27.3实际问题与反比例函数（第3课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦实际问题与反比例函数，通过实验数据建立函数模型。课堂导入对比“精确建模”与“近似建模”，梳理从直接建立解析式到基于实验数据建模的知识脉络，搭建学习支架。 该资料以气体压强与体积关系为核心探究，完整经历“收集数据→画散点图→判断函数类型→建立模型→检验模型→解决问题”过程。通过计算乘积验证、误差对比等环节，培养学生数学眼光（抽象能力、创新意识）、数学思维（推理意识），发展模型观念与数据意识。助力学生掌握近似建模方法，为教师提供可操作的探究式教学范例。

27.3 实际问题与反比例函数（第3课时）教学设计 一、课标要求 能根据实验或调查得到的数据绘制散点图，通过观察散点的分布特征选择合适的函数模型（反比例函数），利用待定系数法求函数解析式，并用模型解决实际问题，体会建立函数模型解决实际问题的完整过程。 二、教学目标 1、能根据实验数据绘制散点图，通过散点图判断变量之间的近似反比例函数关系； 2、会用待定系数法求反比例函数的近似解析式，并利用模型进行估算； 3、经历“收集数据→画散点图→判断函数类型→建立模型→检验模型→解决问题”的完整过程，发展数据分析观念和建模意识。 三、教学重点 根据实验数据绘制散点图，观察散点分布特征，选择合适的函数模型并求出解析式。 四、教学难点 根据散点图判断函数类型，理解“近似建模”与“精确建模”的区别，利用模型进行估算。 五、教学过程 （一）情景引入 【师生活动】 教师引导：函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型。面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题。 在前两节课中，我们根据题目给出的等量关系直接建立了反比例函数解析式（精确建模）。但在实际生活中，我们常常需要通过实验获得数据，再根据数据寻找规律（近似建模）。今天我们就来研究如何从实验数据中发现反比例函数关系。 【设计意图】 通过对比“精确建模”与“近似建模”，引出本节课的核心问题——如何从实验数据中建立函数模型，激发学生探究欲望。 （二）探究新知——气体压强与体积的关系 【问题情境】 某物理实验小组研究气体的压强 （单位：）与体积 （单位：）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了 组数据： 序号 体积 压强 气体的压强 与体积 是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为 时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）。 【师生活动】 教师引导学生按以下步骤展开探究： 第一步：画散点图，观察分布规律。 教师指导学生在坐标系中描出 个数据点 ： 学生动手画散点图，观察点的分布状况。 教师追问：这些点大致呈现什么趋势？能用什么类型的函数来拟合？ 学生观察后发现：随着 的增大， 逐渐减小，这些点大致分布在一条类似双曲线的曲线附近，可以尝试用反比例函数来近似描述。 第二步：计算 的乘积，验证反比例关系。 教师引导学生计算每组数据中 与 的乘积 ： 序号 教师提问： 的值有什么特点？ 学生发现： 组数据的 值都在 附近波动，说明 ，压强 与体积 近似满足反比例关系。 第三步：建立函数模型。 取 的平均值： 为便于计算，取 ，建立近似函数模型： 第四步：检验模型。 将各组 值代入 ，与实验数据对比： 实验值 模型值 误差 教师引导：模型值与实验数据非常接近，误差很小，说明模型拟合效果较好。 第五步：解决问题。 当 时， 答：当压强为 时，气体的体积约为 。 【设计意图】 本题是本节课的核心探究活动，让学生完整经历“画散点图→观察分布→计算验证→建立模型→检验模型→解决问题”的全过程。通过对比实验值与模型值，让学生体会“近似建模”的思想，理解模型与真实数据之间存在合理误差。 （三）拓展思考——精确建模与近似建模的区别 【师生活动】 教师提出问题：回顾“探究”过程，与以往所学的精确定模相比，本节课的建模有什么不同？ 学生讨论后，教师总结： 以往所学的函数模型，通常是数据能精确满足函数解析式（即点完全落在函数图象上），属于精确建模；而本节课是通过观察散点分布，选择反比例函数来近似描述实际关系，数据只是近似满足函数解析式，属于近似建模。 【设计意图】 通过对比精确建模与近似建模的区别，帮助学生理解函数建模的层次性，发展数据分析观念。 （四）小结 【师生活动】 教师引导学生总结建立函数模型解决实际问题的一般步骤： 建立函数模型解决实际问题的步骤： 1. 收集数据：通过实验或调查获取数据； 2. 画散点图：观察点的分布，判断函数类型； 3. 建立模型：设函数解析式，求参数值； 4. 检验模型：验证模型与实际的吻合程度； 5. 解决问题：利用模型解决实际问题。 【设计意图】 通过归纳建立函数模型的完整步骤，帮助学生形成系统的建模思路，提升数学建模素养。 （五）巩固练习 A组（基础巩固） 1. 在某一电路中，电源电压 保持不变，电流 （单位：）与电阻 （单位：）之间的函数关系如图所示。 （1）求 与 之间的函数解析式； （2）结合图象回答：当电路中的电流不超过 时，电路中电阻 的取值范围是什么？ 【解题过程】 （1）由图象可知， 与 成反比例关系，设 由图象经过点 ，代入得 所以 与 之间的函数解析式为 （2）由题意 ，即 因为 ，两边同乘 ，得 答：当电路中的电流不超过 时，电阻 的取值范围为 。 【设计意图】 A组以欧姆定律为背景，考查学生从图象中获取信息、用待定系数法求解析式、利用增减性求变量范围的基本能力。 B组（综合提升） 2. 某科学兴趣小组在探究弹簧拉伸实验中，记录了不同拉力下弹簧的伸长量数据如下： 拉力 伸长量 （1）伸长量 与拉力 之间是什么函数关系？请写出解析式； （2）若弹簧的最大伸长量为 ，求此时拉力 的值。 【解题过程】 （1）由数据表可知， 与 的比值为定值： 所以 与 成正比例关系，设 代入点 ，得 。 所以 关于 的函数解析式为 （2）当 时， 答：当弹簧伸长量为 时，拉力 为 。 【设计意图】 B组以弹簧拉伸实验为背景，引导学生区分正比例函数与反比例函数两种不同的模型，避免思维定势。通过对比不同类型的函数模型，帮助学生建立“根据数据特征选择合适模型”的意识。 学科网（北京）股份有限公司 $