专题二次函数与一次函数的综合2026-2027学年人教版九年级数学上册

微专题3二次函数与一次函数综合 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C,BO=3AO=3,直线y= mx+n过点B,C. 常见问题分解 解题通用方法 (1)求抛物线与直线 BC 的函数表达式. (1)利用点的坐标求函数表达式： (待定系数思想) ①抛物线表达式中有两个字母，需要代入2个点的坐标； ②直线表达式中有两个字母，需要代入2个点的坐标. (2)观察图象，直接写出当 mx+n时x的取值范围. (2)利用函数图象确定不等式解集的方法：找交点，分左右，谁高则谁大.(数形结合思想) (3)若点 P 在抛物线上,且∠PCB=90°,求点 P 的坐标. (3)利用点的坐标表示线段长度：(数形结合思想、方程思想) ①MN∥x轴: ②MN∥y轴: ③MN与x轴、y轴都不平行： ④常利用勾股定理，数形结合，列出有关的方程，即可求出目标点的坐标. (4)若点 D 为直线 BC下方抛物线上一动点，当点 D 运动到某一位置时， 的面积有最大值，求 的最大面积及此时点 D 的坐标. (4)利用点的坐标表示三角形的面积：(转化思想、模型思想) ①一边在坐标轴上的三角形面积： ②一边平行于坐标轴的三角形面积： ③三边均不平行于坐标轴的三角形面积：用“割补法”转化为三角形面积的和或差；或用‘ 水平宽×铅垂高”. 如图,作NQ∥x轴,则 (5)将直线BC 向下平移k个单位长度后与抛物线只有一个公共点，求k的值和这个公共点的坐标. (5)抛物线与直线的公共点：(数形结合思想、方程思想) ①有两个公共点： a.建立关于x的一元二次方程,Δ>0; b.直线平行于x轴且在抛物线顶点上方. ②有一个公共点： 直线垂直于x轴. 直线过抛物线顶点且平行于x轴. 建立关于x的一元二次方程,Δ=0. ③没有公共点： a.建立关于x的一元二次方程,Δ<0; b.直线平行于x轴且在抛物线顶点下方. (6)将原抛物线沿x轴翻折后，再向右平移2个单位长度，得到新抛物线，请直接写出新抛物线的解析式. (6)利用关键点的变换表示函数图象的变换.(数形结合思想) (7)①在抛物线的对称轴上找一点 P，使 PB +PC 的值最小，求出此时点 P 的坐标及PB+PC 的最小值； ②在抛物线的对称轴上找一点 Q，使|QA-QC|的值最大，求出此时点 Q 的坐标. (7)求线段和差最值：(模型思想) ①求一点使两线段之和最小的方法：“将军饮马”模型(一线两定点)； (如本题改为“求 PA +PC 的最小值”) ②求一点使两线段之差最大的方法：三角形三边关系模型. (8)若N为x轴上的一个动点，M为抛物线上的一个动点，使B，C，N，M四点构成平行四边形，求出点N的坐标. (8)探究抛物线中特殊图形的存在性：(分类讨论思想) ①以其中一个已知点(如点 B)作为起点，列出平行四边形中所有对角线的情况(如 BC,BM,BN),分别设出两个动点(点M，点N)，运用中点坐标性质，求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标，注意到两个中点重合，其坐标对应相等，列出方程组，求解即可； ②中点坐标：线段 AB 的中点 C 的坐标为 1.如图，抛物线 与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式； (2)若点 E 是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F 是抛物线的顶点，求EF 的长； (3)设点 P 是(1)中抛物线上的一个动点，是否存在满足 的点 P?如果存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 2.如图，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点 C，抛物线 经过A,C 两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=-1. (1)求该抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点 D 的横坐标为m，则四边形ABCD面积S的最大值为 ； (3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形?若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. 微专题4 二次函数与多边形(思维能力) 1.【例1】(2026 惠州开学)如图,正方形 ABCD的顶点A，C在抛物线 上，点D 在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0),下列结论正确的是( ) A. m+n=1 B. m-n=1 C. m=1 解题思路：分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得到全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题. 3.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB在x轴上，顶点 B在x轴正半轴上.若抛物线 经过点A，B，则点 C的坐标为 . 解题思路：根据抛物线 经过点A， B，可以求得AB 的长，然后根据菱形的性质和勾 股定理可以求得 DO的长，从而可以求得点C的坐标. 2.【例2】(人教9 上 P62)如图,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD 的四条边上.内部的四边形 EFGH也是正方形.当点 E 位于何处时，正方形 EFGH 的面积最小? 4.(人教9上 P55、北师9 上 P142 改编)一块三角形材料如图所示，. AB=12.用这块材料剪出一个矩形 CDEF，其中， 点D,E,F 分别在 BC,AB,AC 上.要使剪出的矩形 CDEF的面积最大，点E 应选在何处? 微专题5二次函数与代数推理(课标导向) 1.【例1】(2026 雅安模拟改编)已知二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是( ) C.9a+3b+c<0 D.2a-b=0 5.(2026广州期末)如图，二次函数 +c(a≠0)的图象与x轴交于A,B 两点(点A在点B 左侧)，与y轴交于点 C，顶点为(1， n),下列说法:①2a+b=0;② -4b+c>0;③若OC=3OA,则 ④直线 与抛物线 有且只有一个交点.其中正确的是 .(只填序号) 2.【例2】二次函数 的图象过点A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,-m),其中m,n为常数. (1) ba的值为多少? 的值为多少? 6.在平面直角坐标系xOy 中， y₂),C(t+3,y₃)三点都在抛物线 -3(a<0)上.若无论t取任何实数,点A,B,C中都至少有两个点在x轴的下方，则a的取值范围是多少? 3.【例3】(2026 无锡模拟改编)已知二次函数y 当 时 3)，二次函数的最大值为y₁，最小值为y₂，若 ，求a的值. 7.已知二次函数 是实数),若函数图象经过(0,m),(1,n)两点(m,n是实数),当( 时，求证： 4.【例4】(2026 北京模拟改编)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 已知M(x₁,y₁)和N(x₂,y₂)是抛物线上的两点，若对于 都有 求a的取值范围. 8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 上有两个点. 和 ，且方程 有整数根. (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于 都有 <0,求证: 微专题 3 二次函数与一次函数综合(一题一课) 【常见问题分解】 (1) 解: , 点 , 点 . 抛物线的函数表达式为 . 令 , 得 , 则点 . 将点 , 分别代入直线 , 得 解得 直线 的函数表达式为 . (2) 解: 由图象可知 或 . (3) 解: 由(1)可知点 , , 设点 的坐标为 , ∵∠PCB =90°,∴ △PCB 是直角三角形, 根据勾股定理，得 即 解得 (不合题意，舍去)， 当t=1时, ∴点 P 的坐标为(1,-4). (4)解:如图,作DF⊥x轴于点 F,交BC 于点 E,由(1)得直线 BC的表达式为y=x-3,设 则E(x,x-3), +3x, ∴当 时， 有最大值为 此时， (5)解：将直线BC向下平移k个单位长度后的表达式为y=x-3-k, 令 化简得 只有一个公共点说明方程△=0， 即 解得 此时公共点的坐标为 (6)解: (7)解：①依题意得对称轴为直线x=1，如图1，BC交对称轴于点 P，此时PB+PC的值最小， 当x=1时,y=1-3=-2,即此时点P 的坐标为(1,-2), ②如图2，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点 Q，此时|QA-QC|的值最大,且|QA -QC|的最大值为线段AC的长. 依题意,得A(-1,0),C(0,-3),可求得直线AC 的解析式为y= - 3x-3, 当x=1时,y=-3x-3=-3x1-3=-6, ∴点 Q 的坐标为(1,-6). (8)解:设点 M 的坐标为( 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标性质可得： ①当BC 为对角线时， 即 解得 (舍去), ∴n=1,即N₁(1,0). ②当BM为对角线时， 即 解得 (舍去), ∴n=5,即N₂(5,0). ③当 BN为对角线时， 即 解得 ∴n= -2或 综上所述,点 N的坐标为(1,0)或(5,0)或( ﹣2,0)或(-2- ,0). 【母题变式】 1.解:(1)将A(-1,0),B(3,0)分别代入 得解得 ∴该抛物线的解析式为 (2)∵抛物线的解析式为 ∴抛物线的顶点F 的坐标为(1，-4)，抛物线的对称轴为直线x=1. 当x=0时, 设直线 BC 的解析式为y= mx+n(m≠0), 将B(3,0),C(0,-3)分别代入y= mx+n, 得解得 ∴直线 BC 的解析式为y=x-3. 当x=1时,y=1-3=-2,∴E(1,-2), ∴EF=1-2-(-4)1=2. (3)点P 的坐标为(1﹣ ,3)或(1+ ,3)或(0,-3)或(2,-3). 2.解:(1)当x=0时,y=4,∴C(0,4), 当y=0时, ∵对称轴为直线x= -1,∴B(1,0), 设该抛物线的表达式为：y=a(x-1)(x+3), 将点 C(0,4)代入,得 ∴该抛物线的表达式为 (3)存在满足题意的点 P 和点 Q，理由如下： 设P(-1,n), ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形， ∴PA=PC,即. 微专题4 二次函数与多边形(思维能力) 1.【例1】B 2.【例2】解:设AE=x,AB=a,则BE=a-x, ∵在正方形 EFGH中,EH=EF,∠HEF=90°, ∴∠AEH +∠BEF=90°, ∵∠AEH+∠AHE=90°, ∴∠AHE =∠BEF, 在△AHE和△BEF 中, ∵ △AHE≌△BEF(AAS), : AE=BF=x,AH=BE=a-x, 设正方形 EFGH 的面积为S， ∵当 时，S有最小值为- a², 此时 即点 E 是边AB 的中点. ∴ 当点E是边AB 的中点时，正方形 EFGH 的面积最小. 3.(5,4) 4.解:∵ 四边形 CDEF 是矩形,∴∠AFE=∠CFE=90°, ∵∠A =30°, 在 Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,. 根据勾股定理，得 ∴当AE=6时,矩形 CDEF 的面积最大,即当点 E为AB 的中点时，矩形 CDEF 的面积最大. 微专题5 二次函数与代数推理(课标导向) 1.【例1】C 2.【例2】解:(1)由B(1,-m),D(3,-m)可知抛物线的对称轴为直线 (2)由题意可得c=m,a+b+c=-m,4a+2b+c=n. ∵b=-4a,∴a-4a+m=-m, 3.【例3】解：二次函数 的对称轴为直线x= ∵a<3<a+3,∴0<a<3, ①当3-a≤a+3-3,即 时，此时 解得 (不符合题意，舍去)； ②当3-a>a+3-3,即 时，此时 解得 (不符合题意，舍去).综上所述， 或 4.【例4】解：抛物线的对称轴为直线 对于 分两种情况： ①若a>0, ∵抛物线的对称轴为直线：x=-a,∴2-a>-a, ∴ 点 M(x₁,y₁)在对称轴的右侧, ∵抛物线开口向上， ∴当x>-a时,y随x的增大而增大,当x<-a时,y随x的增大而减小， ∴点N(x₂,y₂)在对称轴右侧， ②若a<0, 抛物线开口向下，对称轴为直线x=-a，点M(x₁,y₁)关于对称轴x= -a的对称点为 y₁), 当x>-a时,y随x的增大而减小,当x<-a时,y随x的增大而增大， 即 综上所述，a的取值范围是a>0或-4<a<-1. 5.①②③ 6.解：当抛物线与x轴没有交点时， ∵a<0，∴此时抛物线上的三点A，B，C都在x轴下方， 当抛物线与x轴有交点时，设抛物线 与x轴交点横坐标为x₁,x₂, ∵无论t取任何实数,点A(t,y₁),B(t+1,y₂),C(t+3,y₃)中都至少有两个点在x轴的下方， 即 综上所述，a的取值范围为 7.证明：二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点， 不能取到 8.(1)解：由题意得，抛物线 的对称轴为直线 (2)证明：设点 关于对称轴的对称点 ∵ 抛物线的对称轴是直线 ∵点A，B'在对称轴左侧，a>0,且 根据二次函数的性质，x<1时，y随x的增大而减小， 又∵方程 有整数根，∴当x=-1时，y=0.把(-1,0)代入函数解析式 学科网（北京）股份有限公司 $