精品解析：陕西省安康市汉阴县涧池初级中学2024-2025学年九年级上学期月考三数学试题

初2025届阶段性测试（三） 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题<共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（ ） A. 至少有一个内角是直角 B. 没有一个内角是直角 C. 至多有—个内角是直角 D. 至少有两个内角是直角 4. 如图，在中，，，点是内心，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是—何以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域（若指针恰好指在分隔线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为( ) A. ﹣6 B. ﹣9 C. 0 D. 9 7. 如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. B. C. D. 6 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，抛物线经过，两点，若，则矩形的的周长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. “掷两枚质地均匀的骰子，点数的和为1”是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） 10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是 ___________． 11. 如图，在中，，，，以点N为圆心，长为半径画弧，交斜边于点B．则弧的长为____． 12. 在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为______． 13. 如图，在扇形中，平分交于点C，点D为半径上一动点，连接．若，，则阴影部分图形周长的最小值为______．（结果保留） 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 已知函数是反比例函数，求的值． 15. 在一个不透明的箱子中装有个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外全一样，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到白色乒乓球，试估计箱子中黄色乒乓球的个数． 16. 已知与成反比例函数关系，且当时，．求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，的值． 17. 如图，是半圆O的直径，是半圆O的弦，利用尺规作图法在上求作一点M，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度． 19. 2022年12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．近年来中国完成了多项太空探索任务，无一不反映着中国在航天领域发展迅速．为了普及航天科学的相关知识，某中学在全校范围内开展了“空天逐梦，青春飞扬”知识竞赛活动，李希和王阳两名同学在本次知识竞赛活动中拿到了满分．为了激励更多的同学们了解航天知识，校团委打算邀请这两名同学分别从空间站、航天员、卫星、运载火箭（依次用K，H，W，Y表示）四个方面中任选一个整理自己对其所了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及． （1）王阳同学选择“航天员”的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法，求李希和王阳两名同学至少有一名选中“卫星”的概率． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将绕点C逆时针旋转得到（、分别与A、B对应）． （1）请你在图中画出； （2）求在旋转过程中，线段所扫过的图形面积．（结果保留） 21. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，．求的长．（结果保留）     22. 如图，是一块长为，宽为的矩形铁皮，按照如图所示方式剪去两个长方形和两个正方形，沿着虚线部分折起，就能制作一个有盖方盒，若该方盒的底面面积为，则剪去正方形的边长为多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． （1）求反比例函数的表达式及点、的坐标； （2）点P在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的倍，求点的坐标． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求长． 25. 某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆（大小忽略不计），不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？ 26. 【问题提出】 （1）如图1，四边形内接于，，，连接，则的度数为______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，连接，将绕点顺时针旋转到的位置，若，求四边形的面积； 【问题解决】 （3）如图3，若是一个半径为的圆形荷花池，和是荷花池上的两座长度相等的小桥，且，现要在荷花池上再修建三座小桥、和，为使游客更好地欣赏荷花，要求这三座小桥的总长度最大，请你求出此时这三座小桥的总长度（即的最大值）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2025届阶段性测试（三） 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题<共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵的半径为．点P在内， ∴， ∴的长可以是． 故选：D． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此解答即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（ ） A. 至少有一个内角是直角 B. 没有一个内角是直角 C. 至多有—个内角是直角 D. 至少有两个内角是直角 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”． 【详解】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确， ∴应假设：至少有两个内角是直角． 故选：D． 4. 如图，在中，，，点是内心，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心的定义、三角形内角和定理，由点是内心，求得，，再根据可得结论．解题的关键是掌握：三角形三个角的角平分线交于一点，该交点叫做三角形的内心． 【详解】解：∵点是的内心， ∴平分，平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 故选：B． 5. 如图是—何以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域（若指针恰好指在分隔线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率为 故选：A． 6. 已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为( ) A. ﹣6 B. ﹣9 C. 0 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】解:∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点， ∴x1•y1=x2•y2=3． ∵直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴x1=﹣x2，y1=﹣y2 ∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6． 故选A． 7. 如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线为10，轮子的吃水深度为3，则该桨轮船的轮子半径为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理求的长，设该桨轮船的轮子半径为，利用勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：由垂径定理，得， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中，，， 由，得 ， 解得， ∴该桨轮船的轮子半径为， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，抛物线经过，两点，若，则矩形的的周长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和二次函数的图像与性质．首先根据抛物线与轴交点的横坐标为求出交点的纵坐标，再根据矩形的长与宽的关系求出点的坐标，把点的坐标代入抛物线求出的值，即可求出矩形的长与宽，从而可求矩形的周长． 【详解】解：把代入， 可得：， 点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 把点的坐标是， 点的坐标是， 代入， 可得：， 整理得：， 提公因式可得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不成立， 故应舍去， 当时，，， 矩形的周长为． 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. “掷两枚质地均匀的骰子，点数的和为1”是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） 【答案】不可能 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可． 【详解】“掷两枚质地均匀的骰子，点数的和为1”是不可能事件， 故答案为：不可能． 10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是 ___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长为6． 【详解】解：连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为6， 故答案为：6． 11. 如图，在中，，，，以点N为圆心，长为半径画弧，交斜边于点B．则弧的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求弧长．根据直角三角形的性质，可得，再由弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：由作法得：， ∵，，， ∴， ∴弧的长为． 故答案为： 12. 在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性可得，从而可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点， ∴， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，勾股定理的应用，坐标与图形，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键． 13. 如图，在扇形中，平分交于点C，点D为半径上一动点，连接．若，，则阴影部分图形周长的最小值为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，求弧长，等边三角形的判定和性质，在上取，连接，，设与交于点F，连接，证明点C与点E关于对称，得出，得出，求出，得出最小时，即最小，此时阴影部分周长最小，根据两点之间线段最短，得出当B、D、E三点共线时，最小，即阴影部分周长最小，再证明为等边三角形，求出最小值即可． 【详解】解：如图，在上取，连接，，设与交于点F，连接， ∵平分交于点C， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴点C与点E关于对称， ∴， ∴． ∵， ∴当最小时，阴影部分周长最小． ∵， ∴当最小时，最小． ∴当三点共线时，最小，即最小值为长． ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴阴影部分图形周长的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 已知函数是反比例函数，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点，指数特点是解题的关键． 15. 在一个不透明的箱子中装有个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外全一样，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到白色乒乓球，试估计箱子中黄色乒乓球的个数． 【答案】个 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题的关键是要计算出口袋中白色乒乓球所占的比例．也考查分式方程的应用． 【详解】解：设箱子中黄色乒乓球的个数为个， ∵共摸了次，发现有次摸到白色乒乓球， ∴口袋中白球乒乓球所占的比例为， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． 答：估计箱子中黄色乒乓球的个数为个． 16. 已知与成反比例函数关系，且当时，．求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求反比例函数的函数值； （1）设，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵与成反比例函数关系，且当时，． ∴设，则 ∴ ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 当时， 17. 如图，是半圆O的直径，是半圆O的弦，利用尺规作图法在上求作一点M，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，点M即为所求； 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，作的平分线，交于N，连接交于点M，即可得到，即可推出，则点M即为所求作的点． 【详解】略 18. 如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算出的长即可．解题的关键是掌握：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意，得：， 解得：， 即， ∴， ∴此圆锥高的长度为． 19. 2022年12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．近年来中国完成了多项太空探索任务，无一不反映着中国在航天领域发展迅速．为了普及航天科学的相关知识，某中学在全校范围内开展了“空天逐梦，青春飞扬”知识竞赛活动，李希和王阳两名同学在本次知识竞赛活动中拿到了满分．为了激励更多的同学们了解航天知识，校团委打算邀请这两名同学分别从空间站、航天员、卫星、运载火箭（依次用K，H，W，Y表示）四个方面中任选一个整理自己对其所了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及． （1）王阳同学选择“航天员”的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法，求李希和王阳两名同学至少有一名选中“卫星”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）根据题意画树状图求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：王阳同学选择“航天员”的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中李希和王阳两名同学至少有一名选中“卫星”的结果有7种， 李希和王阳两名同学至少有一名选中“卫星”的概率为． 【点睛】本题考查列表法求概率，正确理解题意是关键． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，将绕点C逆时针旋转得到（、分别与A、B对应）． （1）请你在图中画出； （2）求在旋转过程中，线段所扫过的图形面积．（结果保留） 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，扇形面积计算，熟练掌握扇形面积的计算公式，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，先作出点A、B的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据扇形面积计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 答：线段所扫过的图形面积为． 21. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，．求的长．（结果保留）     【答案】 【解析】 【分析】先求得所对的圆周角的度数，再由弧长的公式，求得的长． 【详解】解：连接， ， ， ，， ， ， ， 的长度． 【点睛】本题考查了弧长公式，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，求得是解题的关键． 22. 如图，是一块长为，宽为的矩形铁皮，按照如图所示方式剪去两个长方形和两个正方形，沿着虚线部分折起，就能制作一个有盖方盒，若该方盒的底面面积为，则剪去正方形的边长为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，剪去正方形的边长为，根据题意列出方程即可求解，根据题意弄清图形变化前后边长的数量关系是解题的关键． 【详解】解：剪去正方形的边长为， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， 答：剪去正方形的边长为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． （1）求反比例函数的表达式及点、的坐标； （2）点P在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的倍，求点的坐标． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识； （1）根据点的坐标，矩形的性质可求点的纵坐标，点的横坐标，把点的纵坐标、点的横坐标代入直线解析式可求点的横坐标、点的纵坐标，把点的坐标代入反比例函数解析式即可求出，即可求解； （2）根据割补法求出四边形面积，然后根据“的面积是四边形面积的倍”可求点的纵坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，四边形是矩形， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， 把的坐标代入得：， 解得， ∴反比例函数的表达式是． 将代入得：， ∴． 【小问2详解】 解：由题意可得： ， ∵的面积是四边形面积的3倍， ∴， 即，解得， ∴． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，，得出，进而得出，由，得出，即可证明是的切线； （2）先求出，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵在直角中，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 25. 某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置与地面垂直，且（如图），喷水能力最强，水流从A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当水流与喷水装置的水平距离为时，水流达到最大高度4m，以点O为坐标原点，所在直线为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系．设水流喷出的高度为，水流到喷水装置的水平距离为． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）现要在音乐喷泉外围地面上摆放花盆（大小忽略不计），不计其它因素，花盆到喷水装置的水平距离大于多少米时才不会被喷出的水流击中？ 【答案】（1） （2）花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的应用，理解题意是关键． （1）根据题意可设抛物线解析式为，再将代入求解即可； （2）令，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线最高点坐标为， ∴设抛物线解析式为． ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， ∴花盆到喷水装置的水平距离大于3.5米时才不会被喷出的水流击中． 26. 【问题提出】 （1）如图1，四边形内接于，，，连接，则的度数为______． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，连接，将绕点顺时针旋转到的位置，若，求四边形的面积； 【问题解决】 （3）如图3，若是一个半径为的圆形荷花池，和是荷花池上的两座长度相等的小桥，且，现要在荷花池上再修建三座小桥、和，为使游客更好地欣赏荷花，要求这三座小桥的总长度最大，请你求出此时这三座小桥的总长度（即的最大值）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据，得出，进而根据已知可得即可求解； （2）根据旋转的性质可得，则，进而根据四边形的面积为，即可求解； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，则，证明，得出，设，则，，当取得最大值时，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵将绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则， ∵四边形是的内接圆，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∴, ∵，， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴； ∴当取得最大值时，取得最大值， ∴当为直径时，的值最大，此时， ∴此时这三座小桥的总长度（即的最大值）为． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形、圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $