3.3 勾股定理的应用（第1课时 实际应用）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

3.3 勾股定理的应用 一、问题引入 甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2：1和16：9，哪款手机的屏幕面积更大？( 1英寸 ≈ 2.54cm ) 甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2：1和16：9，哪款手机的屏幕面积更大？( 1英寸 ≈ 2.54cm ) x 9y 16y 2x 解：设甲手机屏幕的长、宽分别为2x英寸，x英寸，乙手机屏幕的长、宽分别 为16y英寸，9y英寸．根据勾股定理，得 　甲：(2x)2＋x2＝5.52，解得x2＝6.05， 屏幕面积：2x×x＝2x2＝2×6.05＝12.1平方英寸； 乙： (16y)2＋(9y)²＝5.42，解得y2＝， 屏幕面积：16y×9y＝144y2＝144×≈12.5平 方英寸． ∵12.1＜12.5 ∴乙手机屏幕的面积更大. 二、典例分析 题型01 河宽问题和轮船航行问题 1.如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距_____海里. 600 变式：如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东30°方向上．(1)求∠APB的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ （1）∠APB的度数为30° （2） 不安全 二、典例分析 题型01 折竹抵地问题 2.如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 ___________尺（1丈=10尺）． 4.55 变式1：如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（AB⊥地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若AB=4米， BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 _____米． 19 变式2：如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点对B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为16m，教学楼高15m，围墙BC高3m，问至少需要多长的彩旗带？ 至少需要20m长的彩旗带 变式3：我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板DE离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即BC=10尺，秋千踏板离地的距离BF和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 _____ 尺． 14.5 二、典例分析 题型03 梯子滑动问题 3.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为3m，同时梯子顶端B下降至D，那么BD= ______m． 变式： 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． (1)求B处与地面的距离．(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ (1)25米 （2） 8米 二、典例分析 题型04 台阶上地毯长问题 4.如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长需_____ 变式：学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，∠C=90°，AC=3m，AB=5m．(1)求BC的长；(2)若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） (1)4米 （2） 686元 二、典例分析 题型05 台风、噪音、爆破问题 5.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°， 点A处有一栋居民楼，AP=160m． 假设一拖拉机在公路MN沿PN方向行驶，周围100m以内（包括100m）会受到噪声的影响．(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由．(2)若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，则居民楼受到影响的时间有多长？ (1)会受影响 （2）24秒 二、典例分析 题型06 水杯中的筷子和风吹莲动为问题 6.如图，将一根长24cm的吸管置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为hcm，则h的取值范围是_______ 变式：我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 5尺 1尺 解：设芦苇长AB＝x尺，则水深BC＝(x－1)尺， 由题意得 (x－1)2＋52＝x2， 解得 x＝13 即AB＝13尺，BC＝12尺. 答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺. 二、典例分析 题型07 最短路径问题 7.如图，有一个棱长为1m且封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A爬到顶点B，求这只昆虫沿表面爬行的最短路程。 B A B A 解：如图，展开后由勾股定理得： 最短路程 = AB = = ( m )。 变式1： 一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，求它所行的最短路线的长。 B A 3 4 12 cm 变式2：如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，求爬行的最短路程。( π取3 ) B A 最短路线的长为10cm 正方体、长方体中的最短路径问题： 正方体中，从A到B的最短路程 = a； 长方体中，从A到B的最短路程 = 。 圆柱中的最短路径问题： 从A到B的最短路程 = min{ 2r + h，}。 变式3： 如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧 面上，过点， 嵌有一圈长度最短的金属丝. （1）现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____ A B C D A （3）如图②，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为 ，在杯内 壁离杯底的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯 上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁 处所爬 行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 1. 从实际问题中抽象出几何图形; 2. 确定要求的线段所在的直角三角形; 3. 找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系; 4. 求得结果. 三、课堂总结 $