2026年暑假提升讲义：第3讲 电势、电势能和电势差 （提高）

第3讲 电势、电势能和电势差 【学习目标】　 1.知道静电力做功的特点，理解静电力做功与电势能变化的关系 2.理解电势能和电势的概念及其物理意义，知道电势能和电势的相对性。 3.了解电势差，掌握电势差的表达公式，知道电势差与零电势点的选择无关。 4.知道静电力做功与电势差的关系，会进行相关问题的计算。 5.知道等势面的定义，明确电场线一定与等势面垂直。 6.知道匀强电场中电势差与电场强度的关系，掌握表达两者关系的公式。 一、电势能与电势 1.电场力做功的特点 （1）电场力做功：在匀强电场中，电场力做功W＝qExcos α。其中α为 与 之间的夹角。 （2）特点：在静电场中，电场力做功只与移动电荷的电荷量以及起点和终点的位置有关，而与路径无关。 2.电势能 （1）电势能是电荷在电场中具备一种能量，为电荷与电场共同所有。 （2）类似重力势能，电势能具有相对性．一般取无穷远处为零势能 （3）电场力做功是电势能变化的量度，用公式表示为WAB＝EpA－EpB，即电场力做正功，电荷的电势能减少，电场力做负功，电荷的电势能增加． （4）电势能大小的比较 判断角度 判断方法 依据静电力做功 无论正、负电荷，电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大 依据电场线方向 正电荷沿着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大 负电荷沿着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小 依据公式Ep＝qφ 设φA>φB，当q>0时，qφA>qφB，即EpA>EpB；当q<0时，qφA<qφB，即EpA<EpB，可总结为正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小 3.电势 (1)定义：φ＝，在计算时应代入各自的正负号． (2)电势的标量性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分，电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低． (3)电势的相对性：零电势点的选取原则：一般选大地或无限远处为零电势，只有选取了零电势点才能确定某点的电势大小． (4)电势是描述电场性质的物理量，决定于电场本身，与试探电荷无关． (5)电势高低的判断方法： ①电场线法：沿着电场线方向电势逐渐降低(此为主要方法)； ②电势能判断法：利用公式φ＝判断，即在正电荷的电势能越大处，电势越高，负电荷电势能越大处，电势越低． ③场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低。 题型1：电场力做功与电势能变化的关系 【例题1】如图所示为某一带正电的点电荷产生的电场中的一条电场线．A、B、C、D为该电场线上的点，相邻两点间距相等，电场线方向由A指向D.一个带正电的粒子从A点由静止释放，运动到B点时的动能为Ek，仅考虑电场力的作用，则(　　) A．从A点到D点，电势先升高后降低 B．粒子一直做匀加速运动 C．粒子在BC段电势能的减少量大于在CD段电势能的减少量 D．粒子运动到D点时动能等于3Ek 变式1.为了减少污染，工业废气需用静电除尘器除尘，某除尘装置如图所示，其收尘极为金属圆筒，电晕极位于圆筒中心。当两极接上高压电源时，电晕极附近会形成很强的电场使空气电离，含尘气体中的尘埃吸附电子后在电场力的作用下向收尘极运动并沉积，以达到除尘目的。假设尘埃向收尘极运动过程中所带电荷量不变，下列判断正确的是(　　) A.金属圆筒内场强处处为零 B.带电尘埃向收尘极运动过程中电场力做负功 C.带电尘埃向收尘极运动过程中电势能越来越大 D.带电尘埃向收尘极运动过程中受到的电场力越来越小 变式2.如图为描述某静电场的电场线，a、b、c是同一条电场线上的三个点，把正点电荷沿电场线由a点移至b点的过程中，关于电场力对电荷所做的功和电荷电势能的变化，下列说法正确的是(　　) A.电场力做正功，电势能增加 B.电场力做正功，电势能减少 C.电场力做负功，电势能增加 D.电场力做负功，电势能减少 变式3.如图所示，MN是一正点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子(不计重力)从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是(　　) A.带电粒子从a到b的过程中动能逐渐减小 B.正点电荷一定位于M点左侧 C.带电粒子在a点时具有的电势能小于在b点时具有的电势能 D.带电粒子在a点时的加速度小于在b点时的加速度 题型2：电势能大小的计算 【例题2】将带电荷量为6×10－6 C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做了3×10－5 J的功，再从B移到C，静电力做了1.2×10－5 J的功，则： (1)电荷从A移到B，再从B移到C的过程中电势能共改变了多少？ (2)如果规定A点的电势能为零，则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少？ (3)如果规定B点的电势能为零，则该电荷在A点和C点的电势能分别为多少？ 变式1. (多选)质量为m的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动，在小球下落h的过程中(　　) A.小球的重力势能减少了2mgh B.小球的动能减少了2mgh C.静电力做负功2mgh D.小球的电势能增加了3mgh 变式2. 如图所示，在电场强度为E＝1×104 N/C、方向水平向右的匀强电场中，用一根长L＝1 m 的绝缘细杆(质量不计)固定一个质量为m＝0.2 kg、电荷量为q＝5×10－6 C、带正电的小球。细杆可绕轴O在竖直平面内自由转动。现将杆由水平位置A轻轻释放，在小球运动到最低点B的过程中，问(g取10 m/s2)： (1)静电力对小球做功W电为多少？小球电势能如何变化？ (2)小球在最低点的动能EkB为多少？ 变式3.如图，一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°。不计重力。求A、B两点间的电势差。 题型3： 电势能与电势的关系 【例题3】(多选)在如图所示的电场中有A、B两点，下列判断正确的是(　　) A.电势φA＞φB，场强EA＞EB B.电势φA＞φB，场强EA＜EB C.将电荷量为q的正电荷从A点移到B点，静电力做正功，电势能减少 D.将电荷量为q的负电荷从A点移到B点，电荷具有的电势能EpA＞EpB 变式1.(多选)如图是某一点电荷形成的电场中的一条电场线，A、B是电场线上的两点，一负电荷q仅在静电力作用下以初速度v0从A向B运动并经过B点，一段时间后q以速度v又一次经过A点，且v与v0的方向相反，则以下说法中正确的是(　　) A.A、B两点的电场强度是EA＜EB B.A、B两点的电势是φA＞φB C.负电荷q在A、B两点的电势能EpA＜EpB D.负电荷q先后经过A点的速度大小v0＝v 变式2.(多选)如图所示，一细圆环上均匀分布着负电荷，x轴垂直于环面且过环心O，下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是(　　) A．O点的电场强度最大，电势最低 B．O点的电场强度为零，电势最低 C．从O点沿x轴正方向，电场强度一直减小，电势升高 D．从O点沿x轴正方向，电场强度先增大后减小，电势升高 二、等势面 1.电场中电势相等的点构成的面叫等势面。 2.等势面的特点： (1) 电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面．电场线与在等势面上移动电荷时，静电力不做功． (2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面． (3)等势面密的地方，电场强度较强；等势面疏的地方，电场强度较弱． (4)任意两个等势面不相交． 3.常见的等势面 (1)点电荷的等势面：点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面． (2)等量异号点电荷的等势面：等量异号点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，中垂线是一等势线． (3)等量同号点电荷的等势面：等量正点电荷连线的中点电势最低，中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．等量负点电荷连线的中点电势最高，中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高，连线上和中垂线上关于中点的对称点等势． (4)匀强电场的等势面：匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面． 说明：等势面密集处电场线也密集．任意两个等势面不会相交． 4.等势面与电场线的关系 (1)已知等势面的情况，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线方向。由电场线的疏密确定电场强度大小。 (2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电势高低。 题型1：等势面 【例题4】(多选)如图所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在x轴上有A、B两点，则(　　) A.A、B两点的场强方向与x轴同向 B.A、B两点的场强方向与x轴反向 C.A点的场强EA大于B点的场强EB D.A点的场强EA小于B点的场强EB 变式1.如图(a)，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则(　　) A.FM<FN，EpM>EpN B.FM>FN，EpM>EpN C.FM<FN，EpM<EpN D.FM>FN，EpM<EpN 变式2.如图所示，真空中一椭圆的两焦点M、N处固定两个等量异种电荷+Q、，O为椭圆中心，ab、cd分别是椭圆长轴和短轴，ef是椭圆上关于O点对称的两个点，下列说法中正确的是(　　) A．电势差 B．a、b两点场强不同， C．e、f两点场强相同 D．将一正电荷由e点沿椭圆移到f点，电势能不变 题型2：电场线、等势面及运动轨迹问题 1.带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法 （1）判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便． （2）判断电场力的方向：仅受电场力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受电场力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断电场力方向． 若已知电场线和轨迹，所受电场力的方向与电场线(或切线)共线； 若已知等势线和轨迹，所受电场力的方向与等势线垂直． （3）判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力方向与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力方向与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加． 【例题5】如图所示，实线表示某电场的电场线，虚线表示一带正电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设A和B点的电势分别为φA和φB，粒子在A、B两点加速度大小分别为aA和aB，速度大小为vA和vB，电势能分别为EpA和EpB，下列判断正确的是(　　) A．vA<vB B．aA<aB C．φA<φB D．EpA>EpB 变式1.如图所示，实线MN是某匀强电场中的一条电场线．一带正电粒子射入电场后，仅在电场力作用下沿虚线ABC运动．下列说法中正确的是(　　) A．粒子在A点的加速度比在C点的加速度大 B．粒子在A点的电势能比在C点的电势能小 C．M、N两点的电势：φM>φN D．电场线的方向水平向右 变式2.如图所示，A、B两点是粒子在匀强电场中运动时经过的两个点，平行直线表示电场线，但方向未知，整个过程中只有电场力做功．已知粒子在A点的动能比B点大，则下列说法中正确的是(　　) A．无论粒子是从A点到B点，还是从B点到A点，电场力均做负功 B．电场线方向从右向左 C．粒子的运动轨迹若为1，则粒子一定带负电 D．无论粒子是带正电还是负电，均不可能沿轨迹2运动 三、电势差 1．电场中两点间电势差的计算公式：UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，UAB＝－UBA. 2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．UAB＞0，表示A点电势比B点电势高． 3.静电力做功与电势差的关系：WAB＝qUAB或UAB＝. 4.电势与电势差的比较 概念 比较内容　　　 电势φ 电势差U 区别 定义 电势能与电荷量的比值φ＝ 电场力做的功与电荷量的比值UAB＝ 决定因素 由电场和在电场中的位置决定，与q、Ep无关 由电场和场内两点位置决定，与q、WAB无关 相对性 与零电势点的选取有关 与零电势点的选取无关 联系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，φA＝UAB 单位 相同，国际单位制中均是伏特(V) 标矢性 都是标量，但均有正负 5.利用公式UAB＝计算电势差的两种方法 (1)各物理量均带正、负号运算，但代表的意义不同。WAB的正、负号表示正、负功；q的正、负号表示电性；UAB的正、负号反映φA、φB的高低。计算时W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 (2)绝对值代入法。WAB、q、UAB均代入绝对值，然后再结合题意判断电势的高低。 6.静电力做功的四种求法 方法 表达式 注意问题 功的定义 W＝Fd＝qEd (1)适用于匀强电场 (2)d表示沿电场线方向的距离 功能关系 WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp (1)既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场 (2)既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况 电势差法 WAB＝qUAB 动能定理 W静电力＋W其他力＝ΔEk 【例题6】一电量为的试探电荷，放在A点时所受电场力大小是。将它从电场中A点移到零电势0点处时，电场力做功，选取无穷远处为零电势点，求： (1)A点处的电场强度E的大小； (2)A点电势φA； (3)电量为的电荷在A点的电势能EpA。 变式1.有一个带电荷量的点电荷，从某电场中的点移到点，电场力做了的负功，从点移到点，电场力对电荷做功，求： (1)间电势差是多少？ (2)若将点电势规定为零，则点的电势是多少？ (3)若将点电势规定为零，电荷在点的电势能为多大？ 变式2.如图所示，在平行金属带电极板MN的电场中将电荷量为4×10－6 C的负点电荷从A点移到M板，静电力做功8×10－4 J，把该点电荷从A点移到N板，克服静电力做功为4×10－4 J，其中M板带正电，N板带负电且接地。求： (1)两极板间的电势差UMN； (2)A点的电势φA； (3)该点电荷在A点的电势能EpA。 【例题7】如图所示，在电场中一电荷量为的电荷仅在静电力作用下从A点移到B点，已知静电力做功为，则关于该过程下列说法中正确的是（　　） A．电荷速度逐渐减小 B．电荷加速度逐渐减小 C．电荷动能增加 D．A、B两点间的电势差 变式1.（多选）如图所示，平行等距的竖直虚线a、b、c、d为某一匀强电场的等势面，一个不计重力的电子垂直经过等势面d时，动能为，飞经等势面c时，电势能为，飞至等势面b时速度恰好为0，已知相邻等势面间的距离都为，则（　　） A．等势面a的电势为 B．匀强电场的场强大小为 C．电子再次飞经等势面d时，动能为 D．电子的运动为匀变速直线运动 变式2.某点电荷形成的电场中某区域的电场线如图所示，A、B是电场中的两点。一个电荷量的点电荷在A点所受电场力，将该点电荷从A点移到B点，电场力做功，求： （1）求A点电场强度？ （2）A、B两点间的电势差UAB； （3）若取A点为零电势位置，求B点电势能。 四、电势差与场强关系 1．公式U＝Ed只适用于匀强电场，其中d为A、B两点沿电场方向的距离． 2．电场中A、B两点的电势差UAB跟电荷移动的路径无关，由电场强度E及A、B两点沿电场方向的距离d决定． 3．公式E＝说明电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势． 4．两个重要推论： 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。 结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示。 题型1:匀强电场中电场强度与电势差的关系 【例题8】 如图所示，边长为1 cm的正三角形ABC处于匀强电场中，电场方向平行于三角形所在平面．将电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV；将电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV.电场强度大小为(　　) A．200 V/m B．300 V/m C．200 V/m D．400 V/m 变式1．如图所示是匀强电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离为2 cm，A点和P点间距离为1.5 cm，则该电场的电场强度E和电势φP分别为(　　) A．500 V/m，－2.5 V B. V/m，－2.5 V C．500 V/m,2.5 V D. V/m,2.5 V 变式2．如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A．200 V/m　　　　　　　 B．200 V/m C．100 V/m D．100 V/m 【例题9】如图所示，在水平方向的匀强电场中，一电场线上有相距6 cm的A、B两点，且UAB＝150 V，求： (1)电场强度的大小和方向； (2)电场中A、C两点相距14 cm，A、C两点连线与电场线方向成37°夹角，则C点与A点的电势差UCA为多少(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)? 变式1．如图所示，A、B、C是一边长的等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面。现将电荷量的正点电荷从A点移到B点，电场力做功，将另一电荷量的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功。求： (1)A、B两点间的电势差； (2)电场强度的大小E和方向。 题型2；非匀强电场中电场强度与电势差的关系 【例题10】如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝20 V，φb＝50 V，则a、b连线的中点c的电势φc应为(　　) A.φc＝35 V B.φc>35 V C.φc<35 V D.无法判断φc的高低 变式1．(多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是(　　) A.M点的电势比P点的电势高 B.将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功 C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差 D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差 变式2． (多选)如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有(　　) A.φA>φB>φC B.EA>EB>EC C.UAB<UBC D.UAB＝UBC 课后作业 1．生活在尼罗河的反天刀鱼，它的器官能在其周围产生电场，电场线分布如图所示，M、N、P为电场中的点，据此可以判断(　　)  A．P点电场强度大于M点 B．P点电势小于N点电势 C．M点电势小于N点电势 D．某带电小颗粒在M点的电势能一定小于在N点的电势能 2．图中虚线、、、d、代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面上的电势为。一电子经过时的动能为，从到d的过程中克服电场力所做的功为。下列说法正确的是(　　) A．平面上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面 C．该电子经过平面d时，其电势能为 D．该电子经过平面时的速率是经过d时的2倍 3．如图是某电场的部分电场线分布图。M、N、Q是以电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN。以下说法正确的是(　　) A．点电势与点电势相等 B．将一正电荷由点移到点，电荷的电势能减少 C．间的电势差等于间的电势差 D．将一正电荷放在点，正电荷所受电场力沿与垂直的方向竖直向上 4．（多选）特高压直流输电是中国在高端制造领域领先世界的一张“名片”，特别适合远距离输电。若某直流高压线掉到地上时，向大地输入电流，并且以高压线与大地接触的位置为圆心，形成一簇如图所示的等差等势线同心圆，、、、是等势线上的四点，当人走在地面上时，如果形成跨步电压就会导致两脚有电势差而发生触电事故，则(　　) A．电势的大小为 B．场强的大小为 C．人从沿着圆弧走到不会发生触电 D．间距离小于2倍间距离 5．（多选）如图所示为某一电场的电场线和等势面。已知，，ab＝bc，b点电势为，b、d在同一等势面上。以表示点电荷q由a点移到c点过程中电场力做功的大小，表示点电荷q由d点移到c点过程中电场力做功的大小，则(  ) A． B． C． D． 6．如图所示，粒子以初速度垂直于电场线方向从A点射入一匀强电场，经时间t到达B点时，速度大小为，粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力。求： (1)A、B两点间的电势差； (2)匀强电场的场强大小。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 电势、电势能和电势差 【学习目标】　 1.知道静电力做功的特点，理解静电力做功与电势能变化的关系 2.理解电势能和电势的概念及其物理意义，知道电势能和电势的相对性。 3.了解电势差，掌握电势差的表达公式，知道电势差与零电势点的选择无关。 4.知道静电力做功与电势差的关系，会进行相关问题的计算。 5.知道等势面的定义，明确电场线一定与等势面垂直。 6.知道匀强电场中电势差与电场强度的关系，掌握表达两者关系的公式。 一、电势能与电势 1.电场力做功的特点 （1）电场力做功：在匀强电场中，电场力做功W＝qExcos α。其中α为静电力与位移方向之间的夹角。 （2）特点：在静电场中，电场力做功只与移动电荷的电荷量以及起点和终点的位置有关，而与路径无关。 2.电势能 （1）电势能是电荷在电场中具备一种能量，为电荷与电场共同所有。 （2）类似重力势能，电势能具有相对性．一般取无穷远处为零势能 （3）电场力做功是电势能变化的量度，用公式表示为WAB＝EpA－EpB，即电场力做正功，电荷的电势能减少，电场力做负功，电荷的电势能增加． （4）电势能大小的比较 判断角度 判断方法 依据静电力做功 无论正、负电荷，电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大 依据电场线方向 正电荷沿着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大 负电荷沿着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小 依据公式Ep＝qφ 设φA>φB，当q>0时，qφA>qφB，即EpA>EpB；当q<0时，qφA<qφB，即EpA<EpB，可总结为正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小 3.电势 (1)定义：φ＝，在计算时应代入各自的正负号． (2)电势的标量性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分，电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低． (3)电势的相对性：零电势点的选取原则：一般选大地或无限远处为零电势，只有选取了零电势点才能确定某点的电势大小． (4)电势是描述电场性质的物理量，决定于电场本身，与试探电荷无关． (5)电势高低的判断方法： ①电场线法：沿着电场线方向电势逐渐降低(此为主要方法)； ②电势能判断法：利用公式φ＝判断，即在正电荷的电势能越大处，电势越高，负电荷电势能越大处，电势越低． ③场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低。 题型1：电场力做功与电势能变化的关系 【例题1】如图所示为某一带正电的点电荷产生的电场中的一条电场线．A、B、C、D为该电场线上的点，相邻两点间距相等，电场线方向由A指向D.一个带正电的粒子从A点由静止释放，运动到B点时的动能为Ek，仅考虑电场力的作用，则(　　) A．从A点到D点，电势先升高后降低 B．粒子一直做匀加速运动 C．粒子在BC段电势能的减少量大于在CD段电势能的减少量 D．粒子运动到D点时动能等于3Ek 答案　C 解析　因为该电场线为一带正电的点电荷产生的，根据电场线的特点可知该正电荷在A点的左侧，沿着电场线方向电势降低，即从A点到D点电势降低，选项A错误；由正点电荷的电场线特点可知，从A到D电场强度越来越小，粒子加速度越来越小，可知粒子做加速度减小的加速运动，选项B错误；由题图可知BC段靠近场源电荷，而电场线密集的地方，电势降低较快，故BC段的电势差大于CD段的电势差，根据电场力做功W＝qU，故BC段电场力做的正功更多，则粒子在BC段电势能的减少量大于在CD段电势能的减少量，选项C正确；若该电场是匀强电场，从A到B，根据动能定理有qU＝Ek，从A到D，根据动能定理有3qU＝EkD，联立得EkD＝3Ek，而该电场是非匀强电场，从A到D距离相等的两点间的电势差越来越小，故粒子运动到D点时动能小于3Ek，选项D错误． 变式1.为了减少污染，工业废气需用静电除尘器除尘，某除尘装置如图所示，其收尘极为金属圆筒，电晕极位于圆筒中心。当两极接上高压电源时，电晕极附近会形成很强的电场使空气电离，含尘气体中的尘埃吸附电子后在电场力的作用下向收尘极运动并沉积，以达到除尘目的。假设尘埃向收尘极运动过程中所带电荷量不变，下列判断正确的是(　　) A.金属圆筒内场强处处为零 B.带电尘埃向收尘极运动过程中电场力做负功 C.带电尘埃向收尘极运动过程中电势能越来越大 D.带电尘埃向收尘极运动过程中受到的电场力越来越小 答案　D 解析　金属圆筒内电场在水平面上的分布类似于负点电荷电场，电场线方向由收尘极指向电晕极，筒内场强不为零，故A错误；尘埃带负电后受电场力作用向收尘极运动，电场力做正功，电势能越来越小，故B、C错误；尘埃带电荷量不变，其离电晕极越远，场强越小，电场力越小，故D正确。 变式2.如图为描述某静电场的电场线，a、b、c是同一条电场线上的三个点，把正点电荷沿电场线由a点移至b点的过程中，关于电场力对电荷所做的功和电荷电势能的变化，下列说法正确的是(　　) A.电场力做正功，电势能增加 B.电场力做正功，电势能减少 C.电场力做负功，电势能增加 D.电场力做负功，电势能减少 答案　B 解析　正电荷沿电场线从a点移至b点的过程中，所受电场力方向与位移方向相同，故电场力做正功，电势能减少，故B正确。 变式3.如图所示，MN是一正点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子(不计重力)从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是(　　) A.带电粒子从a到b的过程中动能逐渐减小 B.正点电荷一定位于M点左侧 C.带电粒子在a点时具有的电势能小于在b点时具有的电势能 D.带电粒子在a点时的加速度小于在b点时的加速度 答案　B 解析　由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，电场力指向轨迹内侧，电场力方向大致向右，对带电粒子做正功，其动能增加，故A错误；带正电的粒子所受电场力向右，电场线由M指向N，说明正点电荷在M点左侧，故B正确；电场力对带电粒子做正功，电势能减小，则带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故C错误；a点离点电荷较近，a点的电场强度大于b点的电场强度，带电粒子在a点所受的电场力大于在b点的电场力，根据牛顿第二定律得知，带电粒子在a点的加速度大于在b点的加速度，故D错误。 题型2：电势能大小的计算 【例题2】将带电荷量为6×10－6 C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做了3×10－5 J的功，再从B移到C，静电力做了1.2×10－5 J的功，则： (1)电荷从A移到B，再从B移到C的过程中电势能共改变了多少？ (2)如果规定A点的电势能为零，则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少？ (3)如果规定B点的电势能为零，则该电荷在A点和C点的电势能分别为多少？ 答案　(1)增加了1.8×10－5 J (2)3×10－5 J　1.8×10－5 J (3)－3×10－5 J　－1.2×10－5 J 解析　(1)WAC＝WAB＋WBC＝(－3×10－5＋1.2×10－5) J＝－1.8×10－5 J 可见电势能增加了1.8×10－5 J。 (2)如果规定A点的电势能为零，由公式得该电荷在B点的电势能为 EpB＝EpA－WAB＝0－WAB＝3×10－5 J。 同理，C点的电势能为 EpC＝EpA－WAC＝0－WAC＝1.8×10－5 J。 (3)如果规定B点的电势能为零，则该电荷在A点的电势能为 EpA′＝EpB′＋WAB＝0＋WAB＝－3×10－5 J C点的电势能为 EpC′＝EpB′－WBC＝0－WBC＝－1.2×10－5 J。 变式1. (多选)质量为m的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动，在小球下落h的过程中(　　) A.小球的重力势能减少了2mgh B.小球的动能减少了2mgh C.静电力做负功2mgh D.小球的电势能增加了3mgh 答案　BD 解析　带电小球受到向上的静电力和向下的重力，据牛顿第二定律F合＝F电－mg＝2mg，得F电＝3mg。在下落过程中静电力做功W电＝－3mgh，重力做功WG＝mgh，总功W＝W电＋WG＝－2mgh，根据做功与势能变化关系可判断：小球重力势能减少了mgh，电势能增加了3mgh；根据动能定理，小球的动能减少了2mgh。综上所述，B、D正确。 变式2. 如图所示，在电场强度为E＝1×104 N/C、方向水平向右的匀强电场中，用一根长L＝1 m 的绝缘细杆(质量不计)固定一个质量为m＝0.2 kg、电荷量为q＝5×10－6 C、带正电的小球。细杆可绕轴O在竖直平面内自由转动。现将杆由水平位置A轻轻释放，在小球运动到最低点B的过程中，问(g取10 m/s2)： (1)静电力对小球做功W电为多少？小球电势能如何变化？ (2)小球在最低点的动能EkB为多少？ 答案　(1)5×10－2 J　电势能减少 (2)2.05 J 解析　(1)静电力做功仅与初、末位置有关 W电＝qEL＝5×10－6×1×104×1 J＝5×10－2 J 电场力做正功，小球电势能减少。 (2)由动能定理得mgL＋W电＝EkB－0 所以EkB＝0.2×10×1 J＋5×10－2 J＝2.05 J。 变式3.如图，一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°。不计重力。求A、B两点间的电势差。 解析：设带电粒子在B点的速度大小为vB。粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即 vB sin 30°＝v0sin 60°① 由此得 vB＝v0② 设A、B两点间的电势差为UAB，由动能定理有 qUAB＝m(vB2－v02)③ 联立②③式得 UAB＝。④ 答案： 题型3： 电势能与电势的关系 【例题3】 (多选)在如图所示的电场中有A、B两点，下列判断正确的是(　　) A.电势φA＞φB，场强EA＞EB B.电势φA＞φB，场强EA＜EB C.将电荷量为q的正电荷从A点移到B点，静电力做正功，电势能减少 D.将电荷量为q的负电荷从A点移到B点，电荷具有的电势能EpA＞EpB 答案　BC 解析　沿着电场线方向电势逐渐降低，则φA＞φB，电场线密处电场强度大，则EA＜EB，选项A错误，B正确；正电荷从A点移到B点，静电力做正功，电势能减少，选项C正确；负电荷从A点移到B点，静电力做负功，电势能增大，故EpA＜EpB，选项D错误. 变式1.(多选)如图是某一点电荷形成的电场中的一条电场线，A、B是电场线上的两点，一负电荷q仅在静电力作用下以初速度v0从A向B运动并经过B点，一段时间后q以速度v又一次经过A点，且v与v0的方向相反，则以下说法中正确的是(　　) A.A、B两点的电场强度是EA＜EB B.A、B两点的电势是φA＞φB C.负电荷q在A、B两点的电势能EpA＜EpB D.负电荷q先后经过A点的速度大小v0＝v 答案　BCD 解析　由分析可知，负电荷从A至B做减速运动，则负电荷所受静电力的方向为B→A，电场E的方向应为A→B，所以φA＞φB，EpA＜EpB，选项B、C正确；由于只有一条电场线，不知道电场的具体分布，所以无法判断A、B两点电场强度的大小，选项A错误；负电荷再回到A点时，其电势能不变，动能也不变，所以v与v0大小相等，选项D正确. 变式2.(多选)如图所示，一细圆环上均匀分布着负电荷，x轴垂直于环面且过环心O，下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是(　　) A．O点的电场强度最大，电势最低 B．O点的电场强度为零，电势最低 C．从O点沿x轴正方向，电场强度一直减小，电势升高 D．从O点沿x轴正方向，电场强度先增大后减小，电势升高 答案　BD 解析　将圆环等分成若干微小段，每一小段和与它关于O点对称的一小段在O点产生的电场的电场强度总是大小相等、方向相反，矢量和为零，即圆环最终在O点产生电场强度的总矢量和为零；因为圆环带负电，因此每一小段和与它关于O点对称的一小段在O点的左右两侧，产生大小相等、方向分别指向各小段与x轴成相等角度的电场，电场强度的矢量和沿着x轴指向O点，各段叠加后总矢量和仍然沿着x轴，指向O点，根据沿着电场线方向电势逐渐降低的规律可知，O点的电势最低，故A错误，B正确；当从O点沿x轴正方向，趋于无穷远时，电场强度也为零，因此从O点沿x轴正方向，电场强度先变大，后变小，电势升高，故C错误，D正确． 二、等势面 1.电场中电势相等的点构成的面叫等势面。 2.等势面的特点： (1) 电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面．电场线与在等势面上移动电荷时，静电力不做功． (2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面． (3)等势面密的地方，电场强度较强；等势面疏的地方，电场强度较弱． (4)任意两个等势面不相交． 3.常见的等势面 (1)点电荷的等势面：点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面． (2)等量异号点电荷的等势面：等量异号点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，中垂线是一等势线． (3)等量同号点电荷的等势面：等量正点电荷连线的中点电势最低，中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．等量负点电荷连线的中点电势最高，中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高，连线上和中垂线上关于中点的对称点等势． (4)匀强电场的等势面：匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面． 说明：等势面密集处电场线也密集．任意两个等势面不会相交． 4.等势面与电场线的关系 (1)已知等势面的情况，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线方向。由电场线的疏密确定电场强度大小。 (2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电势高低。 题型1：等势面 【例题4】(多选)如图所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在x轴上有A、B两点，则(　　) A.A、B两点的场强方向与x轴同向 B.A、B两点的场强方向与x轴反向 C.A点的场强EA大于B点的场强EB D.A点的场强EA小于B点的场强EB 答案　AD 解析　由电场线与等势面的关系可知，电场线一定与等势面垂直，由电势较高的等势面指向电势较低的等势面，作出相对应的电场线的分布，如图所示。则可知A、B两点处的场强方向与x轴同向。由电场线的疏密可知，A点处的场强EA小于B点处的场强EB。故A、D正确。 变式1.如图(a)，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则(　　) A.FM<FN，EpM>EpN B.FM>FN，EpM>EpN C.FM<FN，EpM<EpN D.FM>FN，EpM<EpN 答案　A 解析　等势面的疏密反映电场强度的大小，故N点的电场强度大于M点的电场强度，同一正的试探电荷在N点受到的电场力大，即FM<FN；在负点电荷形成的电场中，离负点电荷越近，电势越低，正试探电荷的电势能越小，故φM>φN，EpM>EpN，A正确。 变式2.(2022·浙江宁波·高一期末)如图所示，真空中一椭圆的两焦点M、N处固定两个等量异种电荷+Q、，O为椭圆中心，ab、cd分别是椭圆长轴和短轴，ef是椭圆上关于O点对称的两个点，下列说法中正确的是(　　) A．电势差 B．a、b两点场强不同， C．e、f两点场强相同 D．将一正电荷由e点沿椭圆移到f点，电势能不变 【答案】C 【解析】A．根据题中所给条件，可以判断出 二者电势差不等，但二者电势差的绝对值相等，A错误； BC．a、b两点的场强大小和方向均相同，e、f两点场强大小相同，与ab的角度关于O点对称，方向均指向斜上方，故C正确，B错误； D．将一正电荷由e点沿椭圆移到f点，电场力做正功，电势能减小，故D错误。 故选C。 题型2：电场线、等势面及运动轨迹问题 1.带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法 （1）判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便． （2）判断电场力的方向：仅受电场力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受电场力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断电场力方向． 若已知电场线和轨迹，所受电场力的方向与电场线(或切线)共线； 若已知等势线和轨迹，所受电场力的方向与等势线垂直． （3）判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力方向与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力方向与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加． 【例题5】如图所示，实线表示某电场的电场线，虚线表示一带正电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设A和B点的电势分别为φA和φB，粒子在A、B两点加速度大小分别为aA和aB，速度大小为vA和vB，电势能分别为EpA和EpB，下列判断正确的是(　　) A．vA<vB B．aA<aB C．φA<φB D．EpA>EpB 答案　C 解析　带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，粒子从A到B过程，电场力方向与速度方向成钝角，电场力做负功，动能减小，速度减小，电势能增加，故带电粒子通过A点时的速度比通过B点时的速度大，即vA>vB，EpA<EpB，选项A、D错误；根据电场线疏密可知，EA>EB，根据F＝Eq和牛顿第二定律可知，aA>aB，选项B错误；根据沿着电场线方向，电势逐渐降低，故φA<φB，选项C正确． 变式1.如图所示，实线MN是某匀强电场中的一条电场线．一带正电粒子射入电场后，仅在电场力作用下沿虚线ABC运动．下列说法中正确的是(　　) A．粒子在A点的加速度比在C点的加速度大 B．粒子在A点的电势能比在C点的电势能小 C．M、N两点的电势：φM>φN D．电场线的方向水平向右 答案　B 解析　由于电场为匀强电场，可得到粒子在A点的加速度与C点的加速度大小相等，故A错误；由题图可知，粒子在B点所受电场力方向向左，又因为粒子带正电，故电场线方向向左，由沿着电场线方向电势降低，则φN>φM，故带正电粒子从A点到C点电场力做负功，电势能增加，所以粒子在A点的电势能比在C点的电势能小，故B正确，C、D错误． 变式2.如图所示，A、B两点是粒子在匀强电场中运动时经过的两个点，平行直线表示电场线，但方向未知，整个过程中只有电场力做功．已知粒子在A点的动能比B点大，则下列说法中正确的是(　　) A．无论粒子是从A点到B点，还是从B点到A点，电场力均做负功 B．电场线方向从右向左 C．粒子的运动轨迹若为1，则粒子一定带负电 D．无论粒子是带正电还是负电，均不可能沿轨迹2运动 答案　D 解析　由于粒子在A点的动能比B点大，结合电场线与轨迹形状(质点做曲线运动时合力必指向凹侧)进行分析，若粒子沿轨迹1运动时，则在任意位置时粒子所受到的电场力一定水平向左，若粒子从A点到B点，则电场力做负功，从B点到A点，则电场力做正功，由此可知，A错误；此时若粒子带正电，电场方向一定向左，且由A点向B点运动，若粒子带负电，电场方向一定向右，且由B点向A点运动，均满足粒子在A点的动能比B点大．若粒子沿轨迹2运动，则在任意位置时粒子所受到的电场力一定水平向右，同理可判断此情况下粒子在A点的动能一定比B点的小，不符合题意，即符合题意的粒子一定沿轨迹1运动，由此可知B、C错误，D正确． 三、电势差 1．电场中两点间电势差的计算公式：UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，UAB＝－UBA. 2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．UAB＞0，表示A点电势比B点电势高． 3.静电力做功与电势差的关系：WAB＝qUAB或UAB＝. 4.电势与电势差的比较 概念 比较内容　　　 电势φ 电势差U 区别 定义 电势能与电荷量的比值φ＝ 电场力做的功与电荷量的比值UAB＝ 决定因素 由电场和在电场中的位置决定，与q、Ep无关 由电场和场内两点位置决定，与q、WAB无关 相对性 与零电势点的选取有关 与零电势点的选取无关 联系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，φA＝UAB 单位 相同，国际单位制中均是伏特(V) 标矢性 都是标量，但均有正负 5.利用公式UAB＝计算电势差的两种方法 (1)各物理量均带正、负号运算，但代表的意义不同。WAB的正、负号表示正、负功；q的正、负号表示电性；UAB的正、负号反映φA、φB的高低。计算时W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 (2)绝对值代入法。WAB、q、UAB均代入绝对值，然后再结合题意判断电势的高低。 6.静电力做功的四种求法 方法 表达式 注意问题 功的定义 W＝Fd＝qEd (1)适用于匀强电场 (2)d表示沿电场线方向的距离 功能关系 WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp (1)既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场 (2)既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况 电势差法 WAB＝qUAB 动能定理 W静电力＋W其他力＝ΔEk 【例题6】一电量为的试探电荷，放在A点时所受电场力大小是。将它从电场中A点移到零电势0点处时，电场力做功，选取无穷远处为零电势点，求： (1)A点处的电场强度E的大小； (2)A点电势φA； (3)电量为的电荷在A点的电势能EpA。 【答案】(1)2000N/C (2)200V (3)-2.0×10-6J 【详解】（1）根据电场强度的定义式可得 （2）根据题意，电场力做功表达式 解得 （3）根据电势能的计算公式可得 变式1.有一个带电荷量的点电荷，从某电场中的点移到点，电场力做了的负功，从点移到点，电场力对电荷做功，求： (1)间电势差是多少？ (2)若将点电势规定为零，则点的电势是多少？ (3)若将点电势规定为零，电荷在点的电势能为多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电荷从A点移到B点电场力做负功，则 （2）若将B点电势定为零，即，由 可得 （3）若将A点电势定为零，则，由 可得 变式2.如图所示，在平行金属带电极板MN的电场中将电荷量为4×10－6 C的负点电荷从A点移到M板，静电力做功8×10－4 J，把该点电荷从A点移到N板，克服静电力做功为4×10－4 J，其中M板带正电，N板带负电且接地。求： (1)两极板间的电势差UMN； (2)A点的电势φA； (3)该点电荷在A点的电势能EpA。 答案　(1)300 V　(2)100 V　(3)－4×10－4 J 解析　(1)M、N间的电势差UMN＝φM－φN＝φM－φA＋φA－φN＝UMA＋UAN＝＋＝200 V＋100 V＝300 V。 (2)A点的电势 φA＝φA－φN＝UAN＝＝100 V。 (3)该点电荷在A点的电势能 EpA＝qφA＝－4×10－4 J。 【例题7】如图所示，在电场中一电荷量为的电荷仅在静电力作用下从A点移到B点，已知静电力做功为，则关于该过程下列说法中正确的是（　　）    A．电荷速度逐渐减小 B．电荷加速度逐渐减小 C．电荷动能增加 D．A、B两点间的电势差 【答案】C 【详解】AC．负电荷仅在静电力作用下从A点移到B点，静电力做正功为，电荷电势能减少，动能增加，电荷速度逐渐增大，A错误，C正确； D．A、B两点间的电势差为 D错误； B．由牛顿第二定律可得 从A到B，电场线变密，场强变大，故电荷加速度逐渐增大，B错误。 故选C。 变式1.（多选）如图所示，平行等距的竖直虚线a、b、c、d为某一匀强电场的等势面，一个不计重力的电子垂直经过等势面d时，动能为，飞经等势面c时，电势能为，飞至等势面b时速度恰好为0，已知相邻等势面间的距离都为，则（　　） A．等势面a的电势为 B．匀强电场的场强大小为 C．电子再次飞经等势面d时，动能为 D．电子的运动为匀变速直线运动 【答案】BD 【详解】A．由得出等势面c电势为10V，电子从等势面d到等势面b，动能由20eV减小到0，说明越向右电势越低，相邻等势面间电势差为，等势面a的电势为，故A错误； B．由得匀强电场的场强大小为，故B正确； C．电子再次飞经d等势面时，电场力做功为0，动能为20eV，故C错误； D．电子沿电场线运动，加速度不变，电子的运动为匀变速直线运动，故D正确。 故选BD。 变式2.某点电荷形成的电场中某区域的电场线如图所示，A、B是电场中的两点。一个电荷量的点电荷在A点所受电场力，将该点电荷从A点移到B点，电场力做功，求： （1）求A点电场强度？ （2）A、B两点间的电势差UAB； （3）若取A点为零电势位置，求B点电势能。 【答案】（1），方向由B指向A；（2）-20V；（3） 【详解】（1）根据电场强度的定义式可知，A点电场强度大小为 解得 由于该点电荷从A点移到B点，电场力做正功，表明该负电荷所受电场力方向向右，电场强度方向向左，即电场强度方向由B指向A。 （2）A、B两点间的电势差UAB , 解得 （3）若取A点为零电势位置，则有 结合上述解得 该负点电荷在B点电势能 解得 四、电势差与场强关系 1．公式U＝Ed只适用于匀强电场，其中d为A、B两点沿电场方向的距离． 2．电场中A、B两点的电势差UAB跟电荷移动的路径无关，由电场强度E及A、B两点沿电场方向的距离d决定． 3．公式说明电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势． 4．两个重要推论： 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。 结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示。 题型1:匀强电场中电场强度与电势差的关系 【例题8】 如图所示，边长为1 cm的正三角形ABC处于匀强电场中，电场方向平行于三角形所在平面．将电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV；将电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV.电场强度大小为(　　) A．200 V/m B．300 V/m C．200 V/m D．400 V/m 答案　D 解析　电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV，则UAB＝＝＝－4 V；电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV，UAC＝＝＝－2 V；设AB的中点为D，则C、D两点电势相等，CD为等势线，电场方向沿BA方向，则E＝＝ V/m＝400 V/m，选项D正确． 变式1．如图所示是匀强电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离为2 cm，A点和P点间距离为1.5 cm，则该电场的电场强度E和电势φP分别为(　　) A．500 V/m，－2.5 V B. V/m，－2.5 V C．500 V/m,2.5 V D. V/m,2.5 V 答案　B 解析　根据E＝得E＝＝ V/m＝ V/m.UAB＝－UBA＝－10 V，＝＝，得UAP＝－7.5 V，φP＝φA－UAP＝－10 V－(－7.5 V)＝－2.5 V，故B正确． 变式2．如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A．200 V/m　　　　　　　 B．200 V/m C．100 V/m D．100 V/m 解析：选A　设OA中点为C，由＝可得C点的电势φC＝3 V，φC＝φB，即B、C在同一等势面上，如图所示， 由电场线与等势面的关系和几何关系知：d＝1.5 cm。则E＝＝ V/m＝200 V/m，A正确。 【例题9】如图所示，在水平方向的匀强电场中，一电场线上有相距6 cm的A、B两点，且UAB＝150 V，求： (1)电场强度的大小和方向； (2)电场中A、C两点相距14 cm，A、C两点连线与电场线方向成37°夹角，则C点与A点的电势差UCA为多少(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)? 答案　(1)2.5×103 V/m　方向水平向右 (2)－280 V 解析　(1)电场强度的大小E＝＝ V/m＝2.5×103 V/m，方向水平向右。 (2)C点与A点的电势差 UCA＝－EdCAcos 37°＝－280 V。 变式1．如图所示，A、B、C是一边长的等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面。现将电荷量的正点电荷从A点移到B点，电场力做功，将另一电荷量的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功。求： (1)A、B两点间的电势差； (2)电场强度的大小E和方向。 【答案】(1)；(2)，方向为垂直于BC指向右下方 【解析】 (1)正点电荷从A点移到B点，由电场力做功与电势差的关系可得 (2)负点电荷从A点移到C点，设A、C两点间的电势差为，同理有 则B、C两点电势相等，则电场线方向为垂直于BC指向右下方，电场强度的大小为 解得 题型2；非匀强电场中电场强度与电势差的关系 【例题10】如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝20 V，φb＝50 V，则a、b连线的中点c的电势φc应为(　　) A.φc＝35 V B.φc>35 V C.φc<35 V D.无法判断φc的高低 答案　B 解析　由图看出，ac段电场线比bc段电场线密，所以ac段场强较大，根据公式U＝Ed可知，c、a间电势差Uca大于b、c间电势差Ubc，即φc－φa>φb－φc，得到φc>＝35 V，B正确。 变式1．(多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是(　　) A.M点的电势比P点的电势高 B.将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功 C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差 D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差 答案　AD 解析　根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确；将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误；根据U＝Ed进行定性分析可知UMN<UOM，C错误，D正确。 变式2． (多选)如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有(　　) A.φA>φB>φC B.EA>EB>EC C.UAB<UBC D.UAB＝UBC 答案　AC 解析　沿电场线方向，电势越来越低，所以A点电势最高，C点电势最低，A正确；电场线越密集的地方电场强度越强，由图可知，C点电场强度最强，A点电场强度最弱，B错误；由于BC间的电场强度大于AB间的电场强度，由U＝Ed可知，UAB<UBC，C正确，D错误。 课后作业 1．(2022春·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末)生活在尼罗河的反天刀鱼，它的器官能在其周围产生电场，电场线分布如图所示，M、N、P为电场中的点，据此可以判断(　　)    A．P点电场强度大于M点 B．P点电势小于N点电势 C．M点电势小于N点电势 D．某带电小颗粒在M点的电势能一定小于在N点的电势能 【答案】C 【详解】A．电场线的疏密反应场强大小，可知P点电场强度小于M点，选项A错误； BC．沿电场线电势逐渐降低，可知 P点电势大于N点电势，M点电势小于N点电势，选项B错误，C正确； D．某带电小颗粒的电性不确定，可知带电小颗粒在M点的电势能与在N点的电势能大小无法确定，选项D错误。 故选C。 2．(2023春·江西抚州·高二临川一中校联考开学考试)图中虚线、、、d、代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面上的电势为。一电子经过时的动能为，从到d的过程中克服电场力所做的功为。下列说法正确的是(　　) A．平面上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面 C．该电子经过平面d时，其电势能为 D．该电子经过平面时的速率是经过d时的2倍 【答案】B 【详解】A．虚线、、、d、代表匀强电场内间距相等的一组等势面，电子经过时的动能为，从到d的过程中克服电场力所做的功为，动能减小6eV，电势能增加量了6eV，因此、、、d、相邻两个等势面间的电势差为2V，平面上的电势为，由于电势能增加，等势面电势有a到f是降低的，因此平面d上电势为0，故A错误； B．由上述分析可知，当电子垂直等势面由a向f方向运动，则电子到达平面f的动能为2eV，由于题目没有说明电子如何运动，因此也可能电子在匀强电场中做类斜抛运动，则可能不会到达平面f，故B正确； CD．在平面上的电势为，则电子的电势能为，动能为8eV，电势能和动能之和为4eV，则当电子经过平面d时，动能为4eV，其电势能为0，电子在经过平面时的动能是平面d时的2倍，则该电子经过平面时的速率是经过d时的倍，故CD错误。 故选B。 3．(2023春·浙江·高二校联考阶段练习)如图是某电场的部分电场线分布图。M、N、Q是以电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN。以下说法正确的是(　　)    A．点电势与点电势相等 B．将一正电荷由点移到点，电荷的电势能减少 C．间的电势差等于间的电势差 D．将一正电荷放在点，正电荷所受电场力沿与垂直的方向竖直向上 【答案】B 【详解】A．根据电场线与等势线垂直特点，在MN上找到Q点的等势点，应在O点上方，根据沿电场线电势降低可知，O点的电势比Q点的电势高，故A错误； B．根据沿电场线电势降低可知，Q点的电势比M点的电势低，正电荷在电势高的地方电势能大，在电势低的地方电势能小，则电荷在Q点的电势能比在M点的电势能小，故从M到Q电荷电势能减少，故B正确； C．根据电场线密的地方等差等势线也密，MO与ON长度相同，则MO间等差等势线密，则MO电势差变化比ON变化的多，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C错误； D．Q点的电场强度方向为该点电场线切线方向(斜向右上方)，则正电荷在Q点所受电场力方向斜向右上方，故D错误。 故选B。 4．（多选）(2023春·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考阶段练习)特高压直流输电是中国在高端制造领域领先世界的一张“名片”，特别适合远距离输电。若某直流高压线掉到地上时，向大地输入电流，并且以高压线与大地接触的位置为圆心，形成一簇如图所示的等差等势线同心圆，、、、是等势线上的四点，当人走在地面上时，如果形成跨步电压就会导致两脚有电势差而发生触电事故，则(　　)    A．电势的大小为 B．场强的大小为 C．人从沿着圆弧走到不会发生触电 D．间距离小于2倍间距离 【答案】BCD 【详解】A．直流高压线掉到地上时，向大地输入电流，并且以高压线与大地接触的位置为圆心，形成一簇等差等势线同心圆，可知圆心处的电势最高，向外越来越低，电势的大小关系为 A错误；     B．等差等势线越密的地方，电场线也越密，由电场线的疏密表示电场强度的大小，可知场强的大小为 B正确； C．B和D在同一条等势线上，人从沿着圆弧走到不会发生触电，C正确； D．AB的平均场强大于BC的平均场强，AB的电势差等于BC电势差的2倍，由可以定性确定出AB间的距离小于2倍间距离，D正确。 故选BCD。 5．（多选）(2021秋·陕西西安·高二校考阶段练习)如图所示为某一电场的电场线和等势面。已知，，ab＝bc，b点电势为，b、d在同一等势面上。以表示点电荷q由a点移到c点过程中电场力做功的大小，表示点电荷q由d点移到c点过程中电场力做功的大小，则(  ) A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A B．由图看出，ab间电场线比bc间电场线密，而ab=bc，根据U=Ed定性分析可得ab间的电势差大于bc间电势差，即U＞U，又 ， 联立得 则得 即，且b、d在同一等势面上，有，故A错误，B正确； CD．由上分析知：U＞U，则知U＞2U，而d与b电势相等，则U=U，可得：U＞2U，根据电场力做功公式W=qU得知 故C错误，D正确。 故选BD。 6．(2020秋·广东江门·高二校考期中)如图所示，粒子以初速度垂直于电场线方向从A点射入一匀强电场，经时间t到达B点时，速度大小为，粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力。求： (1)A、B两点间的电势差； (2)匀强电场的场强大小。 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)粒子从A到B过程有 解得 (2)粒子在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，则有 ， 在B点有 根据牛顿第二定律有 解得 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $