精品解析：陕西安康市汉阴县平梁镇高粱九年制学校2025-2026学年度第一学期素养诊断（一）九年级数学

人教版 2025-2026学年度第一学期素养诊断（一） 九年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 令方程的两个因式分别为零即可求解． 【详解】∵ ， ∴ 或 ， 即 或 ， ∴ 方程的根为 ， ． 故选：C． 2. 如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入原方程，求解关于的一元一次方程. 【详解】解：把代入，得， 整理得，解得. 3. 如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ） A. ② B. ③ C. ④ D. ⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法的步骤，逐步进行判断即可． 【详解】解：① ② ∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误； 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的解题步骤是解题的关键． 4. 已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 5. 关于的一元二次方程能用公式法求解的前提是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，在应用公式法解一元二次方程的过程中，前提条件是根的判别式；若，则一元二次方程无实数根．若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于且二次项系数不为，由此即可求解． 【详解】解：一元二次方程能用公式法求解， ，即． 故选：D． 6. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出的小分支的个数为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 【答案】B 【解析】 【分析】设每个枝干长出的小分支个数为，根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设每个枝干长出的小分支个数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； 故每个枝干长出的小分支的个数为6个. 7. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键． 8. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 10. 若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到满足的等式，通过整体变形计算所求代数式的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， ∴整理得 ， 将等式两边同时乘以，得 ． 11. 若定义，那么满足的x值为______． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：或3． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有实数根需满足判别式非负，由此建立条件不等式组求解即可． 【详解】解：方程 是一元二次方程， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 故 的取值范围是 且 ． 13. 若一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三边的长度可以是______．（写出一个即可） 【答案】（填大于且小于的实数均正确） 【解析】 【分析】先解给定的一元二次方程得到三角形两边长，再利用三角形三边关系得到第三边的取值范围，写出范围内任意一个数即可． 【详解】解：整理原方程，得， 移项得， 提取公因式得， 解得：，， 即三角形的两边长为和， 设第三边长为， 由三角形三边关系可得，即，在此范围内任取一个数即可，例如． 14. 乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为，则挤奶棚的边长为_____． 【答案】60 【解析】 【分析】设挤奶棚边长为米，根据正方形空地边长表示出仓库边长，再依据“挤奶棚面积 + 仓库面积 + 养殖区面积 = 正方形空地面积”这一关系列出方程，求解方程后结合挤奶棚与仓库面积大小关系确定挤奶棚边长．本题主要考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，熟练掌握正方形面积公式以及根据面积关系列方程求解是解题的关键，涉及知识点有正方形面积计算、一元二次方程的建立与求解 ． 【详解】解：设挤奶棚的边长为，则仓库的边长为． 挤奶棚和仓库均为正方形， ∴可列方程为． 整理，得， 解得． 挤奶棚的面积大于仓库的面积， 挤奶棚的边长为． 三、解答题（共8小题，计58分．解答应写出过程） 15. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：对于方程， ∵，，， ∴， ∴， 解得：，． 16. 劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大劳动教育投入，建设校园农场．该农场一种作物的产量在两年内从200千克增加到242千克，若平均每年的增产率相同，求该作物平均每年的增产率． 【答案】该作物平均每年的增产率为10%． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率的公式列出方程，再求出解即可． 【详解】解：设该作物平均每年的增产率为，根据题意，得 ， 解得（不合题意，舍去）． 答：该作物平均每年的增产率为． 17. 已知关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 【答案】证明：对于一元二次方程， ∵， ∴该方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【详解】略 18. 若、是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】或 【解析】 【分析】首先判断出m无论取何值，原方程均有两个不相等的实数根，然后求出，，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴m无论取何值，原方程均有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或． 19. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 【答案】（1）是“伴根方程” （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义判断； （2）①首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义求解； ②首先由得到，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，， ∵， ∴方程是“伴根方程”； 【小问2详解】 解：①∵， ∴或， ∴，， ∵方程（m是常数）是“伴根方程”， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴关于t的方程为， ∴， ∴． 20. 某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． （1）根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； （2）乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】（1） 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； （2）10． 【解析】 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 21. 某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米 （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含的代数式表示） （2）当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）米 （2）1米 【解析】 【分析】（1）用木板总长度加2米减去与院墙垂直的两边长即可； （2）先求出院墙平行的边长，再根据空白面积为54平方米列出方程，求解后进行选择即可． 【小问1详解】 由题意得： 即车棚与墙平行的一面长米； 【小问2详解】 当时， 设小路的宽为x米，根据题意得： ， 整理得， 解得：，（舍去）， 答：小路的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决第2问的关键． 22. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）运动开始后，当为何值时，的长度等于？ （2）连接，当为何值时，的面积等于？ 【答案】（1）2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用等知识． （1）根据题意得到，根据勾股定理列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解； （2）由题意得，列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 在中，根据勾股定理得， 解得（舍去），． 答：当为2时，的长度等于； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵的面积等于， ∴， 解得（不合题意，舍去）． 答：当为1时，的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版 2025-2026学年度第一学期素养诊断（一） 九年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 2. 如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ） A. ② B. ③ C. ④ D. ⑤ 4. 已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 5. 关于的一元二次方程能用公式法求解的前提是（） A. B. C. D. 6. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出的小分支的个数为（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 7. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 10. 若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 11. 若定义，那么满足的x值为______． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 13. 若一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三边的长度可以是______．（写出一个即可） 14. 乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为，则挤奶棚的边长为_____． 三、解答题（共8小题，计58分．解答应写出过程） 15. 用公式法解方程：． 16. 劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大劳动教育投入，建设校园农场．该农场一种作物的产量在两年内从200千克增加到242千克，若平均每年的增产率相同，求该作物平均每年的增产率． 17. 已知关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 18. 若、是方程的两个实数根，且，求m的值． 19. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 20. 某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． （1）根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； （2）乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 21. 某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米 （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含的代数式表示） （2）当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 22. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）运动开始后，当为何值时，的长度等于？ （2）连接，当为何值时，的面积等于？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $