1.3勾股定理的应用同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

1.3 勾股定理的应用 同步练习 一、单选题 1．如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度为（　　） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 3．如图，在中，于点，，是的中线，若，，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 4．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆的底端处，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到点处，发现此时点到旗杆水平距离为，点到地面的距离为，则旗杆的高度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 6．如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积为4 D．点到的距离为2 7．如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在海面上有两个疑似漂浮目标、，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里／时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以8海里／时的速度向目标前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标、，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为____________． 10．如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ________．    11．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是__________． 12．如图，平面内三点A、B、C，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的最大值是______． 13．如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为______，面积的最大值为______． 三、解答题 14．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 15．为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 16．如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 17．如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． (1)求证：； (2)求三角形花园的面积． 18．如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． (1)求线段长． (2)求线段的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《1.3 勾股定理的应用 同步练习》参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于点O，首先由题意得：，，然后根据，得到，最后利用勾股定理得的长度即可． 【详解】解：如图，作于点O， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴大树的高度为， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意知：竹子折断前直立于地面，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 依题意，得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度为尺． 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，可证明得到，再由勾股定理可得，则可根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点作于，设旗杆的高度为，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，，， 设旗杆的高度为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴旗杆的高度为， 故选：． 5．D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离等知识点，利用勾股定理求出长可判定A，利用勾股定理及其逆定理判定B，利用网格图计算三角形的面积可判定C，利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】A．∵，∴，正确，不符合题意； B．∵，，， ∴，∴，正确，不符合题意； C．，原结论错误，符合题意； D．点A到的距离，正确，不符合题意； 故选：C． 7．B 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形连接, 则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离， 故. 故选：B. 8．B 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、方向角是解答本题的关键．根据题意可得海里，海里，海里，即可得，则，进而可得，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意得，（海里），（海里）， ， 海里， ， ， ． ， ， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西． 故选：B 9．12 米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， ∴， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 故答案为：12米． 10． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于A，于B，，列式，解出的值，即可作答． 【详解】 解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 12．72 【分析】如图，过点D作，使得，连接，证明，推出，得出是等腰直角三角形，推出，当的值最大时，的值最大，根据三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ， ∴当的值最大时，的值最大， ∵，， ∴， ∴的最大值为12，即的最大值为144， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 13． 18 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．作于点，由，，，得，，由，，得，因为垂线段最短，所以的最小值为3，则的最小值为18；再证明，则，，所以，则，可知当时，面积的最大，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， ， 的最小值为3， 当时，， 的最小值为18； ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， 当时，， 故答案为：18，． 14．(1)不会 (2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰； （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 15．(1) 如图所示，点E即为所求． (2)气站E距离A处． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，可知点E在线段的垂直平分线上，即可得答案； （2）设，，得，，再利用解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， 又∵ ∴ 解得 ∴气站E距离A处． 16．(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 17．(1) 解：∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）首先根据长可利用勾股定理逆定理证明，进而得到； （2）设，则，再利用勾股定理可得，解方程可得x的值，即可求出的长，进而得到长，然后即可算出面积． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的长为， ∴， ∴三角形花园的面积为． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的，本题中翻折是解题的关键． （1）设长度为．由题意得，，在中，，根据勾股定理得：，建立方程求解即可； （2）连接，设的长度为，在中，，根据勾股定理得：，在中，，根据勾股定理得；，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设长度为． 由题意得，， 在中，，根据勾股定理得：， 解得： ∴线段的为； （2）解：连接，设的长度为． 由题意得，， ∴在中，，根据勾股定理得：， 在中，，根据勾股定理得；， 解得： 的长为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $