26.3 二次函数与一元二次方程（讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系这一核心知识点，系统梳理两者的转化、判别式与交点个数的关联、与坐标轴交点及距离计算、与不等式解集的对应，构建从概念到应用再到分层练习的递进学习支架。 资料以考点突破为基础、题型探究为核心、分层通关为巩固，通过图像分析根的情况、估算近似根等题型，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

26.3 二次函数与一元二次方程 目录 Part1考点突破 考点1：二次函数与一元二次方程的关系 考点2：二次函数与坐标轴的交点 考点3：二次函数与一元二次不等式 Part2 题型探究 题型1：二次函数与坐标轴的交点 题型2：根据函数图象判断一元二次方程的根 题型3：一元二次方程的近似根估算 题型4：根据函数图象求不等式的解集 题型5：二次函数与一次函数的交点问题 题型6：二次函数与方程不等式的综合应用 Part3 分层通关 【考点1：二次函数与一元二次方程的关系】 1、二次函数与一元二次方程的转化 对于二次函数（），令，则二次函数转化为一元二次方程 。因此，抛物线与轴交点的横坐标就是该一元二次方程的实数根。 2、判别式与交点个数 一元二次方程根的判别式为，它决定了抛物线与轴交点的个数，关系如下： 时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点； 时，方程有两个相等的实数根，抛物线与轴有一个交点（顶点在轴上）； 时，方程没有实数根，抛物线与轴没有交点。 【考点2：二次函数与坐标轴的交点】 1、与y轴的交点 令，得，所以抛物线与轴的交点坐标为。 2、与x轴的交点 令，解一元二次方程，若方程的两根为、，则抛物线与轴的交点坐标为、。 3、两交点间的距离 设抛物线与轴两交点的横坐标为、，则两交点间的距离为 ，由根与系数的关系可得 。 4、根与系数的关系 若抛物线与轴两交点的横坐标为、，则 ，。 【考点3：二次函数与一元二次不等式】 1、二次函数与不等式的关系 二次函数的图象与轴的位置关系，对应着一元二次不等式的解集： 即抛物线在轴上方的部分所对应的的取值范围； 即抛物线在轴下方的部分所对应的的取值范围； 即抛物线与轴交点的横坐标。 2、利用图象解不等式 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤：①先求出抛物线与x轴的交点坐标（即解对应的一元二次方程）；②根据抛物线的开口方向（a的符号）确定不等式的解集：当a>0时，y>0的解集在两根之外，y<0的解集在两根之间；当a<0时，y>0的解集在两根之间，y<0的解集在两根之外。 3、抛物线与直线的交点 抛物线与直线的交点问题，可联立解析式得到方程组，消去后转化为一元二次方程。方程组有两组不同的解时两图象有两个交点；有一组解（判别式为0）时只有一个交点；无解时没有交点。 【题型1：二次函数与坐标轴的交点】 【例1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的个数（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用判别式进行解答； 通过判断抛物线对应的一元二次方程根的情况，确定与轴交点的个数． 【详解】解：∵求抛物线与轴的交点，令， ∴得到方程，即， ∵，，， ∴， ∴该一元二次方程无实数根， ∴抛物线与轴交点的个数是0， 故选：D． 【变式1】抛物线与轴交点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了求抛物线与轴交点的坐标．求抛物线与y轴交点的纵坐标，只需令，代入抛物线解析式计算对应的y值即可． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为0， ∴将代入中， 得， ∴抛物线与y轴交点的纵坐标为， 故选：D． 【变式2】二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 【变式3】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 【题型2：根据函数图象判断一元二次方程的根】 【例2】抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根． 【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴另一个根为． 故选：C． 【变式1】已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 【变式2】抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根． 【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴另一个根为． 故选：C． 【变式3】如图，抛物线和直线（均为常数，且）的两个交点分别为和，则关于的一元二次方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键，根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程， 即， ∴方程的解是抛物线和直线的两个交点的横坐标， ∵抛物线和直线的两个交点分别为和， ∴关于的一元二次方程的解， 故选：D． 【题型3：一元二次方程的近似根估算】 【例3】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 【变式1】二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有___________个根（填“0”，“1”或“2”） 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、方程与函数的关系；用到的思想是函数与方程思想；方法是利用二次函数的连续性判断函数值的正负变化来确定方程根的个数；解题关键是根据表格中函数值的正负变化，结合二次函数图像是抛物线（最多有两个不同的x值使来判断；易错点是忽略二次函数的连续性以及抛物线的特征，错误判断根的个数． 首先观察表格里x对应的y值，发现当x在不同区间时，y值从负数变为正数，因为二次函数是连续的，所以在这些区间内必然存在使的x值．又因为二次函数的图像是抛物线，最多有两个不同的x值能让，所以可以得出方程有2个根． 【详解】由表格可知，当时，； 当时，，y从正数变为负数． 当时， 当时，y从负数变正数． 由于二次函数图像是抛物线，最多有两个不同的x值使， 所以方程有2个根． 故答案为：2． 【变式2】根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 【变式3】如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根在和点之间． 故选：B． 【题型4：根据函数图象求不等式的解集】 【例4】，为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． 【答案】且 【分析】方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，二次项系数不为，且根的判别式大于等于，再利用图象法解不等式即可． 【详解】解：，为方程的两个实数根， 该方程为一元二次方程，可得， 这里，，， ． 方程有两个实数根， ，即， 整理得，， 故令，其函数图象如下图所示： 当时，即， ，即，， 由图象可知，当时，即， 此时，， 综上，的取值范围是且． 【变式1】二次函数，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的取值范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解： ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是． 【变式2】二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【变式3】如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 【题型5：二次函数与一次函数的交点问题】 【例5】如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象与方程的关系，理解方程的解为对应函数图象交点的横坐标是解题的关键． 根据方程的解就是两个函数交点的横坐标求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为一次函数与二次函数的图象交点的横坐标， ∴方程的解为：． 故答案为：． 【变式1】如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】解：抛物线与直线相交于点，点， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 【变式2】如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式组，因式分解，掌握知识点是解题的关键． 先分别求出二次函数与一次函数的解析式，再令，当时，求出，继而当时，即，推断出，求解即可． 【详解】解：将，分别代入得 ， 解得， ∴二次函数， 将代入得 ， 解得， ∴一次函数， 令，当时， ， 即， 解得， ∵当时， 即， ， ∴， 即或（无解） 解得． 故答案为：． 【变式3】如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二方程的解为_____ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与一元二次方程的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性求出点的横坐标． 一元二次方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标，已知一个交点，再根据对称轴求出另一个交点的横坐标． 【详解】解：二次函数的图象与直线的交点横坐标就是方程的解， 已知交点，且二次函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点和点关于对称轴对称， 设点的横坐标为，则，解得， 关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 【题型6：二次函数与方程不等式的综合应用】 【例6】如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： (1)这个二次函数的解析式是________； (2)方程的两个根为________； (3)不等式的解集为_______； (4)若当时，则y的取值范围为________． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，根据交点确定不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设二次函数的解析式，再代入，得，解得，即可作答． （2）根据对称轴为直线以及与x轴的一个交点坐标为，进行列式计算，得方程的两个根为，，即可作答． （3）结合（2）的结论以及二次函数的图象性质，得出不等式的解集为，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，得最大值为， 把代入，得；把代入，得，可得出当时，y的取值范围为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，函数的顶点C的坐标为， ∴设二次函数的解析式， ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴ 即二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为 ∴方程的两个根为，； （3）解：∵ ∴二次函数的开口方向向上， 由（2）得方程的两个根为，； ∴不等式的解集为； （4）解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，且开口方向向上， ∴最大值为， 把代入，得； 把代入，得； 当时，则y的取值范围为． 【变式1】已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 【变式2】抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ， ， ， 又， ；故①正确； 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， 函数草图如图： 由图像可知当时，，则，故②错误； 抛物线经过点， ， ， 解得， ， ， 又， ； ； 解得，故③错误； 关于的不等式变形得， 经过， 由图象可知，不等式解集为，故④正确； 点在抛物线上，抛物线的对称轴为，总有， ，且，解得， ∵， ． 故⑤正确； 综上，正确的结论有①④⑤. 【变式3】抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据开口方向和对称轴可得的符号，即可判断①；根据抛物线经过点，可得，即得到，即可判断②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断③；由抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即可判断④；由直线经过点，可得，得到，即可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两根为，，故③正确； 由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即， ∴不等式的解集是，故④正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 【基础通关练】 1．抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求时的函数值即可． 本题考查了抛物线与y轴的交点，熟练掌握求交点的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，当时，， 故抛物线与y轴的交点坐标为． 故选：C． 2．抛物线与轴交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了求抛物线与轴交点的坐标．求抛物线与y轴交点的纵坐标，只需令，代入抛物线解析式计算对应的y值即可． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为0， ∴将代入中， 得， ∴抛物线与y轴交点的纵坐标为， 故选：D． 3．二次函数与轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 4．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程根的关系，熟练掌握“二次函数图像与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数”是解题的关键． 根据二次函数图像与轴的交点个数，判断对应的一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵二次函数的图像与轴没有交点， ∴关于的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 5．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标，是一元二次方程的两个根， ∴． 6．已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】 ， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 【提升通关练】 1．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 【答案】D 【分析】利用函数图象平移即可求解． 【详解】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到， 而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣， 故与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧， 故有两个同号不相等的实数根， 故选：D． 2．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． ∴时，，即， ∵， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点． ∴一元二次方程无实数根． 故④正确， 故选：C． 3．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义及二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的定义和利用判别式判断方程根的情况是解题的关键．先明确二次函数的定义，二次项系数不能为；再根据函数图象与轴有交点，可知对应的一元二次方程有实数根，即判别式，联立这两个条件求解的取值范围． 【详解】解：函数为二次函数， ，即， 图象与轴有交点， ， ， ， ， ， ， 且， 故选：C． 4．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 5．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 【答案】A 【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程有实数根，从而可以求得的取值范围，从而可以得到的最大值． 【详解】解：由图象可得， 二次函数的最小值是， 一元二次方程有实数根， 即一元二次方程有实数根， 也就是与有交点， ， 解得， 的最大值是3， 故选A． 6．已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数图象与轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于零求出的取值范围，任取范围内一个值即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个不同交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 ， 解得， 满足，（答案不唯一）． 7．若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 8．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式_____________． 【答案】15 【分析】把点代入二次函数解析式可得，然后问题可求解． 【详解】解：把点代入二次函数解析式得：，则有， ∴； 故答案为15． 9．已知二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？ 【答案】(1)见解析；（2）当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称． 【分析】（1）若证明二次函数与x轴总有两个不同的公共点，只需令y＝0，得到一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，计算方程的判别式b2﹣4ac＞0即可； （2）若二次函数的图象关于y轴对称，则对称轴x＝﹣＝0，计算即可得到m的值． 【详解】（1）证明：令y＝0，则（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，即x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0， ∵△＝（2﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣2m）＝4＞0， ∴方程x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点； （2）二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）＝x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m， ∵函数的图象关于y轴对称， ∴x＝﹣＝0， 解得m＝1， ∴当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称． 10．已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 11．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)存在，或或 【分析】（1）将点的坐标代入解析式求解即可； （2）令，求得点的坐标，根据三角形的面积公式求解即可； （3）设，边上的高为，则，根据与的面积相，求得，令解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴的一个交点为， ∴， 解得， 即， ； （2）存在，或或， 理由如下， 由，令， 即， 解得， ， ； （3）设，边上的高为， 与的面积相等， ， 是上的点， 则， 或， 解得或.， 或或． 【培优通关练】 1．对于一个函数，自变量取时，函数值为，则称为这个函数的不动点．如果二次函数（为常数）有两个相异的不动点，，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式及二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，由题意得：不动点在一次函数图象上，由两个不动点，，满足，得时，一次函数的函数值小于二次函数的函数值，即，求解即可。 【详解】解：由题意得：不动点在一次函数图象上， 一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点， 两个不动点，，满足， ∴时，一次函数的函数值小于二次函数的函数值， ， ∴ 故选：C 2．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 3．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 4．平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，其中m为常数． (1)求b的值，并用含m的代数式表示c． (2)若二次函数在这个范围内有最大值6，求m的值． (3)设是抛物线上的两点，请比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)当，即时，，当，即时， 【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b和c； （2）将抛物线化成顶点式，由可得时，y取最大值，即，最后解一元二次方程即可； （3）将两点代入抛物线解析式中，表示出、，求出分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ，． （2）解：由（1）得：， ， 时，y取最大值， ∵最大值是6，即时，， ， 解得，． （3）解：由（1）得： ， 是抛物线上的两点， ，， 当，即时，， 当，即时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3 二次函数与一元二次方程 目录 Part1考点突破 考点1：二次函数与一元二次方程的关系 考点2：二次函数与坐标轴的交点 考点3：二次函数与一元二次不等式 Part2 题型探究 题型1：二次函数与坐标轴的交点 题型2：根据函数图象判断一元二次方程的根 题型3：一元二次方程的近似根估算 题型4：根据函数图象求不等式的解集 题型5：二次函数与一次函数的交点问题 题型6：二次函数与方程不等式的综合应用 Part3 分层通关 【考点1：二次函数与一元二次方程的关系】 1、二次函数与一元二次方程的转化 对于二次函数（），令，则二次函数转化为一元二次方程 。因此，抛物线与轴交点的横坐标就是该一元二次方程的实数根。 2、判别式与交点个数 一元二次方程根的判别式为，它决定了抛物线与轴交点的个数，关系如下： 时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点； 时，方程有两个相等的实数根，抛物线与轴有一个交点（顶点在轴上）； 时，方程没有实数根，抛物线与轴没有交点。 【考点2：二次函数与坐标轴的交点】 1、与y轴的交点 令，得，所以抛物线与轴的交点坐标为。 2、与x轴的交点 令，解一元二次方程，若方程的两根为、，则抛物线与轴的交点坐标为、。 3、两交点间的距离 设抛物线与轴两交点的横坐标为、，则两交点间的距离为 ，由根与系数的关系可得 。 4、根与系数的关系 若抛物线与轴两交点的横坐标为、，则 ，。 【考点3：二次函数与一元二次不等式】 1、二次函数与不等式的关系 二次函数的图象与轴的位置关系，对应着一元二次不等式的解集： 即抛物线在轴上方的部分所对应的的取值范围； 即抛物线在轴下方的部分所对应的的取值范围； 即抛物线与轴交点的横坐标。 2、利用图象解不等式 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤：①先求出抛物线与x轴的交点坐标（即解对应的一元二次方程）；②根据抛物线的开口方向（a的符号）确定不等式的解集：当a>0时，y>0的解集在两根之外，y<0的解集在两根之间；当a<0时，y>0的解集在两根之间，y<0的解集在两根之外。 3、抛物线与直线的交点 抛物线与直线的交点问题，可联立解析式得到方程组，消去后转化为一元二次方程。方程组有两组不同的解时两图象有两个交点；有一组解（判别式为0）时只有一个交点；无解时没有交点。 【题型1：二次函数与坐标轴的交点】 【例1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的个数（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1】抛物线与轴交点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2】二次函数与轴交于，则的值为______． 【变式3】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2：根据函数图象判断一元二次方程的根】 【例2】抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【变式2】抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，抛物线和直线（均为常数，且）的两个交点分别为和，则关于的一元二次方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【题型3：一元二次方程的近似根估算】 【例3】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（ ） A． B． C． D． 【变式1】二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有___________个根（填“0”，“1”或“2”） 【变式2】根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【变式3】如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（   ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39 【题型4：根据函数图象求不等式的解集】 【例4】，为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． 【变式1】二次函数，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式3】如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【题型5：二次函数与一次函数的交点问题】 【例5】如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为___________． 【变式1】如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 【变式2】如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 【变式3】如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二方程的解为_____ 【题型6：二次函数与方程不等式的综合应用】 【例6】如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： (1)这个二次函数的解析式是________； (2)方程的两个根为________； (3)不等式的解集为_______； (4)若当时，则y的取值范围为________． 【变式1】已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【变式3】抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【基础通关练】 1．抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线与轴交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 3．二次函数与轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 5．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 6．已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【提升通关练】 1．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 2．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（） A．且 B． C．且 D． 4．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 5．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 6．已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 7．若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 8．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式_____________． 9．已知二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？ 10．已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 11．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【培优通关练】 1．对于一个函数，自变量取时，函数值为，则称为这个函数的不动点．如果二次函数（为常数）有两个相异的不动点，，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 4．平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，其中m为常数． (1)求b的值，并用含m的代数式表示c． (2)若二次函数在这个范围内有最大值6，求m的值． (3)设是抛物线上的两点，请比较的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $