第3讲 电场能的性质（下） 讲义-2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

第3讲 电场能的性质（下） 知识点一 电场线与等势面：用等分法确定等势线和电场线 1、 电场线与等势面：用等分法确定等势线和电场线 我们已经知道，在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离，由此可以进一步得到下面两个结论： 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示． 甲　　　　　　　　　　乙 结论2：在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等．如图乙中，线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UDC(或φA－φB＝φD－φC)，同理有UAD＝UBC. 确定电场方向的方法： 先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面． 例题讲解 【例1】 如图所示，匀强电场场强E＝200V/m，A、B两点相距10cm，A、B连线与电场线的夹角为60°，则A、B间电势差UAB为（　　） A．﹣10V B．10V C．﹣5V D．5V 【解答】解：由图示可知，BA方向与电场线方向间的夹角θ＝60°，AB两点沿电场方向的距离：d＝Lcosθ，L＝10cm＝0.1m，且A点电势比B点高，故AB两点间的电势差：UAB＝Ed＝ELcosθ＝200V/m×0.1m×cos60°＝10V，故B正确、ACD错误。 故选：B。 【例2】 如图所示，一等腰梯形ABCD平行于电场线放在匀强电场中，∠BAD＝60°，AB＝BC。现将一个电荷从A点沿AB移到B点电场力不做功，已知A点电势为﹣2V，D点电势为4V，则C点电势为（　　） A．1V B．2V C．3V D．4V 【解答】解：作CE平行于AB，交AD于E点，则E是AD的中点，因为将一个电荷从A点沿AB移到B点电场力不做功，已知A点电势为﹣2V，所以AB在同一等势面上，且电势等于﹣2V，D点电势为4V，又因为E是AD的中点，所以＝＝1V。故A正确，BCD错误。 故选：A。 【例3】 如图所示，匀强电场中有一个半径为4cm的圆，电场方向与圆面平行，A、B、C是圆上的三个等分点，已知UAB＝6V，UBC＝﹣6V，则该电场的电场强度大小为（　　） A．100V/m B．150V/m C．100V/m D．400V/m 【解答】解：因为UAB＝6V，UBC＝﹣6V，θ＝600所以A、C在同一等势面上，电场强度大小为 故选：A。 【例4】 A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5V，φB＝2V，φC＝1V，H、F三等分AB，G为AC的中点，下列图形中能正确表示电场强度方向的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，各点的电势分别为φA＝5V，φB＝2V，φC＝1V，则AB连线上距A点处的F点电势为3V，所以该点与AC中点的连线，即为等势线，由于沿着电场线方向，电势降低，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【例5】 如图，P、Q、M、N为菱形的四个顶点。若已知该空间存在一方向与此菱形平面平行的匀强电场，则（　　） A．P、Q间的电势差一定与N、M间的电势差相等 B．P、Q间的电势差一定与Q、M间的电势差相等 C．P、Q、M、N四点中至少有两点电势相等 D．P、Q、M、N四点可能位于同一等势面上 【解答】接：A.由图可知，PQ与NM平行且相等，则PQ与NM沿电场线方向的距离相等，根据 U＝Ed 可知 UPQ＝UNM 故A正确； B.如果电场方向垂直于PQ，则PQ为等势线，则 UPQ＝0 则电场线与QM不垂直，则QM不是等势线，则 UQM≠0 故B错误； C.过Q点做PN的垂线，交于O点，当电场方向垂直于QO，则QO为一条等势线，匀强电场中，各等势线互相平行，则P、Q、M、N四点电势都不相等，故C错误； D.匀强电场的等势面是与电场方向垂直的平面，则P、Q、M、M四点不可能位于同一等势面上，故D错误。 故选：A。 针对训练 1-1. 如图所示，匀强电场中的A、B、C三点的连线构成边长为的等边三角形．把带电量为e的电子从A移动到B，电场力做正功W；把电子从C移到B，电场力也做相等的正功W，则下列说法中正确的是（　　） A．A，B，C三点的电势关系为φA＞φB＞φC B．A，B，C三点的电势关系为φA＝φC＞φB C．电场强度的方向与AB垂直 D．若场强与纸面平行，则场强大小等于 【解答】解：把带电量为﹣e的电子从A移动到B，电场力做功W；把电子从C移到B，电场力也做功W，故W＝﹣e（φA﹣φB）＝﹣e（φB﹣φC），所以，φA＝φC；那么，电场强度的方向与AC垂直； 若场强与纸面平行，则场强E＝＝＝，故ABC错误，D正确； 故选：D。 1-2. (多选)如图所示，匀强电场中有一平行四边形abcd，且平行四边形所在平面与场强方向平行。其中φa＝20V，φc＝12V，φd＝16V，则下列说法正确的是（　　） A．b点电势φb＝16V B．b点电势φb＝12V C．场强平行于ad方向 D．场强方向垂直于bd向下 【解答】解：AB．在匀强电场中，根据公式U＝Ed可知沿着任意方向每前进相同的距离，电势变化相等，故有φa﹣φd＝φb﹣φc， 则有φb＝φa﹣φd+φc＝20V﹣16V+12V＝16V，故A正确，B错误； CD．bd两点电势相等，故bd连线为等势线，因电场线方向与等势面相互垂直，则场强方向垂直于bd向下，故C错误，D正确。 故选：AD。 1-3. (多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小为1.75V/cm B．电场强度的大小为1.25V/cm C．电场强度的方向与y轴负方向成53° D．电场强度的方向与x轴负方向成53° 【解答】解：如图所示： 设ac之间的d点电势与b点相同，则＝＝，所以d点的坐标为（7cm，12cm），过c点作等势线bd的垂线，由几何关系可得cf的长度为7.2cm，电场强度的大小为：E＝＝V/cm＝1.25V/cm，方向与x轴负方向夹角为θ，则cosθ＝＝0.8，则θ＝37°，则电场强度的方向与y轴负方向成53°，故AD错误，BC正确； 故选：BC。 知识点二 对φ ­ x图像的理解 2、 对φ ­ x图像的理解 1． 可直接从图像中得出电势的正负以及大小变化。 2． 斜率表示电场强度的大小。 3． 正电荷由高电势往低电势运动电场力做正功，动能增大，电势能减少。反之，电场力做负功，动能减小，电势能增加。判断电场力做功，只看初末位置的电势差。 例题讲解 【例1】 空间某一静电场的电势φ在x轴上的分布如图所示，x轴上两点B、C的电场强度在x轴方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有（　　） A．EBx的方向沿x轴正方向 B．EBx的大小大于ECx的大小 C．电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量不等于0 D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做负功，后做正功 【解答】解：A．B点沿x轴的反方向电势变小，则EBx沿x轴负方向，故A错误； B．在B点图线切线斜率绝对值大，电势降低的快，则B点场强大，故B正确； C．O点切线斜率等于0，则EO＝0，则电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量等于0，故C错误； D．负电荷在电势大的地方电势能小，则负电荷由B到C，电场力先做正功，后做负功，故D错误。 故选：B。 【例2】 (多选)如图所示，曲线表示固定在x轴上a、b两点的两个点电荷产生的电势与位置之间的对应关系，两个点电荷所带电荷量分别为q1和q2，a、p间距离大于p、b间距离。从图可知以下正确的是（　　） A．两点电荷带异种电荷 B．电势最低的p点的电场强度为零 C．p、b两点之间电场方向都指向p点 D．将一负电荷从p点移到a点电势能增加 【解答】解：AB．由可知，φ−x图象斜率表示电场强度，可知p点场强最小，由沿电场线方向电势降低，可知a、b两点电荷均为正电荷，且两点电荷在p点产生的场强大小相等，方向相反，所以电势最低的p点的电场强度是零，故A错误，B正确； C．由沿电场线方向电势降低，p点电势最低，可知p、b两点之间电场方向都指向p点，故C正确； D．由Ep＝qφ可知，负电荷在电势高处电势能小，在电势低处电势能大，将一负电荷从p点移到a点，即从低电势移到高电势，电势能减少，故D错误。 故选：BC。 【例3】 沿电场线所在直线建立如图所示Ox轴，x轴上各点电势φ随x的变化规律如图所示，坐标点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，O点电势为零。带电量为﹣e的电子从O点由静止释放，仅受电场力作用，下列说法正确的是（　　） A．在0～x3区间内，电场方向始终指向x轴正方向 B．电子到达B点时动能为 C．电子从A运动到C，加速度先增大后减小 D．若在B点给电子一个沿x轴方向的初速度，电子一定会在AC间做往复运动 【解答】解：A．沿电场线方向电势降低，在0～x3区间内，电势先升高、再降低、再升高，则电场线方向没有始终指向x轴正方向，故A错误； B．根据动能定理﹣e（0﹣）＝EkB 电子到达B点时动能为 EkB＝e 故B正确； C．电势φ﹣x图像的斜率大小等于电场强度，电子加速度大小为a＝ 由图像可知，A、C间斜率先变小后变大，则加速度先变小后变大，故C错误； D．若在B点电子的初速度为沿+x轴方向，BC间电势升高，电场线方向由C指向B，电场力由B指向C，电子做加速运动；若在B点电子的初速度为沿﹣x轴方向，同理，电子也做加速运动。故电子不会再AC间做往复运动，故D错误。 故选：B。 针对训练 2-1. 在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示。下列说法正确有（　　） A．q1和q2带有同种电荷 B．x1处的电场强度为零 C．负电荷从x1移到x2，受到的电场力减小 D．负电荷从x1移到x2，电势能增加 【解答】解：A、由图可知，无穷远处电势为零，有电势为正的地方，故存在正电荷；又有电势为负的地方，故也存在负电荷，所以q1和q2带有异种电荷，故A错误； B、图中曲线斜率大小等于电场强度，x1处的斜率不为零，故x1处的电场强度不为零，故B错误； C、负电荷从x1移到x2，曲线的斜率减小，说明电场强度减小，所以负电荷受到的电场力减小，故C正确； D、负电荷从x1移到x2，电势升高，根据Ep＝qφ可知，负电荷的电势能减小，故D错误。 故选：C。 2-2. 空间存在沿x轴方向的电场，x轴上各点电势φ随坐标x变化的关系如图所示，则下列判断正确的是（　　） A．在x1处电场强度最大 B．在0～x1间只有一点电场强度的大小为E0＝ C．将电子由x1处移到x3的处的过程中，电场力做正功 D．质子在x2处电势能为零，受到的电场力也为零 【解答】解：A.根据场强与电势差的关系，结合图像可知，斜率的绝对值表示场强大小，则x1处斜率为零，电场强度为零，故A错误； B.如图所示：连接x0处的斜率等于E0＝，且在0～x1间只有一点，故B正确； C.由图可知由x1处移到x3的电势差为正值，电子带负电荷，电场力做负功，故C错误； D.电势能等于电荷量与电势的乘积，故质子在x2处电势能为零，但是该处的斜率不为零，说明场强不为零，即受到的电场力不为零，故D错误。 故选：B。 2-3. 空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现用仪器在纸面内沿互成60°角的OA、OB两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与O点距离的函数关系如图所示，则下列关于该电场的电场强度E的说法中正确的是（　　） A．E＝200V/m，沿AO方向 B．E＝400V/m，沿AO方向 C．E＝V/m，垂直OB向下 D．E＝V/m，垂直OA斜向右下方 【解答】解：设电场线方向与OA方向夹角为θ，则与OB方向夹角为60°﹣θ，设O点电势为0，则有 沿OA方向U1＝Ed1cosθU2＝Ed2cos（60°﹣θ） 代入数据解得θ＝0 说明电场强度方向与OA在同一直线上，由图可知，沿OA方向电势升高，则电场强度方向沿AO方向，电场强度大小为E＝＝ 故B正确，ACD错误。 故选：B。 2-4. (多选)如图甲所示，三个电荷量大小均为Q的点电荷位于等边三角形的三个顶点上，其中带负电的点电荷位于坐标原点处，x轴处于等边三角形的一条中线上。现让一带电量为+q的试探电荷沿着x轴正方向运动，以x正向为+q（所受电场力的正方向，得到+q所受电场力随位置的变化图像如图乙所示，设无穷远处电势为零。则以下说法正确的是（　　） A．x1＞x0 B．在x正半轴上，+q在x2处所受电场力最大 C．+q在x1处电势能最大 D．+q在x1处电势能为零 【解答】解：A、图乙中x1的位置正点电荷所受的电场力等于零，根据图甲来判断x0的位置正点电荷的受力不为零，方向向左，故根据题意，正点电荷受力等于零的位置在x0的右侧，如图 故x1在x0的右侧，即x1＞x0，故A正确； B、由图象可知，在x轴正半轴上，越靠近负点电荷时，正点电荷的受力越大，所以，+q在x2处所受电场力不是最大，故B错误； CD、在0＜x＜x1范围内，正电荷所受电场力合力为水平向左，正点电荷在x1位置受力平衡，在x1的右侧正点电荷所受合力方向水平向右，在0＜x＜x1范围内，电场力做负功，电势能增加；x＞x1范围内，电场力做正功，电势能减小。故电势能在x1处电势能最大，故C正确，D错误。 故选：AC。 综合练习 电场力与电场能相关综合题目 3、 电场力与电场能相关综合题目 分析思路： 带电粒子在电场中的运动，综合了静电场与力学的知识，实际分析方法和力学的分析方法是基本相同的：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程（平衡、加速或减速；是直线还是曲线），然后选用恰当的规律解题。 在对带电粒子进行受力分析时，要注意两点： (1) 电场力的大小与方向不仅与场强有关，更与实际放入其中的带电粒子的电荷量和电性有关；在匀强电场中，同一粒子受到的电场力为恒力；在非匀强电场中，同一粒子在不同位置所受电场力的大小和方向都可能不同。 (2) 需要留意是否需要考虑重力： 一般基本粒子如电子、质子、离子等，除非特殊说明都不需要考虑重力。 带电的颗粒如液滴、油滴、尘埃、小球等除非特殊说明，都需要考虑重力。 当涉及到加速时，除了力学方面，也能从能量角度切入分析与计算。熟练掌握电场力做功的计算方式，注意做功的正负与电势能的升降关联关系。 例题讲解 【例1】 如图所示，两块平行金属板倾斜放置，其间有一匀强电场，PQ是中央线。一带电小球从a点以速度v0平行于PQ线射入板间，从b点射出。以下说法正确的是（　　） A．小球一定带正电 B．小球一定带负电 C．小球在b点的速度一定大于v0 D．从a到b，小球的电势能一定增加 【解答】解： ①电场力方向可能垂直于PQ向上，由于电场力与重力的合力与初速度不垂直，粒子做非类平抛运动。电场力对粒子做负功，电势能增加；根据曲线运动的条件可知，电场力与重力的合力斜向右下方，对粒子做正功，其动能增大，速度增大。 ②电场力方向可能垂直于PQ向下，由于电场力与重力的合力与初速度不垂直，粒子做非类平抛运动。电场力对粒子做正功，电势能减小；根据曲线运动的条件可知，电场力与重力的合力斜向左下方，对粒子做正功，其动能增大，速度增大。 综上可知，粒子不一定带正电或负电，从a到b，粒子做非类平抛运动，速度一定增大，即粒子在b点的速度一定大于v0，电势能不一定增加，故ABD错误，C正确。 故选：C。 【例2】 (多选)如图所示，a、b、c、d是某匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点，ab＝cd＝L，ad＝bc＝2L，电场线与矩形所在平面平行。已知a点电势为20V，b点电势为24V，d点电势为12V，一个质子从b点以速度v0射入此电场，入射方向与bc成45°角，一段时间后经过C点。不计质子的重力，下列判断正确的是（　　） A．电场强度的方向由b指向d B．c点电势低于a点电势 C．质子从b运动到c，所用的时间为 D．质子从b运动到c，电场力做功为4eV 【解答】解：AB、连接bd，bd两点的电势差为Ubd＝φb﹣φd＝24V﹣12V＝12V ad两点的电势差为Uad＝φa﹣φd＝20V﹣12V＝8V 因，故将bd分成3份，如图所示，e点的电势一定为20V，连接ae即为等势线，f的电势为16V，连接fc，由几何知识得知，fc∥ae，则知c的电势是16V，故a点电势高于c点的电势，强场的方向垂直于等势线，则知场强的方向垂直于ae向上，不是由b指向d，故A错误，B正确； C．由于bc两点的电势分别为24V、16V，则bc中点O的电势为20V，则a、e、O在同一等势面上，由于ab＝bO＝L，∠abc＝90°，则∠baO＝∠bOa＝45° 因为电场线与等势线aO垂直，所以场强的方向与bc的夹角为45°，质子从b运动到c时做类平抛运动，沿初速度v0方向做匀速直线运动，则运动时间为 故C正确； D．若质子由b到c，因bc间的电势差为Ubc＝φb﹣φc＝24V﹣16V＝8V 则电场力做功W＝eU＝8eV 故D错误。 故选：BC。 【例3】 如图所示，光滑绝缘细杆沿竖直方向固定，其底端O固定一带正电的点电荷。一质量为m、电荷量为+q的小球，中心开孔套在杆上，孔径比杆的直径略大，小球恰能静止在距O点为h的A点。现将小球移至距O点为2h的B点由静止释放，小球运动至A点时速度大小为v。已知重力加速度为g，静电力常量为k，求： （1）O点处点电荷电量Q及小球在B点释放时的加速度大小a； （2）B、A两点的电势差UBA。 【解答】解：（1）小球最开始静止在距O点高为h的A点，由受力平衡有 mg＝k 解得 Q＝ 小球在B点由静止释放时，由牛顿第二定律有 mg﹣k＝ma 解得 a＝g （3）小球由B运动到A，由动能定理有 mgh﹣qUBA＝mv2﹣0 解得 UBA＝ 答：（1）O点处点电荷电量Q为；小球在B点释放时的加速度大小为g； （2）B、A两点的电势差为。 【例4】 如图，竖直放置的半圆形光滑绝缘轨道半径为R（C点为半圆最高点，B点为半圆最低点），下端与光滑绝缘水平面平滑连接，整个装置处于竖直向上的匀强电场中，场强大小为．一带负电的物块（可视为质点）质量为m、电量为q，从水平面上的A点以某一初速度水平向左运动，沿半圆形轨道通过最高点C时，对轨道的压力大小恰好等于mg，求： （1）物块在最高点C的速度大小。 （2）物块从C点飞出后落回到水平面时距B点的水平距离。 【解答】解：（1）由作用力和反作用力的特点可知：轨道对物块的支持力为mg，方向竖直向下； 物块在C点受重力、电场力和轨道支持力作用，故由牛顿第二定律可得：； 所以，物块在最高点C的速度； （2）物块从C点飞出后，受重力和电场力作用，故合外力F＝qE+mg＝2mg，故物块做加速度a＝2g的类平抛运动； 那么，由类平抛运动规律可得：s＝vCt，＝gt2，所以，物块做类平抛运动的时间，物块从C点飞出后落回到水平面时距B点的水平距离； 答：（1）物块在最高点C的速度大小为。 （2）物块从C点飞出后落回到水平面时距B点的水平距离。 针对训练 3-1. (多选)如图所示，在光滑绝缘水平面上有一半径为R的圆，A，B、C是圆的三等分点，O为圆心，空间有平行于水平面，电场强度大小为E的匀强电场（图中未画出）。在圆周上的A点有一小球发射器，以相同的动能平行于水平面沿不同方向发射电荷量为q的带正电小球，小球会经过圆周上不同的点，在这些点中，经过B点的小球的动能最大。不计小球间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的电场强度的方向为由O指向B B．匀强电场的电场强度的方向为由A指向C C．若小球从A点沿AC方向射出，恰能经过B点，则小球的初动能为0.25qER D．若小球从A点沿AC方向射出，恰能经过B点，则小球的初动能为0.125qER 【解答】解：AB.由于小球在B点的动能最大，故匀强电场过B点的等势面与圆周相切，电场强度方向沿OB方向，故A正确、B错误； CD.小球从A点沿AC方向射出时，做类平抛运动，设小球的初速度方向为x轴正方向，电场强度方向为y轴正方向，则有 x＝Rcos30°＝v0t y＝R+Rsin30°＝ Ek0＝ 联立解得 Ek0＝0.125qER 故C错误、D正确。 故选：AD。 3-2. 如图所示水平地面上固定一光滑绝缘的斜面，斜面长为L＝1.5m，倾角为37°，斜面处于水平向左的匀强电场中。现把质量为m＝100g，电荷量为q＝0.1C的带电小物块轻放在斜面顶端A处，物块恰好静止，忽略物块自身的大小。（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2） （1）判断小物块的电性并计算电场强度的大小。 （2）若规定斜面底端B点位置的电势为0，求顶端A处的电势。 （3）保持电场的方向不变，电场强度大小变为，求物体从A下滑到B的时间。 【解答】解：（1）对小物块静止在斜面的顶端A处时受力情况如图所示，由物体平衡条件有： Nsinθ﹣qE＝0 Ncosθ﹣mg＝0 联立并代入数据得： E＝7.5N/C，小物块带负电 （2）AB两点电势差为UAB＝φA﹣φB＝ELcosθ 根据题意代入数据解得：φA＝9V （3）若电场强度大小变为，则由牛顿运动定律有：mgsinθ﹣q•cosθ＝ma 根据运动学公式有：L＝ 联立并代入数据得： t＝1s 答：（1）小物块带负电，电场强度的大小为7.5N/C。 （2）若规定斜面底端B点位置的电势为0，顶端A处的电势为9V。 （3）物体从A下滑到B的时间为1s。 3-3. 如图所示，竖直平面内光滑绝缘直杆ABC与水平面的夹角θ＝30°，在O点处固定一正点电荷（电荷量未知），O点到B、C两点的距离相等，现将质量m＝0.08kg、电荷量q＝﹣5×10﹣3C、套在杆上的带负电小球从A点由静止开始释放。已知A、C两点间的距离d＝2.0m，B、C两点间的距离x＝1.6m，小球沿杆下滑到B点时的速度大小为3m/s，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。 （1）求小球滑到C点时的速度大小vC； （2）若规定A点的电势为零，求B点的电势φB。 【解答】解：（1）小球由B滑到C点的过程中，重力做正功，O点到B、C两点的距离相等，B，C处于同一个等势面上，电场力做功为零，由动能定理得 mglBCsin30°＝m﹣m 代入数据解得：vC＝5m/s （2）lAB＝lAC﹣lBC＝2.0m﹣1.6m＝0.4m 负电荷由A运动到B点，由动能定理得 mglABsin30°+qUAB＝m 代入数据解得：UAB＝﹣40V UAB＝φA﹣φB＝0﹣φB＝﹣40V φB＝40V 答：（1）求小球滑到C点时的速度大小vC为5m/s； （2）若规定A点的电势为零，B点的电势φB为40V。 巩固练习 1. (多选)空间有平行于梯形区域的匀强电场，已知梯形的，和均为直角，且上底、下底，并知、、三点的电势分别为、、．将一电荷量的点电荷从点开始沿路线移动，则下列判断正确的是　　 A．梯形区域的下底中点的电势为6 B．该匀强电场的场强大小为 C．该点电荷在点的电势能为 D．该点电荷从点移到点过程中，电场力对它做功为 【解答】解：、由点向作垂线，根据几何关系知为中点，由于是匀强电场，故沿着同一个方向前进相同距离电势的降低相等，故： ， 代入数据解得：，，故正确。 、由于是匀强电场，连接则为等势面，如图所示： 根据几何关系可知，，则为一条电场线，且方向由指向，电场强度为：，故错误。 、该点电荷在点的电势能为：，故错误。 、该点电荷从点移到点电场中做功为：，故正确。 故选：。 2. (多选)沿电场中某条直线电场线方向建立轴，该电场线上各点的电场强度随的变化规律如图所示。将一个带正电的粒子从点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下，由坐标原点运动到位置过程中，下列说法正确的是　　 A．粒子先加速后减速运动 B．粒子的电势能一直减小 C．坐标原点和位置的电势差 D．粒子动能的增加量等于电势能的减小量 【解答】解：、由图，粒子由坐标原点运动到位置过程中，电场方向一直为正方向，电场力方向与速度方向相同，电场力对粒子做正功，粒子速度一直增大，电势能一直减小，故错误，正确； 、结合公式，可知坐标原点和位置间的电势差为图像与轴所围成的面积，即，故正确； 、由于该过程中粒子只受到电场力的作用，所以粒子的动能增加量等于电势能的减小量，故正确； 故选：。 3. (多选)如图所示为带电粒子只在电场力作用下运动的图象，在点的速度为，运动到点的速度为，则下列说法中正确的是　　 A．电场中点电势一定比点电势高 B．粒子在点的电势能一定比在点的电势能大 C．在时间内，粒子运动过程中受到的电场力先减小后增大再减小 D．在时间内，粒子运动路径与电场力不在一条直线上 【解答】解：、从到的过程，粒子的动能增加，由能量守恒定律知其电势能减小，由于不知粒子的电性，因此不能确定、两点电势的高低，故错误； 、由于只有电场力做功，电势能与动能之和为一定值，因为点速度比点速度大，所以粒子在点的动能比点动能大，则知粒子在点的电势能一定比在点的电势能大，故正确； 、由于图象的斜率表示加速度，由图可知，在时间内，粒子运动的加速度先减小后增大，再减小，由牛顿第二定律可知，粒子运动过程中受到的电场力先减小后增大再减小，故正确 、由于图象反映的是粒子做直线运动的速度随时间变化的规律，因此粒子的运动路劲是一条直线，即粒子受到的电场力一定与运动速度在一条直线上，故错误； 故选：。 4. (多选)在一静止点电荷的电场中，某一电场线上有四个点、、和，现将一带正电的试探电荷由点依次经、点移动到点，选无穷远处的电势为零，则试探电荷在某点的电势能与该点到点电荷的距离的关系如图所示。点到点电荷的距离与试探电荷的电势能已在图中用坐标，标出，其余类推。电场中、点的电场强度大小分别为、，、点的电势分别为和，试探电荷在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为、。下列选项正确的是　　 A．点电荷带正电 B． C． D． 【解答】解：由题图可知，点、、、到点电荷的距离分别是、、、，正试探电荷在各点的电势能依次减小，则各点的电势依次减小，点电荷带正电，故正确； 、根据电荷的场强公式可知，，故错误； 、根据电势，可知，故正确； 、根据电场力做功的大小等于电势能的变化大小可知，，故错误； 故选：。 5. 一个带负电的粒子从处由静止释放，仅受电场力作用，沿轴正方向运动，加速度随位置变化的关系如图所示，．可以得出　　 A．从到过程中，电势先升高后降低 B．在和处，电场强度相同 C．粒子经和处，速度等大反向 D．粒子在处，电势能最大 【解答】解：、根据图象可知，从到过程中，粒子先加速后减速，所以电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增加，到处，电势能最小 根据可知，粒子带负电，所以电势先升高后降低，故正确，错误； 、因为，所以电场强度和加速度大小成正比，方向相反，所以在和处，电场强度大小相等，方向相反，故错误； 、根据运动学公式可知可知，图象的面积表示，所以粒子经和处，速度大小相等，方向相同，故错误； 故选：。 6. (多选)如图所示匀强电场的区域内，在点处放置一点电荷，、、、、、为以点为球心的球面上的点，平面与电场线平行，平面与电场线垂直，则下列说法中正确的是　　 A．、两点的电场强度相同 B．点的电势大于点的电势 C．点电荷在球面上任意两点之间移动时，电场力一定做功 D．将点电荷在球面上任意两点之间移动，从球面上点移动到点的电势能变化量最大 【解答】解：、点电荷在点产生的电场方向为竖直向上，在点产生的电场方向为竖直向下，匀强电场方向水平向右，根据平行四边形定则可知，点的合场强斜向右上方，点的合场强斜向右下方，两点场强大小相同，方向不同，电场强度不同。故错误 、讲一个试探正电荷由点移动到点，受点的点电荷电场力不做功，匀强电场的电场力做正功，故合力做正功，电势能减小，电势降低，故正确； 、当电荷沿着球面上的移动时，匀强电场的电场力不做功，点电荷电场力也不做功，故合电场力不做功，故错误； 、将点电荷在球面上任意两点之间移动，受点的点电荷电场力不做功，从点移动到点，匀强电场的电场力做功最大，故合力做功最大，故正确。 故选：。 7. 为使带电量为的负点电荷在一匀强电场中沿直线匀速地由运动到，必须对该电荷施加一个竖直向上大小为的恒力，如图所示，已知点电势．不计电荷的重力。其中α= 37°。 （1）匀强电场的场强为多少？指出电场线的方向。 （2）点的电势为多少？间的电势差为多少？ （3）求在由到的过程中电势能的变化量是多少？ 【解答】解：（1）由得场强的大小为：，方向如图所示 （2）间的电势差为： 点的电势为： （3）点电荷从由运动到，电场力做功为： 故点电荷的电势能增大 答：（1）电场强度的大小； （2）间的电势差为； （3）在由到的过程中电势能的变化量是 8. 如图所示，水平桌面上方有水平向右的匀强电场，场强大小为．、是两个完全相同的小物体，质量都为，电量都为，且都带负电，原来都被按在桌面上的点．现设法使物体获得和电场同方向的初速度，开始运动的加速度大小为．经过时间后，设法使物体获得和电场同方向的初速度．不计、两物体之间的库仑力．求： （1）受到的桌面的摩擦力 （2）在未与相遇前，电势能增量的最大值 （3）如果要使尽快与相遇，为多少． 【解答】解：（1）释放后： 得 （2），且相同只能在往返过程中与相遇，速度减到零，经过的位移为： ， △ （3）要使在最短时间内与相遇，则对应减速到零时与相遇． 的最大位移： 运动时间： 返回时： 返回走了 用时 △ 答：（1）小物体与桌面之间的阻力为 （2）在未与相遇前，电势能增量的最大值为； （3）如果要使尽快与相遇，△为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 电场能的性质（下） 知识点一 电场线与等势面：用等分法确定等势线和电场线 1、 电场线与等势面：用等分法确定等势线和电场线 我们已经知道，在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离，由此可以进一步得到下面两个结论： 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示． 甲　　　　　　　　　　乙 结论2：在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等．如图乙中，线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UDC(或φA－φB＝φD－φC)，同理有UAD＝UBC. 确定电场方向的方法： 先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面． 例题讲解 【例1】 如图所示，匀强电场场强E＝200V/m，A、B两点相距10cm，A、B连线与电场线的夹角为60°，则A、B间电势差UAB为（　　） A．﹣10V B．10V C．﹣5V D．5V 【例2】 如图所示，一等腰梯形ABCD平行于电场线放在匀强电场中，∠BAD＝60°，AB＝BC。现将一个电荷从A点沿AB移到B点电场力不做功，已知A点电势为﹣2V，D点电势为4V，则C点电势为（　　） A．1V B．2V C．3V D．4V 【例3】 如图所示，匀强电场中有一个半径为4cm的圆，电场方向与圆面平行，A、B、C是圆上的三个等分点，已知UAB＝6V，UBC＝﹣6V，则该电场的电场强度大小为（　　） A．100V/m B．150V/m C．100V/m D．400V/m 【例4】 A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5V，φB＝2V，φC＝1V，H、F三等分AB，G为AC的中点，下列图形中能正确表示电场强度方向的是（　　） A． B． C． D． 【例5】 如图，P、Q、M、N为菱形的四个顶点。若已知该空间存在一方向与此菱形平面平行的匀强电场，则（　　） A．P、Q间的电势差一定与N、M间的电势差相等 B．P、Q间的电势差一定与Q、M间的电势差相等 C．P、Q、M、N四点中至少有两点电势相等 D．P、Q、M、N四点可能位于同一等势面上 针对训练 1-1. 如图所示，匀强电场中的A、B、C三点的连线构成边长为的等边三角形．把带电量为e的电子从A移动到B，电场力做正功W；把电子从C移到B，电场力也做相等的正功W，则下列说法中正确的是（　　） A．A，B，C三点的电势关系为φA＞φB＞φC B．A，B，C三点的电势关系为φA＝φC＞φB C．电场强度的方向与AB垂直 D．若场强与纸面平行，则场强大小等于 1-2. (多选)如图所示，匀强电场中有一平行四边形abcd，且平行四边形所在平面与场强方向平行。其中φa＝20V，φc＝12V，φd＝16V，则下列说法正确的是（　　） A．b点电势φb＝16V B．b点电势φb＝12V C．场强平行于ad方向 D．场强方向垂直于bd向下 1-3. (多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小为1.75V/cm B．电场强度的大小为1.25V/cm C．电场强度的方向与y轴负方向成53° D．电场强度的方向与x轴负方向成53° 知识点二 对φ ­ x图像的理解 2、 对φ ­ x图像的理解 1． 可直接从图像中得出电势的正负以及大小变化。 2． 斜率表示电场强度的大小。 3． 正电荷由高电势往低电势运动电场力做正功，动能增大，电势能减少。反之，电场力做负功，动能减小，电势能增加。判断电场力做功，只看初末位置的电势差。 例题讲解 【例1】 空间某一静电场的电势φ在x轴上的分布如图所示，x轴上两点B、C的电场强度在x轴方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有（　　） A．EBx的方向沿x轴正方向 B．EBx的大小大于ECx的大小 C．电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量不等于0 D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做负功，后做正功 【例2】 (多选)如图所示，曲线表示固定在x轴上a、b两点的两个点电荷产生的电势与位置之间的对应关系，两个点电荷所带电荷量分别为q1和q2，a、p间距离大于p、b间距离。从图可知以下正确的是（　　） A．两点电荷带异种电荷 B．电势最低的p点的电场强度为零 C．p、b两点之间电场方向都指向p点 D．将一负电荷从p点移到a点电势能增加 【例3】 沿电场线所在直线建立如图所示Ox轴，x轴上各点电势φ随x的变化规律如图所示，坐标点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，O点电势为零。带电量为﹣e的电子从O点由静止释放，仅受电场力作用，下列说法正确的是（　　） A．在0～x3区间内，电场方向始终指向x轴正方向 B．电子到达B点时动能为 C．电子从A运动到C，加速度先增大后减小 D．若在B点给电子一个沿x轴方向的初速度，电子一定会在AC间做往复运动 针对训练 2-1. 在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示。下列说法正确有（　　） A．q1和q2带有同种电荷 B．x1处的电场强度为零 C．负电荷从x1移到x2，受到的电场力减小 D．负电荷从x1移到x2，电势能增加 2-2. 空间存在沿x轴方向的电场，x轴上各点电势φ随坐标x变化的关系如图所示，则下列判断正确的是（　　） A．在x1处电场强度最大 B．在0～x1间只有一点电场强度的大小为E0＝ C．将电子由x1处移到x3的处的过程中，电场力做正功 D．质子在x2处电势能为零，受到的电场力也为零 2-3. 空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现用仪器在纸面内沿互成60°角的OA、OB两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与O点距离的函数关系如图所示，则下列关于该电场的电场强度E的说法中正确的是（　　） A．E＝200V/m，沿AO方向 B．E＝400V/m，沿AO方向 C．E＝V/m，垂直OB向下 D．E＝V/m，垂直OA斜向右下方 2-4. (多选)如图甲所示，三个电荷量大小均为Q的点电荷位于等边三角形的三个顶点上，其中带负电的点电荷位于坐标原点处，x轴处于等边三角形的一条中线上。现让一带电量为+q的试探电荷沿着x轴正方向运动，以x正向为+q（所受电场力的正方向，得到+q所受电场力随位置的变化图像如图乙所示，设无穷远处电势为零。则以下说法正确的是（　　） A．x1＞x0 B．在x正半轴上，+q在x2处所受电场力最大 C．+q在x1处电势能最大 D．+q在x1处电势能为零 综合练习 电场力与电场能相关综合题目 3、 电场力与电场能相关综合题目 分析思路： 带电粒子在电场中的运动，综合了静电场与力学的知识，实际分析方法和力学的分析方法是基本相同的：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程（平衡、加速或减速；是直线还是曲线），然后选用恰当的规律解题。 在对带电粒子进行受力分析时，要注意两点： (1) 电场力的大小与方向不仅与场强有关，更与实际放入其中的带电粒子的电荷量和电性有关；在匀强电场中，同一粒子受到的电场力为恒力；在非匀强电场中，同一粒子在不同位置所受电场力的大小和方向都可能不同。 (2) 需要留意是否需要考虑重力： 一般基本粒子如电子、质子、离子等，除非特殊说明都不需要考虑重力。 带电的颗粒如液滴、油滴、尘埃、小球等除非特殊说明，都需要考虑重力。 当涉及到加速时，除了力学方面，也能从能量角度切入分析与计算。熟练掌握电场力做功的计算方式，注意做功的正负与电势能的升降关联关系。 例题讲解 【例1】 如图所示，两块平行金属板倾斜放置，其间有一匀强电场，PQ是中央线。一带电小球从a点以速度v0平行于PQ线射入板间，从b点射出。以下说法正确的是（　　） A．小球一定带正电 B．小球一定带负电 C．小球在b点的速度一定大于v0 D．从a到b，小球的电势能一定增加 【例2】 (多选)如图所示，a、b、c、d是某匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点，ab＝cd＝L，ad＝bc＝2L，电场线与矩形所在平面平行。已知a点电势为20V，b点电势为24V，d点电势为12V，一个质子从b点以速度v0射入此电场，入射方向与bc成45°角，一段时间后经过C点。不计质子的重力，下列判断正确的是（　　） A．电场强度的方向由b指向d B．c点电势低于a点电势 C．质子从b运动到c，所用的时间为 D．质子从b运动到c，电场力做功为4eV 【例3】 如图所示，光滑绝缘细杆沿竖直方向固定，其底端O固定一带正电的点电荷。一质量为m、电荷量为+q的小球，中心开孔套在杆上，孔径比杆的直径略大，小球恰能静止在距O点为h的A点。现将小球移至距O点为2h的B点由静止释放，小球运动至A点时速度大小为v。已知重力加速度为g，静电力常量为k，求： （1）O点处点电荷电量Q及小球在B点释放时的加速度大小a； （2）B、A两点的电势差UBA。 【例4】 如图，竖直放置的半圆形光滑绝缘轨道半径为R（C点为半圆最高点，B点为半圆最低点），下端与光滑绝缘水平面平滑连接，整个装置处于竖直向上的匀强电场中，场强大小为．一带负电的物块（可视为质点）质量为m、电量为q，从水平面上的A点以某一初速度水平向左运动，沿半圆形轨道通过最高点C时，对轨道的压力大小恰好等于mg，求： （1）物块在最高点C的速度大小。 （2）物块从C点飞出后落回到水平面时距B点的水平距离。 针对训练 3-1. (多选)如图所示，在光滑绝缘水平面上有一半径为R的圆，A，B、C是圆的三等分点，O为圆心，空间有平行于水平面，电场强度大小为E的匀强电场（图中未画出）。在圆周上的A点有一小球发射器，以相同的动能平行于水平面沿不同方向发射电荷量为q的带正电小球，小球会经过圆周上不同的点，在这些点中，经过B点的小球的动能最大。不计小球间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的电场强度的方向为由O指向B B．匀强电场的电场强度的方向为由A指向C C．若小球从A点沿AC方向射出，恰能经过B点，则小球的初动能为0.25qER D．若小球从A点沿AC方向射出，恰能经过B点，则小球的初动能为0.125qER 3-2. 如图所示水平地面上固定一光滑绝缘的斜面，斜面长为L＝1.5m，倾角为37°，斜面处于水平向左的匀强电场中。现把质量为m＝100g，电荷量为q＝0.1C的带电小物块轻放在斜面顶端A处，物块恰好静止，忽略物块自身的大小。（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2） （1）判断小物块的电性并计算电场强度的大小。 （2）若规定斜面底端B点位置的电势为0，求顶端A处的电势。 （3）保持电场的方向不变，电场强度大小变为，求物体从A下滑到B的时间。 3-3. 如图所示，竖直平面内光滑绝缘直杆ABC与水平面的夹角θ＝30°，在O点处固定一正点电荷（电荷量未知），O点到B、C两点的距离相等，现将质量m＝0.08kg、电荷量q＝﹣5×10﹣3C、套在杆上的带负电小球从A点由静止开始释放。已知A、C两点间的距离d＝2.0m，B、C两点间的距离x＝1.6m，小球沿杆下滑到B点时的速度大小为3m/s，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。 （1）求小球滑到C点时的速度大小vC； （2）若规定A点的电势为零，求B点的电势φB。 巩固练习 1. (多选)空间有平行于梯形区域的匀强电场，已知梯形的，和均为直角，且上底、下底，并知、、三点的电势分别为、、．将一电荷量的点电荷从点开始沿路线移动，则下列判断正确的是　　 A．梯形区域的下底中点的电势为6 B．该匀强电场的场强大小为 C．该点电荷在点的电势能为 D．该点电荷从点移到点过程中，电场力对它做功为 2. (多选)沿电场中某条直线电场线方向建立轴，该电场线上各点的电场强度随的变化规律如图所示。将一个带正电的粒子从点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下，由坐标原点运动到位置过程中，下列说法正确的是　　 A．粒子先加速后减速运动 B．粒子的电势能一直减小 C．坐标原点和位置的电势差 D．粒子动能的增加量等于电势能的减小量 3. (多选)如图所示为带电粒子只在电场力作用下运动的图象，在点的速度为，运动到点的速度为，则下列说法中正确的是　　 A．电场中点电势一定比点电势高 B．粒子在点的电势能一定比在点的电势能大 C．在时间内，粒子运动过程中受到的电场力先减小后增大再减小 D．在时间内，粒子运动路径与电场力不在一条直线上 4. (多选)在一静止点电荷的电场中，某一电场线上有四个点、、和，现将一带正电的试探电荷由点依次经、点移动到点，选无穷远处的电势为零，则试探电荷在某点的电势能与该点到点电荷的距离的关系如图所示。点到点电荷的距离与试探电荷的电势能已在图中用坐标，标出，其余类推。电场中、点的电场强度大小分别为、，、点的电势分别为和，试探电荷在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为、。下列选项正确的是　　 A．点电荷带正电 B． C． D． 5. 一个带负电的粒子从处由静止释放，仅受电场力作用，沿轴正方向运动，加速度随位置变化的关系如图所示，．可以得出　　 A．从到过程中，电势先升高后降低 B．在和处，电场强度相同 C．粒子经和处，速度等大反向 D．粒子在处，电势能最大 6. (多选)如图所示匀强电场的区域内，在点处放置一点电荷，、、、、、为以点为球心的球面上的点，平面与电场线平行，平面与电场线垂直，则下列说法中正确的是　　 A．、两点的电场强度相同 B．点的电势大于点的电势 C．点电荷在球面上任意两点之间移动时，电场力一定做功 D．将点电荷在球面上任意两点之间移动，从球面上点移动到点的电势能变化量最大 7. 为使带电量为的负点电荷在一匀强电场中沿直线匀速地由运动到，必须对该电荷施加一个竖直向上大小为的恒力，如图所示，已知点电势．不计电荷的重力。其中α= 37°。 （1）匀强电场的场强为多少？指出电场线的方向。 （2）点的电势为多少？间的电势差为多少？ （3）求在由到的过程中电势能的变化量是多少？ 8. 如图所示，水平桌面上方有水平向右的匀强电场，场强大小为．、是两个完全相同的小物体，质量都为，电量都为，且都带负电，原来都被按在桌面上的点．现设法使物体获得和电场同方向的初速度，开始运动的加速度大小为．经过时间后，设法使物体获得和电场同方向的初速度．不计、两物体之间的库仑力．求： （1）受到的桌面的摩擦力 （2）在未与相遇前，电势能增量的最大值 （3）如果要使尽快与相遇，为多少． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $