第28章 旋转 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十八章《旋转》单元模拟卷 注意事项： 1. 本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 4. 填空题请直接把结果填在横线上；解答题须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．（2026山东·改编） 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形　　　B. 等边三角形　　　C. 正五边形　　　D. 正方形 2．（2026甘肃天水·改编） 如图，直线与木条相交于点，已知木条与直线所成的锐角为．将木条绕点顺时针旋转，当木条与直线垂直时，旋转角的最小度数是（ ） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 3．（2026黑龙江绥化·改编） 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，(-2,0)，(0,2)．将绕原点顺时针旋转得到′′，则点′的坐标为（ ） A. (2,0)　　　B. (0,-2)　　　C. (0,2)　　　D. (-2,0) 4．（2026广东·改编） 如图，在中，，==3，将绕点顺时针旋转得到′′，连接′．则′的周长为（ ） A. 　　　B. 9　　　C. 6　　　D. 5．（2026四川凉山·改编） 如图，将绕点逆时针旋转得到′′，连接′．若=2，则′是（ ） A. 等边三角形　　　B. 等腰三角形（但非等边）　　　C. 直角三角形　　　D. 钝角三角形 6．（2026四川自贡·改编） 如图，中，轴，(-2,1)，(2,1)，(0,3)．将绕原点顺时针旋转得到′′′，则点′的坐标为（ ） A. (1,-2)　　　B. (-1,2)　　　C. (2,-1)　　　D. (-2,1) 7．（2026四川遂宁·改编） 如图，在中，，==4，点是边的中点．将绕点逆时针旋转得到′′，点的对应点为′．则′的长为（ ） A. 2　　　B. 　　　C. 4　　　D. 8．（2026四川乐山·改编） 下列正多边形中，能够只用同一种正多边形铺满地面（单独密铺）的是（ ） A. 正五边形　　　B. 正六边形　　　C. 正七边形　　　D. 正八边形 9．（2026·广东）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则△AB’C的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 10．（2026河南·改编） 如图，在中，==3，，将绕点顺时针旋转角（）得到′′，连接′、′．下列结论：① ′=′；② ′′；③ ′≌′．其中正确结论的个数是（ ） A. 0　　　B. 1　　　C. 2　　　D. 3 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分．答案填在横线上，不写过程． 11．（2026·四川广安）已知△OAB在平面直角坐标系中，，，将△OAB绕点逆时针旋转得到△OCD，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 12．（2026陕西·改编） 如图，在中，，=3，=4，点为的中点．将绕点逆时针旋转得到′′（点、的对应点分别为′、′），连接′．则′的面积为_______． 13．（2026四川甘孜·改编） 如图，在正方形中，=2，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形′′′（点的对应点为′），连接′．则′的面积为_______． 14．（2026上海·改编） 如图，等边的边长为4，点是边的中点，连接．将绕点逆时针旋转得到′′，当点′恰好落在边上时，连接′，则′的长为________． 15．（2026四川广安·改编） 如图，在平面直角坐标系中，(2,1)，(4,3)．将线段绕原点逆时针旋转得到线段′′，连接′′交轴于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_______． 三、解答题：共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（2026安徽·改编）（本小题8分） 如图，在方格纸中，的顶点、、均为格点（网格线的交点），已知 (2,2)，(2,5)，(4,4)． （1）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的′′（′、′分别为、的对应点）；（4分） （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的₁₁（₁、₁分别为、的对应点），并直接写出点′与点₁的坐标．（4分） 17．（2026·四川乐山）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法． 【感知密铺】 (1)同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面． 正多边形的边数 … 正多边形的内角和 … 正多边形每个内角的大小 … 上表中 ________，正六边形________（填“能”或“不能”）铺满地面． 【探寻密铺】 (2)同学们通过动手操作，探寻到了实现密铺的路径．    上图中，②号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到． 【创作密铺】 (3)最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形 形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点 位置的密铺设计图．    18.（2026江西·改编）（本小题8分） 如图，在中，，==3，点在边上．将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别为、），连接． （1）求证：=，且；（4分） （2）若，求的面积．（4分） 19.（2026四川遂宁·改编）（本小题8分） 如图，在中，，==6，点是的中点．将绕点旋转（中心对称）得到′′（点、的对应点分别为、′），连接′． （1）求证：四边形′是平行四边形；（4分） （2）求′的长．（4分） 20.（2026山西·改编）（本小题10分） 如图，、、三点共线（点在、之间），和都是等边三角形，且、在直线的同侧．将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别为、）． （1）求证：=；（5分） （2）若=3，=2，求的长．（5分） 21.（2026湖北·改编）（本小题10分） 如图，在平面直角坐标系中，的顶点 (-2,0)、(0,2)、(2,0)（、在轴上，在轴上，为等腰三角形）．将绕点逆时针旋转得到′′′（点、的对应点分别为′、′）． （1）写出点′、′的坐标；（4分） （2）连接′、′，判断′与′的位置关系和数量关系，并说明理由．（6分） 22.（2026河南·改编）（本小题11分） 如图，在中，，=4，=3，点是边上的动点（不与、重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段（点的对应点为），连接、． （1）求证：是等腰直角三角形；（3分） （2）若为的中点，求的长；（4分） （3）在点的运动过程中，求的最小值．（4分） 23.（2026山东·改编）（本小题12分） 如图，在中，==2，，为的中点，连接．将绕点旋转（旋转角记为，），点、、的对应点分别为′、′、′． （1）求的长，并说明与的关系；（3分） （2）将绕点顺时针旋转得到′′′，连接′、′．求证：四边形′是菱形；（5分） （3）在旋转过程中，设′的长为．探究关于的变化关系，并求出的最大值及取得最大值时的值．（4分） 答案与解析 一、选择题 1.【答案】D 【考查知识点】轴对称图形与中心对称图形的识别． 【解题步骤】平行四边形只是中心对称图形（一般非轴对称）；等边三角形是轴对称但不是中心对称；正五边形是轴对称但不是中心对称；正方形既是轴对称图形（4条对称轴）又是中心对称图形（对角线交点为对称中心）．故选 D． 【易错说明】易把一般平行四边形误认为轴对称；注意"既是……又是……"需同时满足两个条件． 2.【答案】B 【考查知识点】旋转角的概念；相交直线的夹角． 【解题步骤】木条与直线成锐角．要使其与垂直（成），需转过的最小角度为 （另一方向需转 ，取较小值）．故选 B． 【易错说明】忽略"最小度数"，可能误选；应取两种转向中的较小值． 3.【答案】A 【考查知识点】坐标系中图形绕原点旋转的坐标变化（顺时针：(x,y)→(y,-x)）． 【解题步骤】(0,2) 绕原点顺时针旋转：′==2，′=-=0，得 ′(2,0)．故选 A． 【易错说明】易与逆时针公式 (x,y)→(-y,x) 混淆，导致得到(-2,0)． 4.【答案】A 【考查知识点】旋转性质（对应点到旋转中心距离相等、对应角相等）；勾股定理． 【解题步骤】旋转中心为，故 =′=3，且 ′．在′中，′．′周长=+′+′．故选 A． 【易错说明】易出现 ′=3 或漏加某一边． 5.【答案】A 【考查知识点】旋转性质；等边三角形的判定． 【解题步骤】旋转中心为，故 =′，且旋转角 ′．在′中，两边相等且夹角为，故′为等边三角形．故选 A． 【易错说明】仅注意到 =′ 而忽略夹角，会误判为一般等腰． 6.【答案】A 【考查知识点】坐标系中图形绕原点顺时针旋转的坐标变换． 【解题步骤】(2,1) 绕原点顺时针旋转：(x,y)→(y,-x)，得 ′(1,-2)．故选 A． 【易错说明】顺时针与逆时针公式记反会得到(-1,2)． 7.【答案】C 【考查知识点】旋转性质；等腰直角三角形斜边中线；勾股定理． 【解题步骤】为斜边中点，，故 =．旋转中心为，=′，且 ′，所以 ′=··．故选 C． 【易错说明】误用 ′= 或 ·2 而错选． 8.【答案】B 【考查知识点】平面密铺条件（÷内角 为整数）． 【解题步骤】正边形内角=(n-2)·：正三角形（360÷60=6，能）；正方形（4，能）；正五边形（非整数，不能）；正六边形（3，能）；正七、正八边形内角分别为≈、，均不能整除．选项中只有正六边形满足．故选 B． 【易错说明】易误记正八边形能密铺（实际不能）． 9.【答案】A 【考查知识点】旋转的性质． 【解题步骤】解：在中，，，， ∴， ∵将△ABC绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴△AB’C的周长为． 10.【答案】D 【考查知识点】旋转性质；全等三角形的判定（SAS）；手拉手模型． 【解题步骤】旋转中心为，故 =′，=′，且旋转角 ′′=．又 =，故 ′=′．在′与′中：=，′′，′=′，由SAS得 ′≌′，从而 ① ′=′、③ 成立；② 为旋转角本身相等，亦成立．三个结论均正确．故选 D． 【易错说明】对"手拉手"全等不熟悉，可能漏判③． 二、填空题 11. 【答案】 【考查知识点】旋转的性质,勾股定理 【解题步骤】解：如图，作出点旋转前的对应点 ，， ∵， ∴， 过点 作轴于点 ， ∴， ∴， 把代入，得． 12.【答案】6 【考查知识点】旋转（中心对称）的性质；坐标法或几何法求面积． 【解题步骤】以 (0,0)，(3,0)，(0,4) 建系（，=3，=4）．为中点，(1.5,2)．绕旋转，点对应 ′，则为′中点，故 ′=2-=(3,4)．′中，(0,4)、(0,0)、′(3,4)，以为底（长4，在轴上），高为′到轴距离3，面积． 【易错说明】找不到′位置或底高选取错误． 13.【答案】4 【考查知识点】旋转性质；坐标法求三角形面积． 【解题步骤】以 (0,0)，(0,2)，(2,2)，(2,0) 建系（正方形）．绕顺时针旋转：(x,y)→(y,-x)．(2,0)→′(0,-2)；(0,2)→′(2,0)．′顶点 (0,2)、(2,0)、′(0,-2)．面积·0+2·(-2)+0·2-[2·2+0·0+(-2)·0]． 【易错说明】旋转后坐标算错导致面积偏差． 14.【答案】 【考查知识点】旋转性质；等边三角形性质；中点． 【解题步骤】等边边长4，为中点，则 为中线也是高，=4·．将绕旋转使′落在上：因 ′==4=，且′在上，故 ′与重合，即旋转角为．此时 ′由绕旋转得到，=′，′，故′为等边三角形，′=． 【易错说明】未意识到′必与重合，导致旋转角判断错误． 15.【答案】(-1,0) 【考查知识点】坐标系中线段绕原点逆时针旋转（(x,y)→(-y,x)）；直线与坐标轴交点；平移． 【解题步骤】(2,1)→′(-1,2)；(4,3)→′(-3,4)．直线′′过(-1,2)、(-3,4)，斜率 =(4-2)/(-3+1)=-1，方程 -2=-(+1)，即 =-+1．令 =0 得 =1，故 (1,0)．将向左平移2个单位得 (-1,0)． 【易错说明】旋转方向弄反得到 (-1,0) 后再平移出错． 三、解答题 16.【答案】（作图略）′(5,2)，₁(3,2)． 【考查知识点】网格中图形绕指定点旋转的作图与坐标求法． 【解题步骤】 （1）绕(2,2)顺时针旋转，公式（先平移使为原点，再 (x,y)→(y,-x)，最后平移回）： -=(0,3)→(3,0)，故 ′=(2,2)+(3,0)=(5,2)； -=(2,2)→(2,-2)，故 ′=(2,2)+(2,-2)=(4,0)． （2）绕(4,4)逆时针旋转（(x,y)→(-y,x)）： -=(-2,-2)→(2,-2)，故 ₁=(4,4)+(2,-2)=(6,2)； -=(-2,1)→(-1,-2)，故 ₁=(4,4)+(-1,-2)=(3,2)． 直接写出：′(5,2)，₁(3,2)． 【易错说明】绕非原点旋转时忘记先平移；顺、逆时针公式混淆． 17.【答案】(1)；能 (2)平移；旋转 (3)点 位置的密铺设计图如图： 【考查知识点】多边形的内角和，平移与旋转的性质． 【解题步骤】 （1）解：正六边形的内角和，则正六边形每个内角的大小， ∵，即三个正六边形内角恰好组成一个周角， ∴正六边形能铺满地面． （2）解：②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线平行，则②号三角形可看成①号三角形通过平移得到； ③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线不平行，则③号三角形可看成①号三角形通过旋转得到； （3）略 18.【答案】（1）证明见下．（2）5/2． 【考查知识点】旋转性质（对应线段相等、旋转角等于对应点夹角）；等腰直角三角形面积． 【解题步骤】 （1）将绕点顺时针旋转得到，由旋转性质：对应线段 与 相等，即 =；旋转角等于，而旋转角正是 ，故 ． （2）由（1）知为等腰直角三角形（=，）．建系：(0,0)，(3,0)，(0,3)，则直线：+=3．在上且 ：设 (1,2)（验证 ，符合）．则 ．····． 【易错说明】把当作普通三角形用底高；坐标选取后未验证． 19.【答案】（1）证明见下．（2）． 【考查知识点】中心对称（旋转）的性质；直角三角形斜边中线；平行四边形判定． 【解题步骤】 （1）绕旋转，点对应（为中点，旋转使、互为中心对称）、点对应′，故同时是与′的中点．四边形′的两条对角线、′互相平分于，所以四边形′是平行四边形． （2）在中，，==6，则 ．直角三角形斜边中线等于斜边一半，为中点，故 =．又为′中点，′=2． 【易错说明】未利用"斜边中线等于斜边一半"而重新计算；或误以为′=． 20.【答案】（1）证明见下．（2）． 【考查知识点】旋转（手拉手）全等；全等三角形SAS判定；作高构造直角三角形求边长． 【解题步骤】 （1）将绕点逆时针旋转得到，由旋转性质得对应线段 与 相等，即 =．（亦可证：=，，=，SAS得≌，故 =．） （2）在中，==3，==2，． 作 ，垂足 在 的延长线上，则 ． 在含 、 角的直角三角形 中（=2 为斜边）： 角所对直角边 =/2=1， 角所对直角边 ． 故 =+=3+1=4． 在 中，． 【易错说明】误取（实际、同侧且、、共线，故为）；符号错误致 ． 21.【答案】（1）′(2,0)，′(2,4)．（2）′′，且 ′=′=4． 【考查知识点】坐标系中绕点旋转；向量（或坐标）判断垂直与相等． 【解题步骤】 （1）绕(0,2)逆时针旋转（先平移使为原点，再 (x,y)→(-y,x)，后平移回）： -=(-2,-2)→(2,-2)，′=(0,2)+(2,-2)=(2,0)； -=(2,-2)→(2,2)，′=(0,2)+(2,2)=(2,4)． （2）′：(-2,0)→′(2,0)，水平方向，|′|=4；′：(2,0)→′(2,4)，竖直方向，|′|=4．一水平一竖直，故 ′′，且 ′=′=4． （理由亦可从旋转性质说明：旋转角均为，故 ′′；又 =，等腰直角三角形斜边为直角边的倍，故 ′·=4，′·=4；两弦所在的直径方向由旋转对称性互相垂直．） 【易错说明】绕旋转忘记先平移；垂直结论仅凭图形臆断而未给理由． 22.【答案】（1）证明见下．（2）．（3）3/5． 【考查知识点】旋转性质；坐标系中旋转的坐标表达；二次函数求最值（线段到线段的最小距离）． 【解题步骤】 （1）将线段绕点逆时针旋转得到，由旋转性质：=，且旋转角 ，故是等腰直角三角形． （2）建系：(0,0)，(4,0)，(0,3)，则 ：/4+/3=1，即 3+4=12．为中点，(2, 1.5)．绕逆时针旋转：(x,y)→(-y,x)，得 (-1.5, 2)．． （3）设 在上，令 (4-4, 3)（0≤s≤1）．旋转得 (-3, 4-4)．则 +1=25+1． 这是关于的二次函数，开口向上，最小值在 处取得（在0≤s≤1内）． 最小值=25··()+1=-+1=，故 最小值=3/5． 【易错说明】旋转后坐标求错；最值直接用端点而忽略区间内顶点；忽略范围． 23.【答案】（1），=（为中点）．（2）证明见下．（3）随增大而增大，最大值2，此时 ． 【考查知识点】等腰三角形性质；中心对称（旋转）与平行四边形、菱形判定；旋转中对应点轨迹（圆）与最值． 【解题步骤】 （1）在等腰中，==2，，为底边上的中线（也是高、顶角平分线），故 ．=··，=·．=2，且 为中点，所以 =． （2）将绕顺时针旋转：因是中点，点、互为中心对称（′=，′=）；点对应′，则也是′中点．四边形′的两条对角线 ′ 与 互相平分于，故为平行四边形．又 ==2 为平行四边形的一组邻边，邻边相等的平行四边形是菱形，故四边形′是菱形． （3）旋转过程中，点绕旋转中心旋转角到′，=′=1，即 ′在以为圆心、1为半径的圆上运动． ′为等腰三角形（=′），顶角越大，底边 ′ 越长；当 时， 取最大值 ，此时 ′ 与 关于 中心对称， 为 ′ 中点，=′=2=2． 故 的最大值为 2，此时 ．（当 时 ′ 与 重合，=0 为最小值；中间过程 随 增大而增大．） 【易错说明】（1）底角误算为导致错误；（2）未说明"对角线互相平分"而直接断言菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $