反比例函数的概念及图像和性质讲义2026-2027学年人教版数学九年级上册

反比例函数的概念 知识点 反比例函数的概念 (1)反比例函数的定义： 形如 (k为常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是 . (2)反比例函数的三种表达形式： ① ;② ;③ .(k为常数,k≠0) 1.(北师9下P30 改编)下列y是x的反比例函数吗?如果是，请在横线上写出对应的k的值；如果不是，请在横线上画“×”. (3)y=2x⁻¹; (4)y= ; (6) xy= . 知识点2 根据实际问题列反比例函数的解析式 (1)找：根据实际问题找出等量关系； (2)列：根据等量关系列出x，y的关系式； (3)化:化成 的形式. 注意：根据实际情况确定自变量x的取值范围. 2.(人教9 上 P64 改编、北师9 下 P29 改编)如图，矩形的面积为12，长为y，宽为x. (1)y与x之间的函数关系式为 ; (2)当x=3时,y= ; (3)当y=2时,x= . 知识点(3 用待定系数法求反比例函数的解析式 一般步骤： (1)设：设反比例函数的解析式为 (2)代：把一组x，y的值代入 (3)解:求出k的值; (4)定：将k的值代入 得到函数的解析式. 3.(人教9 上 P65)已知y 与x 成反比例,且当x=2时,y=6. (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)当x=4时,求y的值. 4.【例1】(人教9 上 P85 改编、北师9 下 P31 改编)(2026 廊坊期末)在下列函数中，y是x的反比例函数的是( ) B. y=2x+1 小结：熟记反比例函数的三种表达形式. 8.(1)反比例函数 中,常数k为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 (2)反比例函数 中，m的取值范围是( ) A. m≠1 B. m≠-1 C. m≠±1 D.全体实数 5.【例 2】(2026 安阳月考)若关于x 的函数y= (m是常数)是反比例函数，则m= . 小结：考虑自变量x的指数，列方程求值、 9.(2026 绵阳开学)若函数 是反比例函数，则k的值为 . 6.【例3】(人教9上P64、北师9 下P28 改编)京沪线铁路全长1 318 km，某次列车的平均速度v km/h 随此次列车的全程运行时间 t h 的变化而变化，写出v与t之间的函数关系式，v是t的反比例函数吗? 10.(人教9 上P65)用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系，并指出是什么函数： (1)学校准备将1 000 m²实践田平均分给一些班级，每班分得的实践田面积y(单位：m²)随班级个数x的变化而变化； (2)在某次物理实验中，电路中的电压U 为3 V，则该电路中的电流I(单位：A)随电阻R(单位：Ω)的变化而变化. 小结：先找出等量关系，再确定函数关系式，最后根据特征判断是否为反比例函数. 7.【例4】已知y与x-2成反比例,且当x= -2时， (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)当 时，求x的值. ★11.(运算能力)(2026 上海月考改编)已知y-2与3x-4成反比例,且当x=2时,y=3. (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若点 P(a，-3)在这个函数的图象上，求a的值. 小结：(1)用待定系数法求反比例函数的解析式； (2)成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数 ≠0)中的两个变量必成反比例. 反比例函数的图象和性质(1) 知识点①反比例函数的图象和性质 (1)反比例函数的图象的画法 ①列表；②描点；③连线. (2)反比例函数 (k为常数,k≠0)的图象是 . (3)反比例函数的图象和性质 解状式 图象 k 0 k 0 性质 ①图象在 象限； ②在每一个象限内，y随x的增大而 ③图象在 象限； ④在每一个象限内，y随x的增大而 . (4)反比例函数的图象是 图形. 1.(人教9上 P67 改编、北师9下 P32)先填表,再画出反比例函数 的函数图象. x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y 2.(人教9上 P69 改编)先填表，再画出反比例函数 的函数图象. x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y 知识点 ❷ 反比例函数的图象和性质的简单应用 (1)根据反比例函数的图象和性质，求常数k的取值范围； (2)判断点是否在双曲线上. 3.(1)(2026 南宁月考)若反比例函数 (x≠0)图象在第二、四象限，则k的取值范围是 ; (2)直接判断点A(2,-4),B(-3,3)是否在双曲线 上:. 4.【例1】(北师9下P37改编)反比例函数 的图象可能是( ) 小结：常数k的符号确定图象所在象限。 8.(人教9上P73 改编、北师9下P44 改编)在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=2x与反比例函数 的图象大致是( ) 5.【例 2】(1)反比例函数. 的图象是 线，图象在第 象限，在每一支上，y随x的增大而 ； (2)反比例函数 的图象是 线，图象在第 象限，在每一支上，y随x的增大而 . 小结：常数k的符号决定函数的性质. 9.(人教9上P69 改编)(2025 浙江)已知反比例函数 下列选项正确的是( ) A.函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C.函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 6.【例3】(人教9上P71)如图，该曲线是反比例函数 的图象的一支. (1)函数图象的另一支在第 象限； (2)m的取值范围是 10.(人教9上 P85 改编)(2026 成都月考)在平面直角坐标系xOy中，对于每一象限内的反比例函数 图象，y的值都随x值的增大而增大，则m的取值范围是 . 小结：图象所在象限决定层的符号(或取值范围). 7.【例4】(人教9上 P71 改编、北师9 下 P41 改编)已知反比例函数的图象经过点 P(-2，3). (1)这个反比例函数的解析式为 ； (2)点A(2,-3),B(3,2)是否在函数图象上? (3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内，函数值y随自变量x的减小如何变化? 小结：在反比例函数中，常数k等于横、纵坐标的乘积. ★11.(思维能力)(2026 九江一模)已知A(2,m)是双曲线 上的一点，B是双曲线 上的一点，点B 的横坐标为-3，AB∥x轴，且P是x轴上的一点. (1)求 C₂的函数解析式； (2)求△PAB 的面积. 反比例函数的图象和性质(2) 知识点 根据反比例函数的图象和性质比较函数值的大小 (1)代入求值法 将已知的自变量的值直接代入反比例函数的解析式计算函数值，即可比较它们的大小. (2)图象直观法 在反比例函数的图象上标记两点的位置，根据图象的高低特点比较函数值的大小. (3)性质推导法 根据反比例函数在每个象限的增减性，比较函数值的大小. 1.(人教9上P73 改编、北师9下P36 改编)已知反比例函数 (1)若点(2,y₁),(4,y₂)在该函数图象上,则y₁ y₂; (2)若点((-2,y₃),(-4,y₄)在该函数图象上，则 (3)若点( -2,y₅),(4,y₆)在该函数图象上,则y₅ y₆. 2.(人教9上P71 改编)(2026成都模拟)已知点M(x₁,y₁),N(x₂,y₂);在反比例函数 的图象上，若： 则有( ) 知识点<根据图象解决变量的取值范围 (1)根据图象及自变量的取值范围确定函数值的取值范围； (2)根据图象及函数值的取值范围确定自变量的取值范围. 3.已知反比例函数 (1)在每个象限内，y随x的增大而 ； (2)当2≤x≤4时,y的取值范围是 . x ... 1 2 4 8 … y 4 2 1 … 4.已知在反比例函数 (k为常数,k≠0)中,函数y与自变量x的部分对应值如下表： (1)当 时，x的取值范围是 ； (2)当 时，x的取值范围是 5.【例 1】(2026 重庆模拟)若点A(x₁,-1),B(x₂,1),C(x₃,5)都在反比例函数 的图象上，则x₁,x₂,x₃的大小关系是( ) 8.(2026 青岛期末)已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)在反比例函数 的图象上，且 ,则y₁,y₂,y₃的大小关系是( ) 小结：可用前面讲的三种方法判断、代入求值法简单直接，图象直观法形象、直观. 6.【例2】(人教9 上 P73 改编)已知反比例函数 (k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3). (1)求这个函数的解析式； (2)当-3<x<-1时,求y的取值范围. 小结：求y的取值范围时，要考虑函数的增减性，用取特殊值法 9.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=-3. (1)写出该反比例函数的解析式； (2)当4≤y≤6时，求自变量x的取值范围. 7.【例3】(人教9上P73)已知点( 在反比例函数 的图象上. (1)当 时，求x的取值范围； (2)已知点, 在这个反比例函数的图象上，比较y₁，y₂，y₃的大小，并用反比例函数的性质说明理由. ★10.(代数推理)已知反比例函数 的图象上有P(t,y₁),Q(t+4,y₂)两点,请比较y₁,y₂,0的大小关系. 反比例函数的图象和性质(3) 知识点(双曲线 中k的几何意义(矩形) 过双曲线上任意一点 P(x，y)引x轴、y轴的垂线，则两垂线与坐标轴所围成的矩形面积 S矩形 =|x|·|y|=|xy|=|k|. 1.(北师9 下 P37 改编)如图,点B(3,2)在反比例函数y= 的图象上，过点 B作BA⊥x轴于点A,BC⊥y轴于点 C,则矩形AOCB 的面积为 . 知识点(双曲线 中k的几何意义(三角形) 过双曲线上任意一点M(x，y)引x轴的垂线，垂足为A，连接OM， 则△AMO 的面积 2.(2026 玉溪开学)如图,在平面直角坐标系中，A是反比例函数 图象上的一点,过点A 作AB⊥x轴于点B,△ABO 的面积为3,则k的值是( ) A. - 6 B.6 C. - 3 D.3 知识点 3 两支双曲线中面积问题(拓展) 在两支不同的双曲线图象形成的有关几何图形的面积问题中，通常用以下方法： (1)直接法 适合规则的图形，可以直接计算. (2)割补法 将所求图形分割成若干个小图形或作辅助线补成一个常规图形，利用以上知识点1、知识点2中的模型进行面积间的加减，进而求解. (3)转化法 将某些不易于计算面积的图形，利用同底等高、全等、对称等性质转化为易于计算的图形. (4)坐标法 设出某点坐标，根据解析式或已知关系表示出关联的点的坐标，进而求解. 3.(2026长沙开学)如图,正方形 ABCD 的顶点A，D分别在函数 和 0)的图象上，点B，C在x轴上. (1)正方形ABCD 的面积为 ; (2)求点 D 的坐标. 4.【例1】(2026成都一模)如图,已知点A 为反比例函数 的图象上一点，过点A作AB⊥y轴,垂足为点 B,若△OAB 的面积为3,则k的值为( ) A.3 B. - 3 C.6 D. - 6 5.【例2】(2026 宁夏模拟)如图,已知双曲线y= 经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C.若点A 的坐标为(- 6,4),求△AOC的面积. 6.【例3】如图，点P 在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点 P 且平行于x轴的直线分别交函数 和 于A,B 两点,则△ABC 的面积等于 . 7.(1)如图1 是两个反比例函数:(①y=k₁x,②y=k/x,它们在x轴上方的图象如图所示，由此推出k₁，k₂的大小关系是 . (2)(2026 咸阳期末改编)如图2，A，C是反比例函数 的图象上的任意两点，过A作y轴的垂线，垂足为 B，过C 作y轴的垂线,垂足为 D,记 Rt△AOB 的面积为 S₁,Rt△COD的面积为S₂,则 8.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点D(1，4)是BC 的中点，反比例函数 的图象经过点 D，并交AB 于点 E. (1)求k的值; (2)求五边形OAEDC 的面积S. 9.(几何直观、思维能力)(2026 北京开学)如图，已知反比例函数 和 (x<0)的图象分别为 C₁,C₂,点A是C₁上一点,过点A 作AB⊥x轴,垂足为点 B,AB 与 C₂交于点 D.若△AOD 的面积为2,则k的值为 . 反比例函数的图象和性质(4) 知识点 ❷ 根据图象比较两函数值的大小 (1)找出交点坐标； (2)过两个交点分别作 x轴的垂线； (3)两垂线与y轴把坐标平面分成四个部分(如图)； (4)观察每部分的图象，图象越高函数值越大. 1.(人教9上 P73 改编、北师9 下 P37 改编)如图,直线y =x +1 与双曲线 的交点为A(1,m)和B. (1)m的值为 ; (2)k的值为 ; (3)点B 的坐标为 . 2.如图，已知直线. 与双曲线 交于A(-1,3),B(1,-3)两点. (1)当 时， (2)当 时， (3)当 时, 3.【例1】(北师9 下 P37 改编)如图,直线 x+m与x轴，y轴分别交于点A，B，与双曲线 分别交于点 C,D,且点 C( -1,2). (1)求直线 AB 的解析式与双曲线的解析式； (2)点D 的坐标为 . 4.【例2】(北师9下 P39 改编)如图，直线 与双曲线 的图象交于 A(2,2),B(-1,-4)两点. (1)当 时,y₁=y₂; (2)当 时, (3)当 时, 7.(1)(2026雅安模拟)在同一平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 (x>0)的图象如图所示，则当y₁>y₂时，自变量x的取值范围为 ； (2)若(1)中去掉“x>0”,其他条件不变,则当 时，自变量x 的 取值范围为 小结：根据反比例函数与一次函数值的大小确定自变量取值范围的方法：过交点，画竖线，分区域，比大小(高大低小)…… 5.【例3】(2026 运城期末)如图,直线 (k≠0)与反比例函数 的图象相交于点A(-2,m),B(n,-1),与y轴交于点 C. (1)求直线y₁的解析式； (2)若 ，请直接写出满足条件的x的取值范围； (3)过点 C 作 x轴的平行线交反比例函数的图象于点 D，求△ACD的面积. ★8.(运算能力、思维能力)(2026 汕头期末)如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正方形OABC 的顶点 O 与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数. 的图象与正方形的两边AB，BC 分别交于点 M，N，连接OM,ON,MN. (1)证明:△OCN≌△OAM; (2)若∠MON=45°,求k的值. 小结：本题考查用数形结合思想解决一次函数和反比例函数的交点问题，再通过关键点求出取值范围和面积. 反比例函数的概念 知识点1 不等于0的一切实数 ②y=kx⁻¹ ③xy=k 1.(1)× (2)k=-3 (3)k=2 (5)× 2.(1)y= (2)4 (3)6 3.解：(1)设该函数的解析式为 ∵当x=2时,y=6, 解得k=12, ∴y与x之间的函数解析式为 (2)当x=4时, 4.【例1】A 5.【例2】3 6.【例3】解：由题意得 ∴v是t的反比例函数. 7.【例4】解:(1)∵y与x-2成反比例, ∴设y与x之间的函数解析式为 ∵当x=-2时, ∴y与x之间的函数解析式为 (2)当y=-6时, 解得x=4(经检验成立). 8.(1)D (2)B 9. - 3 10.解: 是反比例函数. 是反比例函数. 11.解:(1)∵y-2与3x-4成反比例, 将x=2,y=3代入,得 解得k=2, 即 (2)将点 P(a,-3)代入 得 解得 反比例函数的图象和性质(1) 知识点1 (2)双曲线 (3)><①第一、三 ②减小 ③第二、四 ④增大 (4)轴对称 1.填表画图略 2.填表画图略 3.(1)k<1 (2)点A(2,-4)在双曲线 上,点B(-3,3)不在双曲线 上 4.【例1】C 5.【例2】(1)双曲 一、三 减小 (2)双曲 二、四 增大 6.【例3】(1)四 (2)m<5 7.【例4】解: (2)∵2×(-3)=-6,3×2=6, ∴点A 在这个函数图象上，点 B 不在这个函数图象上. (3)函数 的图象位于第二、四象限；在每个象限内，函数值y随自变量x的减小而减小. 8. C 9. C 10. m<-3 11.解:(1)∵A(2,m)是双曲线 上的一点，∴将点A 的坐标代入得， ∵点B是双曲线 上的一点，点 B 的横坐标为-3,AB∥x轴, 将点B的坐标代入 得 解得k=-9, ∴C₂的函数解析式为 (2)由(1)得A(2,3),B(-3,3), ∵AB∥x轴,∴AB=2-(-3)=5, 反比例函数的图象和性质(2) 1.(1)> (2)< (3)< 2. A 3.(1)减小 4.(1)2<x<8 (2)-8<x<-2 5.【例1】B 6.【例2】解:(1)把点A(2,3)代入解析式,得k=6, ∴这个函数的解析式为 (2)∵当x=-3时,y=-2,当x=-1时,y=-6,又由k>0知,在x<0时,y随x的增大而减小, ∴当-3<x<-1时,-6<y<-2. 7.【例3】解:(1)点(-2,-4)在反比例函数 上，∴k=(-2)×(-4)=8,∴y= 当x>0时,解得x>2;当x<0时,显然成立, ∴x的取值范围是x<0或x>2. 理由如下： 由(1)可知反比例函数在第一、三象限上，由反比例函数的图象可知，在每一象限上y随x的增大而减小，故可得 <y₃. 8. B 9.解:(1)设 把x=2,y=-3代入,得 解得k=-6, ∴该反比例函数的解析式为 (2)当y=4时, 解得 当y=6时, 解得x=-1. 又由k<0知，在x<0时，y随x的增大而增大， ∴当4≤y≤6时, 10.解：∵反比例函数 中,k=4>0, ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ①当t<-4时,t+4<0,P(t,y₁),Q(t+4,y₂)在第三象限,∵t<t+4,∴y₂<y₁<0; ②当-4<t<0时,P(t,y₁)在第三象限,Q(t+4,y₂)在第一象限,∴y₁<0,y₂>0,∴y₁<0<y₂; ③当t>0时,t+4>0,P(t,y₁),Q(t+4,y₂)在第一象限,∵0<t<t+4,∴y₁>y₂>0. 反比例函数的图象和性质(3) 1.6 2. A 3.解:(1)9 (2)由(1)得正方形ABCD 的面积为9, ∴正方形 ABCD 的边长为3,即CD=3,∴yD=3, 在 中,当y=3时,x=2,∴D(2,3). 4.【例1】D 5.【例2】解:∵D为OA的中点,点A 的坐标为(-6,4),∴点 D 的坐标为(-3,2), 把(-3,2)代入 得k=-6, 即双曲线的解析式为 ∵AB⊥OB,点A 的坐标为(-6,4), 6.【例3】3 7.(1)k₁>k₂ (2)1 8.解:(1)把D(1,4)代入 得k=1×4=4. (2)∵四边形OABC是矩形,D(1,4)是BC的中点, ∴BC=2CD=2,∴B点坐标为(2,4), 把x=2代入 得 ∴E(2,2),∴BE=2, ∴S=2×4-1=7,即五边形OAEDC的面积为7. 9. - 5 反比例函数的图象和性质(4) 1.(1)2(2)2(3)(-2,-1) 2.(1)x=-1或x=1 (2)x<-1或0<x<1 (3)-1≤x<0或x≥1 3.【例1】解:(1)把点C(-1,2)代入 得2=-1+m,解得m=3, ∴直线AB的解析式为 ∵点 C(-1,2)在双曲线 上， ∴k=-1×2=-2, ∴双曲线的解析式为 (2)(-2,1) 4.【例2】(1)x=-1或x=2 (2)-1<x<0或x>2 (3)x<-1或0<x<2 5.【例3】解:(1)将A(-2,m),B(n,-1)分别代入 得-2m=-8,-n=-8,解得m=4,n=8, ∴A(-2,4),B(8,-1), 把A(-2,4),B(8,-1)分别代入 得 解得 ∴直线y₁的解析式为 (2)由图象可知,当y₁>y₂时,x<-2或0<x<8. (3)把y=3代入 中，得 6.解:(1)将y=0代入y=2x-4,得2x-4=0,解得x=2,∴A(2,0), 将x=0代入y=2x-4,得y=-4,∴B(0,-4). (2)∵B(0,-4),∴OB=4, ∵OB=2OD,∴OD=2,..点D的纵坐标为2, 将y=2代入y=2x-4,得x=3,∴C(3,2),∵双曲线 过点C,∴k=3×2=6. 7.(1)1<x<3 (2)x<0或1<x<3 8.(1)证明:根据题意,CO=AO=2,设点 M 坐标为(2,yM),点N坐标为(xN,2). ∵点M，N在反比例函数 的图象上. 即 在△OCN和△OAM中, ∴△OCN≌△OAM(SAS). (2)解:由(1)知△OCN≌△OAM,则 ON = OM,∠CON=∠AOM, 如图,连接OB交 MN于点 P, 根据正方形的性质,∠CON +∠NOP =∠AOM +∠MOP=45°,∠PBN=45°. ∵∠MON=∠NOP +∠MOP=45°, ∴OP为∠MON的平分线,ON 为∠COP 的平分线,OM 为∠AOP 的平分线. ∴OP⊥MN,NP=MP. ∴△PBN为等腰直角三角形， 根据角平分线的点到角两边的距离相等，则 CN=NP =MP=AM. 则 学科网（北京）股份有限公司 $