26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版（2024）九年级上册 26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习 一、选择题 1．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（　　） A．-0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 2．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A，B两点，则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+b的解集为 A．x<-2或x>2 B．x>2 C．x<2 D．-2<x<2 3．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），则方程ax2-2ax+c=0的解为（　　） A．x1=-3，x2=-1 B．x1=1，x2=3 C．x1=-1，x2=3 D．x1=-3，x2=1 5．抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜-2 6．抛物线y=ax2+bx+c的图象只经过第一、二象限，那么关于Δ=b2-4ac，下列结论成立的是（　　） A．Δ＜0 B．Δ≤0 C．Δ＞0 D．Δ≥0 7．在求解一元二次方程-2x2+4x+1=0的两个根x1和x2时，某同学使用电脑软件绘制了如图所示的二次函数y=-2x2+4x+1的图象，然后通过观察抛物线与x轴的交点，该同学得出-1＜x1＜0，2＜x2＜3的结论，该同学采用的方法体现的数学思想是（　　） A．类比 B．演绎 C．数形结合 D．公理化 8．如图，已知二次函数y1=x2-x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3 9．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜4 C．﹣2≤a＜4 D．﹣2＜a≤4 10．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴交于的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论： ①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a-2b+c＞0；④2a-b+1＞0， 其中正确结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A．3 B． C．3 D． 二、填空题 13．若函数图像上存在点P(a，b)满足a+b=m(a>0，且m为常数)，则称点P为这个函数的“m优和点”.例如：函数图像上存在点P(t，1-t)，因为t+1-t=1，所以我们称点P为这个函数的“1优和点”.若二次函数y=x2+(k-3)x+5的“k优和点”有且仅有一个，则k的取值范围为__________ . 14．已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝__________ . 15．如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为  __________ ． 16．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2.其中正确结论有__________. 17．如图是二次函数的图象，图象对称轴为直线，与轴的正半轴交点位于与之间，对于这个函数有下列五个结论：①；②；③对任意实数，不等式恒成立；④若方程的两根为，，则；⑤关于的方程的两根之和为．则结论正确的有 __________ （填写序号） 三、解答题 18．已知二次函数y=ax2+bx+1的图像经过(1，2)，(2，4)两点. ①求a，b值； ②试判断该函数图像与x轴的交点情况，并说明理由. 19．已知二次函数y=. (1)求证：无论取何值，函数与x轴总有两个交点； (2)已知5是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长. ①求的值； ②求△ABC的周长. 20．已知二次函数的图象如图所示，利用图象回答： (1) 方程的解是__________． (2) 方程的解是__________． (3) 方程的解是__________． (4) 方程的解的情况怎样？ 21．如图，二次函数的图象与x轴交于点A（-3，0），B（1，0），交y轴于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上关于抛物线对称轴的一对对称点，一次函数的图象过点B，D． (1) 请直接写出点D的坐标； (2) 求二次函数的解析式； (3) 根据图象直接写出一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1) 求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2) 点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3) 探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 人教版（2024）九年级上册 26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是（　　） A．-0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 【答案】C 【解析】由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围． 2．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A，B两点，则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+b的解集为 A．x<-2或x>2 B．x>2 C．x<2 D．-2<x<2 【答案】A 【解析】观察函数图象可得x<-2或x>2时，抛物线在直线上方， ∴关于x的不等式ax2+bx+c>kx+b的解集为x<-2或x>2. 3．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵ 当 时，； 当 时，； ∴ 在 到 之间，函数值由负变正， 故方程 的一个根在 范围内． 故选 ：C． 4．若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），则方程ax2-2ax+c=0的解为（　　） A．x1=-3，x2=-1 B．x1=1，x2=3 C．x1=-1，x2=3 D．x1=-3，x2=1 【答案】C 【解析】解：∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0）， ∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1， ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1，x2=3． 5．抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜-2 【答案】A 【解析】∵抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个交点， ∴Δ=b2-4ac＞0， 即4-4m+4＞0， 解得m＜2. 6．抛物线y=ax2+bx+c的图象只经过第一、二象限，那么关于Δ=b2-4ac，下列结论成立的是（　　） A．Δ＜0 B．Δ≤0 C．Δ＞0 D．Δ≥0 【答案】B 【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c的图象只经过第一、二象限， ∴抛物线与x轴没有交点或抛物线与x轴只有一个交点． ∴Δ≤0． 7．在求解一元二次方程-2x2+4x+1=0的两个根x1和x2时，某同学使用电脑软件绘制了如图所示的二次函数y=-2x2+4x+1的图象，然后通过观察抛物线与x轴的交点，该同学得出-1＜x1＜0，2＜x2＜3的结论，该同学采用的方法体现的数学思想是（　　） A．类比 B．演绎 C．数形结合 D．公理化 【答案】C 【解析】解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数学结合的数学思想． 8．如图，已知二次函数y1=x2-x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3 【答案】B 【解析】如题图所示，若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，此时x的取值范围是0＜x＜3． 9．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜4 C．﹣2≤a＜4 D．﹣2＜a≤4 【答案】C 【解析】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9 ＝x2﹣2ax+a2﹣2a+8， ∵图象与x轴没有公共点， ∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+8）＜0 解得a＜4； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小， ∴a≥﹣2， ∴实数a的取值范围是﹣2≤a＜4． 故选：C． 10．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察函数图象，得抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故符合题意； 观察函数图象，当时，， ， 而， ， ， ，故符合题意； 时，取得最小值， （为任意实数）， ， 即，故符合题意； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故符合题意； 故选：D． 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴交于的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论： ①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a-2b+c＞0；④2a-b+1＞0， 其中正确结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：根据题意画出图象如图所示， 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x1，0），且1＜x1＜2， ∵1-（-2）=3，∴对称轴到（-2，0）的距离＞． ∴-＜-，a＜0，∴-a＞-b，∴a＜b＜0，故①正确． 设1＜x1＜1，∵-2×x1＜-2，∴＜-2，∵a＜0，∴c＞-2a，∴2a+c＞0．故②正确． ∵x=-2时，y=0，∴4a-2b+c=0，故③错误． ∵4a-2b+c=0，c＜2，∴4a-2b+2＞0，∴2a-b+1＞0，故④正确． ∴①②④正确． 12．抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A．3 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】解：∵抛物线的对称轴， ∴， 即， ∴， ∴抛物线为， 方程可化为， 即函数与在内有两个交点， 当时，， 当时，， 当时，， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， ∴需满足， 即， 故选：D． 二、填空题 13．若函数图像上存在点P(a，b)满足a+b=m(a>0，且m为常数)，则称点P为这个函数的“m优和点”.例如：函数图像上存在点P(t，1-t)，因为t+1-t=1，所以我们称点P为这个函数的“1优和点”.若二次函数y=x2+(k-3)x+5的“k优和点”有且仅有一个，则k的取值范围为__________ . 【答案】k=-4或k>5 【解析】设这个二次函数的“k优和点”坐标为(x，k-x)，将此坐标代入y=x2+(k-3)x+5中， 得k-x=x2+(k-3)x+5，整理可得x2+(k-2)x+5-k=0， 又方程必有正根，“k优和点”有且仅有一个， 分为两类情况： ①该方程的根的判别式为0，即(k-2)2-4(5-k)=0，解得k=±4， 当k=4时，方程的解为负，与题意不符合，故舍去， 所以k=-4； ②该方程的根的判别式>0，但有一正一负两根，由韦达定理可得5-k<0， 即(k-2)2-4(5-k)>0且k>5， 解得k>5. 综上，k=-4或k>5. 14．已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝__________ . 【答案】9 【解析】∵抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点， ∴方程x2－6x＋m＝0有唯一解，∴Δ＝36－4m＝0， 解得m＝9. 15．如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为  __________ ． 【答案】， 【解析】解：把一元二次方程变形为， 抛物线与直线交于，两点，点，横坐标分别为，3， 关于的一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 16．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2.其中正确结论有__________. 【答案】①②③④ 【解析】由图象知，抛物线开口向下，对称轴为，抛物线与轴的交点在正半轴， ∴，，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵，， ∴根据对称性可知的位置如图所示： 由图可知，当时，对应的函数值小于，即，故②正确； 当时，对应的函数值小于， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得， ∴，故③正确； ∵抛物线的最高点在处，即函数的最大值为， ∴当时，， ∴， ∴，故④正确； 若方程有四个根，即各有两个根， 当时，有，此时有， 当时，有，此时有， ∵，即， ∴，即方程的四个根的和为4，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④. 17．如图是二次函数的图象，图象对称轴为直线，与轴的正半轴交点位于与之间，对于这个函数有下列五个结论：①；②；③对任意实数，不等式恒成立；④若方程的两根为，，则；⑤关于的方程的两根之和为．则结论正确的有 __________ （填写序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】二次函数的图象开口向下， ， 对称轴为， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ，①正确； ， ， 令，则， 抛物线与轴的正半轴交点位于与之间，对称轴为， 抛物线与轴的负半轴交点位于与之间， ，②正确； 抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下， 函数在顶点处取得最大值， 对任意实数，不等式恒成立， 对任意实数，不等式恒成立，即恒成立，③正确； ，， ， 对称轴为， ，即， ， ，即，④错误； 方程可看作原抛物线向右平移个单位后与轴的交点方程， 则平移后抛物线的对称轴为， 两根之和为，⑤正确； 综上所述，正确的为①②③⑤． 三、解答题 18．已知二次函数y=ax2+bx+1的图像经过(1，2)，(2，4)两点. ①求a，b值； ②试判断该函数图像与x轴的交点情况，并说明理由. 【答案】解　①把(1，2)，(2，4)代入y=ax2+bx+1，得 解得 ②∵y=x2+x+1， 令y=0，则x2+x+1=0， ∴b2-4ac=-<0，∴此函数图像与x轴没有交点. 19．已知二次函数y=. (1)求证：无论取何值，函数与x轴总有两个交点； (2)已知5是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长. ①求的值； ②求△ABC的周长. 【解析】(1)证明 ∵， 20．已知二次函数的图象如图所示，利用图象回答： (1) 方程的解是__________． (2) 方程的解是__________． (3) 方程的解是__________． (4) 方程的解的情况怎样？ 【答案】(1) 由图象知，二次函数的图象交x轴于，两点， ∴方程的解为； 故答案为：； (2) 由图象知，直线与二次函数的图象交于，两点， ∴方程的解为； 故答案为：； (3) 由图象知，直线与二次函数的图象交于顶点， ∴方程的解为； 故答案为：； (4) 由图象知，直线与二次函数的图象无交点， ∴方程无解． 21．如图，二次函数的图象与x轴交于点A（-3，0），B（1，0），交y轴于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上关于抛物线对称轴的一对对称点，一次函数的图象过点B，D． (1) 请直接写出点D的坐标； (2) 求二次函数的解析式； (3) 根据图象直接写出一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 【答案】解： (1) ∵二次函数的图象与x轴交于点A（-3，0），B（1，0）， ∴对称轴为直线x==-1， ∵点C（0，3），D是二次函数图象上关于抛物线对称轴的一对对称点， ∴点D的坐标为（-2，3）； (2) 设函数解析式为y=ax2+bx+c， 则，解得， 所以函数表达式为y=-x2-2x+3； (3) 由图可知，x＜-2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1) 求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2) 点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3) 探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； (2) ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． (3) 在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 学科网（北京）股份有限公司 $