathrm{cm}$$，求这个黄金矩形的宽（结果保留根号）。 4. （16分）综合计算： 已知线段$$AB=8$$，点$$C$$、$$D$$是$$AB$$的两个黄金分割点，求线段$$CD$$的长度。 四、拓展应用题（附加10分） 已知舞台$$AB$$长20米，主持人站在舞台黄金分割点处效果最佳，求主持人距离舞台两端的距离分别是多少米？（结果保留根号） --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 2.B 3.A 4.A 5.B 6.B 二、填空题 1. $$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$$、$$0.618$$ 2. $$2$$ 3. $$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}a$$ 4. 宽、长 5. $$AC^2=AB\cdot BC$$ 三、解答题 1. 解： 由黄金分割公式可得： $$AC=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\times20=10(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$$$$BC=AB-AC=20-10(\sqrt{5}-1)=(30-10\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$$ 答：$$AC=10(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$$，$$BC=(30-10\sqrt{5})\mathrm{cm}$$。 2. 证明： $$BC=AB-AC=10-(5\sqrt{5}-5)=15-5\sqrt{5}$$ 计算比值： $$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5\sqrt{5}-5}{10}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$$$$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{15-5\sqrt{5}}{5\sqrt{5}-5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$$$$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AC}{AB}$$，满足黄金分割定义 ∴ 点$$C$$是线段$$AB$$的黄金分割点。 3. 解： 设黄金矩形的宽为$$x\ \mathrm{cm}$$， 由黄金矩形定义：$$\dfrac{x}{10}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$$ 解得：$$x=5(\sqrt{5}-1)$$ 答：矩形的宽为$$5(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$$。 4. 解： 点$$C、D$$为$$AB$$的两个黄金分割点，对称分布 较长线段长：$$AC=BD=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\times8=4\sqrt{5}-4$$$$BC=AB-AC=8-(4\sqrt{5}-4)=12-4\sqrt{5}$$$$CD=BD-BC=(4\sqrt{5}-4)-(12-4\sqrt{5})=8\sqrt{5}-16$$答：$$CD=8\sqrt{5}-16$$。 拓展题答案 解： 舞台长$$AB=20$$米，黄金分割点有两个 最佳站位较长距离：$$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\times20=10\sqrt{5}-10$$（米） 较短距离：$$20-(10\sqrt{5}-10)=30-10\sqrt{5}$$（米） 答：主持人距离舞台两端距离分别为$$(10\sqrt{5}-10)$$米和$$(30-10\sqrt{5})$$米。 章节易错点总结 1. 混淆黄金比的前后项：黄金比是较长线段:总长，不是短线段比总长； 2. 忽略线段有两个黄金分割点，做题易漏解； 3. 计算时长短线段、较短线段公式记混，导致计算结果出错； 4. 黄金矩形是宽与长的比为黄金比，切勿颠倒长宽顺序。 一个五角星如下图所示. (1) 从图中找出相等的角、相等的线段. (2) 在图中找出两对相似比不同的相似 三角形. 五角星的对称性 △ACD∽△ ABF，△FGH∽△DGC. A C B D E F G H K L 探究点：黄金分割的概念 2 A C B D E F G H K L 小亮认为 ，你同意他的看法吗？说说你的理由. 度量、计算 ∵AG = AB，AD = BC 易证 △ACD∽△ AGC. 探究点：黄金分割的概念 A B C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割. 点 C 叫作线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比. 【归纳总结】 探究点：黄金分割的概念 4 知识点1 黄金分割的概念 1.已知点把线段分成两条线段和，且 ，下列说法错 误的是( ) C A.若，则线段被点 黄金分割 B.若，则线段被点 黄金分割 C.若线段被点黄金分割，则与 的比叫作黄金比 D.一条线段有两个黄金分割点 返回 举一反三 5 2.已知点是线段的黄金分割点 ，则下列结论中正确的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 6 例1 计算黄金比. 解：由 ，得 AC² = AB·BC. 设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 – x. ∴ x² = 1×(1 - x)，即 x² + x – 1 = 0. 解这个方程，得 x1= ，x2= (不合题意，舍去). 所以，黄金比 探究点：黄金分割的概念 1. 如图所示，已知线段 AB 按照如下方法作图： ①经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = AB. ②连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB. ③在 AB 上截取 AC = AE. 思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗? A B D E C 【画一画】 探究点：黄金分割的概念 8 ∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点. A B D E C 探究点：黄金分割的概念 知识点2 黄金分割的应用 （第3题） 3.如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》。画中的 脸部被包在矩形内，点是 的黄金分割点， ，若，则 的长为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 （第4题） 4. [西安校级期中] 秦兵马俑被誉为“世界 第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴 的距离的比值约为 ，若如图所示的兵马俑头顶到下巴 的距离约为 ，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 _ ____ 。 返回 举一反三 11 F C A E B D 下图是古希腊时期的帕提侬神庙，如果把图中用 虚线表示的矩形画成图中的 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现， . 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的 宽与长的比是黄金比吗? 【尝试·思考】 探究点：黄金分割的概念 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. A B C D E F 探究点：黄金分割的概念 例2 小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高 3 米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？ 离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m 探究点：黄金分割的概念 5. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割 点处最自然得体，若舞台的长为，那么舞台 的长为 __________________________。 或 返回 举一反三 15 6. 如图，乐器上的一根弦，两个端点, 固 定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点 是靠近点 的黄金分割点，则, 之间的距离为_________________。 返回 举一反三 16 7. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金 分割构图法，其原理是：如图，在正方形 的 边上取中点，以为圆心，线段 的长为半 径作圆，其与边的延长线交于点 ，这样就把 （1）若，则 _________。 正方形延伸为黄金矩形 。（宽与长的 比等于 的矩形叫作黄金矩形） 举一反三 17 （2）矩形 是黄金矩形吗？ 解：四边形 是正方形， 。 由题意得,,即是线段 的黄金分割点。 。 。 矩形 是黄金矩形。 返回 举一反三 18 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割.点 C 叫作线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比. 一条线段有两个黄金分割点 黄金比：较长线段 : 原线段 = 定义 课堂小结 谢谢观看 THANKS $