专题27.2 反比例函数的图像和性质 讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题27.2 反比例函数的图像和性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 画反比例函数图像 题型2 反比例函数的图像性质 题型3 反比例函数的增减性 题型4 求反比例函数解析式 题型5 “k”的几何意义 1.  理解反比例函数的概念，能判断给定的函数是否为反比例函数； 2.能根据实际问题中的数量关系，写出反比例函数表达式； 3.比较正反比例函数，培养类比、归纳的思维能力. 知识点讲解 1. 反比例函数的图像和性质 反比例函数 y= （k）图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点成中心对称，且关于直线y=x和y=-x轴对称； 两支曲线无限接近坐标轴但永不相交(坐标轴是渐近线)； （1）k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； （2）k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； 2. k的几何意义 过双曲线 y= 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。若连接该点与原点，则与坐标轴围成的直角三角形面积为|k|. 3.【拓展】 反比例函数的图像既是轴对称图像对称轴是直角坐标系象限的角平分线， 反比例函数的图像又是中心对称图形，对称中心是原点。 画函数图像时列表描点一定要注意取值“均匀分布”。 题型归纳 题型1 画反比例函数的图像 【例1】已知反比例函数 (1)直接写出自变量x的取值范围． (2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像； x … … y … … (3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)y随x的增大而增大 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键． （1）根据分母不为零即可得解； （2）根据自变量的取值范围，给定x的值，并求出相应的y的值，并描点连线即可； （3）根据画出的图象回答即可． 【详解】（1）解：分母不为零可知：自变量x的取值范围是； （2）解：列表格如下： x … -6 1 2 3 4 6 … y … 1 1.5 2 3 6 … 描点并连线如下： （3）由图象可知：在每一个象限y随x的变化是y随x的增大而增大． 【例2】填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 【详解】解： 1 2 4 -4 4 2 1 【变式练习】 1．在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 【详解】（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：. （2）描点连线绘制函数图像如下： 2．在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数与的图象． 【详解】解：列表 -6 -0.5 0.5 6 -0.5 -6 6 0.5 0.5 6 -6 -0.5 描点，连线，如图即为两函数图象； 题型2 反比例函数的图像性质 【例1】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：根据定义，为反比例函数， ∵， ∴两支曲线分别位于第二、四象限内， 故选A． 【例2】下列图象与函数图象相符的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第三象限； ∴与函数图象相符的是： ． 【例3】如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为______． 【详解】由题意得：， 当时，， ， ， 故答案为：． 【变式练习】 1．反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 2．已知，则函数和的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【详解】解：∵， ∴的图象经过二、四象限， ∵， ∴的图象在一、三象限． 故选： D． 3．物理课上我们已经学习了密度ρ、质量m、体积V之间满足公式：．在解决具体问题中，由于给定的量不同，我们常常需要对这个公式进行变形，因此也会相应产生不同的函数图像，下列图像中不可能产生的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：当m一定时，公式为，这是反比例函数，故A符合； 当ρ一定时，公式可变形为，这是正比例函数，故C符合； 当V一定时，或，这是正比例函数，故B不符合，D符合； 故选：B． 4．矩形面积为，相邻两边长为和，则y与x的函数图象大致是（    ） A．第一象限的直线 B．第一象限的双曲线 C．第一、三象限的双曲线 D．第二象限的曲线 【详解】解：∵矩形面积为，相邻两边长为和， ∴，即， ∴y是x的反比例函数， 矩形的边长为正数， ，， ∴y与x的函数图象大致是第一象限的双曲线， 故选：B． 5．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图象经过点， ， 该反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， 故选：D． 6．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位第二、四象限，则k的取值范围是________． 【详解】解：∵反比例函数的图象位第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 7．已知反比例函数，下列选项正确的是（     ） A．点在函数图象上 B．若点在函数图象上，则点也在图象上 C．当时， D．y随x的增大而减小 【详解】解：已知反比例函数，可得，比例系数： 对于选项A：将点代入验证，得， ∴点不在函数图象上， ∴A错误，该选项不符合题意； 对于选项B：∵点在函数图象上， ∴， 对于点，，满足函数关系式， ∴点也在函数图象上， ∴B正确，该选项符合题意； 对于选项C：当时，， ∴C错误，该选项不符合题意； 对于选项D：∵， ∴反比例函数图象在第二、四象限，只有在每个象限内随的增大而增大，并非对所有，随增大而减小， ∴D错误，该选项不符合题意． 题型3 反比例函数的增减性 【例1】关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，选项B正确； 且在每个象限内，随的增大而减小， ∵ 对应第三象限， ∴ 当时，随的增大而减小，选项A正确； 将代入解析式，得 ，与点的纵坐标一致， ∴ 点 在函数图象上，选项C正确； 当时，， ∵ 时，随的增大而减小， ∴ 当时，， 因此D错误选项． 【例2】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵中，， ∴图象在在各象限，随的增大而减小， ∵，， ∴，， ∴． 【变式练习】 1．已知反比例函数，下列选项正确的是（     ）． A．函数图象在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．随的增大而增大 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象的两支分布在第二、四象限，故选项C正确，选项A错误； ∵当时，反比例函数仅在每个象限内满足随的增大而增大， ∴选项B错误，选项D未说明“在每个象限内”，故选项D错误． 2．已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小， ∵ ， ∴  . 3．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 4．已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：∵反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小， ∴， 解得． 5．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．如果，那么的值可以为______（写出一个即可）． 【详解】解：∵点，的横坐标都大于， 两点在同一象限， ∵， ∴在该象限内，随的增大而减小， ∴由反比例函数的性质可得， 的值可以为， 故答案为：．（答案不唯一） 6．已知反比例函数（为常数）． (1)若点在该反比例函数的图象上，则的值为___________； (2)当时，的值随值的增大而减小，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在该反比例函数的图象上， ∴ ∴； （2）解：反比例函数（为常数），当时，的值随值的增大而减小， ． ． 7．已知反比例函数（为常数，）． (1)若该反比例函数图象与正比例函数的图象的一个交点为P，且点P的纵坐标是2，求k的值． (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 【详解】解：（1）把代入得：， 即， 代入得：， 解得：； （2）由题意知，， 解得． 8．一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 【详解】（1）解：将代入得 ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得， ． 题型4 求反比例函数的解析式 【例1】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或 【例2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ，即 在反比例函数的图象上 ，解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：在反比例函数的图象上 ∴， 解得，即 轴 点的横坐标与点的横坐标相等， 将代入，得，即 ． 【变式练习】 1．已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，顶点与原点重合，点， ∴， ∵点， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当点沿轴正半轴平移个单位长度后，得到的点坐标为， 将代入， 得， 解得． 题型5 反比例函数“k”的几何意义 【例1】如图，点，是反比例函数图象上的点，过点A和B分别作坐标轴的垂线，得到矩形和矩形，它们的面积分别为和．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【详解】解：∵点，是反比例函数图象上的点， ∴，， 矩形的面积为， 矩形的面积为， ∴， 故选：B． 【例2】反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 【例3】如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（   ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【详解】解：如图，连接 ，，设 与 轴交于点 ， 轴， ， 点 ， 分别为反比例函数 ，的图象上的点， ，， ． 【变式练习】如图，点为坐标原点，在反比例函数的图象上有一点轴，轴，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．矩形的面积为4 B．该反比例函数图象的另一个分支在第二象限 C．当时， D．随的增大而增大 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，故C选项正确； ∴， 则矩形的面积为，故A选项错误； ∵反比例函数的反比例系数， ∴该反比例函数图象的另一个分支在第三象限，故B选项错误； 且由图象可知，随的增大而减小，故D选项错误． 故选：C ． 2．如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， ∴； 故选：D． 3．如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（   ） A．5 B．3 C． D． 【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知：的面积为，的面积为，的面积为， ， 的面积为． 故选D． 4．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与矩形的边交于点，且，求矩形的面积． 【答案】12 【分析】本题主要考查矩形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握矩形的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键；过点E作于点F，由题意易得四边形是矩形，然后由反比例函数k的几何意义可知：，进而根据可进行求解． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， 由反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【详解】（1）解：将点向右平移3个单位长度， 此时坐标为， 再向下平移4个单位长度得到点B， 由平移可知． ∵点与均在反比例函数的图象上， ∵，解得． 将代入， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为． 又∵，， ∴点D的纵坐标为4． 令，解得， ∴， ∴． 又∵点C到的距离为， ∴． 6．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：把点代入得： ， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ． （2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴． ∴． （3）解：反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 所以根据图象得：不等式的解集为或． 7．如图，直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求（O为坐标原点）的面积． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． ∴把点代入解析式得， 解得； ∴直线解析式， 把点代入解析式得， 故点 把点代入解析式得， 故反比例函数的解析式为. （2）解：由，，得， 根据题意，得． 过关练习 一、单选题 1．反比例函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项点的横坐标代入函数解析式，计算出对应值，即可判断． 【详解】解∵ 反比例函数解析式为 ， 当时，，错误，A不符合题意； 当时，，错误，B不符合题意； 当时，，错误，C不符合题意； 当时，，正确，D符合题意． 2．反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，对每个选项逐一进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ∵A选项表述图象位于第二、四象限，与上述结论矛盾，∴A错误， ∵当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，∴B正确， ∵将代入，得∴图象不经过点，C错误． ∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出∴D错误． 故选：B． 4．已知反比例函数的图象经过点，则该函数图象所在的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．先通过已知点求出k的值，再根据k的正负判断函数图象所在象限． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 将点代入函数表达式得， ， 当时，函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 5．若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点A的坐标代入解析式即可求出k的值． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴将，代入函数解析式，得， ， 解得． 6．如图，点是反比例函数图像上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为（    ）    A．1.5 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：设， 轴，轴，， 四边形是长方形， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 7．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质解题，先根据函数解析式判断比例系数的符号，得到函数在第三象限的增减性，再结合的大小关系比较的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， 点、都在第三象限的函数图象上， ． 8．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征，熟练掌握反比例图象上的点的横纵坐标的积是定值是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标分别代入解析式计算出、、的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴当，，时，，，， ∵， ∴． 故选：B． 9．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．结合图象解答即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线交于点和点， ∴由图象可得，当或时，， 故选：C． 10．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键； 如图，设与y轴交于点D，连接，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解. 【详解】解：如图，设与y轴交于点D，连接， ∵轴， ∴， ∵点A在上，点B在上， ∴， ∴； 故选：A. 二、填空题 11．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，写出一个满足条件的反比例函数解析式__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据题意，当时，随的增大而增大，可得， 取，可得反比例函数解析式为（答案不唯一）． 12．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第一、三象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：当时，图象分别分布在第一、三象限；当时，图象分别分布在第二、四象限． 根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴． 故答案为： 13．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，的面积为3，则k的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解此题的关键．由题意得，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得出． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 14．已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么_________（请写出一个符合条件的k值）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，由点A和点B的横坐标大小关系及纵坐标大小关系，判断函数图象的象限和增减性，从而确定k的取值范围，并写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， 又∵，且， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴双曲线位于第一、三象限， ∴， 故可取（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一） 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，利用函数图象求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义． 关于x的不等式的意义为一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，由此对照图象写出不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为：或． 故答案为：或． 16．反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，推导出 ，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接， ∵轴， ， ∴， ， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ， 故答案为：． 三、解答题 17．如图，反比例函数与一次函数的图像相交于、两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)连接、，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数与几何的综合． (1)利用待定系数法求出函数的解析式； (2)根据一次函数的解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，根据求出的面积． 【详解】（1）解：将代入， 可得：，     反比例函数解析式为，     将代入反比例函数解析式， 可得：， 点的坐标为，     将、两点的坐标代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为．     （2）解：， 当时，， 点的坐标是， ， 当，， 解得：， 点的坐标是， ， ，，     ． 18．，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，． (1)求点B的坐标； (2)求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是熟练掌握两个函数的性质． （1）先根据直线方程求解出点A的坐标，再由可求解，由此可得点B的坐标； （2）先利用直线方程求解出点C的坐标，再将点C代入反比例函数中即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令， 解得， ∴，即， ∵， ∴， ∴点B的坐标为． （2）解：∵轴，B的坐标为， ∴点C的横坐标为， ∵点C在直线上， ∴，解得， ∴点， ∴将点代入中， ∴， 解得 ∴反比例函数的解析式为． 19．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． (1)求的值和一次函数的表达式； (2)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先把点坐标代入求出得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用函数图象，写出反比例函数在一次函数下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由可知，反比例函数在一次函数下方， ∴不等式的解集或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数与一次函数的解析式，数形结合是解题的关键． 20．已知直线和双曲线，把直线向左平行移动5个单位． (1)求平移后所得的直线的函数解析式． (2)平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由． 【答案】(1) (2)相交，交点坐标为和 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，结合直线向左平行移动5个单位，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）所求解析式和反比例函数解析式联立方程组进而计算可得交点坐标． 【详解】（1）解：由题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律， 直线为， 又直线向左平行移动5个单位， 平移后所得的直线的函数解析式为，即 （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 整理得 解得：， 当，代入得， 当，代入得 ∴平移后所得的直线与已知双曲线相交,交点坐标为和 21．如图，在平面直角坐标系中，记函数的图象为，直线：经过点，与图象交于，两点． (1)求的值，并在图中画出直线； (2)当点与点重合时，点在第一象限内且在直线上，过点作轴于点． ①求点的坐标； ②连接，若，求的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2)①；② 【分析】（1）把点代入解析式求出b，即可； （2）①求出图象的解析式，再联立两函数解析式，即可；②根据题意可得，，再由，列出不等式，即可． 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴直线过点， 画出直线如下： （2）解：①根据题意得：点， 把点代入得：， ∴图象的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； ②如图， ∵点在第一象限内且在直线上， ∴， ∵轴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：． 22．如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)反比例函数的图象关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标． 【答案】(1)反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点的坐标即可； （3）根据轴对称的性质可得，设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为，过A作轴于K，过作轴于L，通过证明，得到点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ 将代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； （2）设点，则点， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得，舍）， ∴． （3）解：反比例函数的图象关于轴对称的图象为， ∴ 设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为， 过作轴于K，过作轴于L，如图： 则，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题27.2 反比例函数的图像和性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 画反比例函数图像 题型2 反比例函数的图像性质 题型3 反比例函数的增减性 题型4 求反比例函数解析式 题型5 “k”的几何意义 1.  理解反比例函数的概念，能判断给定的函数是否为反比例函数； 2.能根据实际问题中的数量关系，写出反比例函数表达式； 3.比较正反比例函数，培养类比、归纳的思维能力. 知识点讲解 1. 反比例函数的图像和性质 反比例函数 y= （k）图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点成中心对称，且关于直线y=x和y=-x轴对称； 两支曲线无限接近坐标轴但永不相交(坐标轴是渐近线)； （1）k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； （2）k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； 2. k的几何意义 过双曲线 y= 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。若连接该点与原点，则与坐标轴围成的直角三角形面积为|k|. 3.【拓展】 反比例函数的图像既是轴对称图像对称轴是直角坐标系象限的角平分线， 反比例函数的图像又是中心对称图形，对称中心是原点。 画函数图像时列表描点一定要注意取值“均匀分布”。 题型归纳 题型1 画反比例函数的图像 【例1】已知反比例函数 (1)直接写出自变量x的取值范围． (2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像； x … … y … … (3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 【例2】填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 【变式练习】 1．在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 2．在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数与的图象． 题型2 反比例函数的图像性质 【例1】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列图象与函数图象相符的是（    ） A． B． C． D． 【例3】如图是三个反比例函数，，在y轴右侧的图象，则，，的大小关系为______． 【变式练习】 1．反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 2．已知，则函数和的图象大致是（    ） A．B．C． D． 3．物理课上我们已经学习了密度ρ、质量m、体积V之间满足公式：．在解决具体问题中，由于给定的量不同，我们常常需要对这个公式进行变形，因此也会相应产生不同的函数图像，下列图像中不可能产生的是（    ） A． B． C． D． 4．矩形面积为，相邻两边长为和，则y与x的函数图象大致是（    ） A．第一象限的直线 B．第一象限的双曲线 C．第一、三象限的双曲线 D．第二象限的曲线 5．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 6．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位第二、四象限，则k的取值范围是________． 7．已知反比例函数，下列选项正确的是（     ） A．点在函数图象上 B．若点在函数图象上，则点也在图象上 C．当时， D．y随x的增大而减小 题型3 反比例函数的增减性 【例1】关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 【例2】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 1．已知反比例函数，下列选项正确的是（     ）． A．函数图象在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．随的增大而增大 2．已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 3．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．如果，那么的值可以为______（写出一个即可）． 6．已知反比例函数（为常数）． (1)若点在该反比例函数的图象上，则的值为___________； (2)当时，的值随值的增大而减小，求的取值范围． 7．已知反比例函数（为常数，）． (1)若该反比例函数图象与正比例函数的图象的一个交点为P，且点P的纵坐标是2，求k的值． (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 8．一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 题型4 求反比例函数的解析式 【例1】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【变式练习】 1．已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 题型5 反比例函数“k”的几何意义 【例1】如图，点，是反比例函数图象上的点，过点A和B分别作坐标轴的垂线，得到矩形和矩形，它们的面积分别为和．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【例2】反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【例3】如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（   ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【变式练习】如图，点为坐标原点，在反比例函数的图象上有一点轴，轴，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．矩形的面积为4 B．该反比例函数图象的另一个分支在第二象限 C．当时， D．随的增大而增大 2．如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 3．如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（   ） A．5 B．3 C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与矩形的边交于点，且，求矩形的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 6．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 7．如图，直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求（O为坐标原点）的面积． 过关练习 一、单选题 1．反比例函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则 4．已知反比例函数的图象经过点，则该函数图象所在的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 5．若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（   ） A．3 B． C． D． 6．如图，点是反比例函数图像上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为（    ）    A．1.5 B．3 C．6 D．9 7．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 9．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 10．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 二、填空题 11．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，写出一个满足条件的反比例函数解析式__________． 12．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第一、三象限，则m的取值范围是________． 13．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，的面积为3，则k的值为_____． 14．已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么_________（请写出一个符合条件的k值）． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________． 16．反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 三、解答题 17．如图，反比例函数与一次函数的图像相交于、两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)连接、，求的面积． 18．，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，． (1)求点B的坐标； (2)求反比例函数的解析式． 19．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，． (1)求的值和一次函数的表达式； (2)直接写出关于的不等式的解集． 20．已知直线和双曲线，把直线向左平行移动5个单位． (1)求平移后所得的直线的函数解析式． (2)平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，记函数的图象为，直线：经过点，与图象交于，两点． (1)求的值，并在图中画出直线； (2)当点与点重合时，点在第一象限内且在直线上，过点作轴于点． ①求点的坐标； ②连接，若，求的取值范围． 22．如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)反比例函数的图象关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $