14.1《全等三角形垂直模型》讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学全等三角形垂直模型核心知识点，系统梳理三垂直模型的构造与应用，3α模型的变形拓展，以及射影与角平分线结合的综合模型，形成从基础到综合的学习支架。 资料通过引例动态探究、例题分层应用及巅峰突破，培养学生几何直观与推理能力，如三垂直模型引例中直线旋转探究线段关系，3α模型结合正多边形体现模型意识，课中辅助教师教学，课后自测助力学生查漏补缺。

第二讲 全等三角形 模块一：三垂直模型 知识梳理 三垂直模型的构造 1过等腰直角三角形的直角顶点作任意一条直线（不与直角边重合）： 2过等腰直角三角形的两个锐角顶点向该直线作垂线： 3它们与等腰直角三角形的两腰所围成的两个直角三角形全等 图1中的直角三角形经过平移后可以得到另外两个有垂直和全等三角形的图形，如下图所 示： 图1 图2 图3 ×例题精讲 【引例】三垂直模型初识 己知等腰RIAABC,∠ACB=90°，直线MN过点C,过点A作AD⊥MN垂足为D,过点B 作BE⊥MN垂足为E. (1)当MN绕点C运动到图1的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系； (2)当MN绕点C运动到图2的位置时，你在（①）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜 想，并加以证明： (3)当MW绕点C运动到图3的位置时，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜 想，并加以证明. M- 图1 图2 图3 【例1】三垂直模型应用 (I)如图，已知长方形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC,且 EF=EC,DE=4cm,长方形ABCD的周长为32Cm,则AE的长为 y (②)课间，小余拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示AC=BC, ∠ACB=90°，AD⊥DE,BE⊥DE,已知DE=42Cm,请你帮小余求出砌墙砖的厚度a的 大小（每块砖的厚度相等）. (3)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，CF交AB于点E,BD⊥CF,AF⊥CF 若DF=5,AF=3,则CF的长为 【例2】三垂直模型应用 如图，在等腰RtAABC中，∠ACB=9O°，D为BC的中点，DE⊥AB,垂足为E,过点B 作.BFIIAC交DE的延长线于点F,连接CF, ①求证：BF-4C, (2)求证：AD⊥CF: (3)连接AF,试判断△ACF的形状. C G 【例3】三垂直模型与坐标系综合 (2023七十五中学期末)等腰Rt△ABC中，∠ACB=90,CA=CB,点A、C分别在x轴、y 轴的正半轴上. (1)如图1，求证：∠BC0=∠CA0: (2)如图2，若OA=5,OC=2,求B点的坐标. y y >X O 的 图1 图2 模块二：3α模型 国知识梳理 常见的3α模型是由三垂直模型变形得到的 2 X例题精讲 【引例】已知CD为经过∠BCA的顶点C的一条直线，且CA=CB.E、F分别是直线CD上 的两点，且∠BEC=LCFA=a, (I)如图1，若∠BCA=90°，a=90°，‘则BECF,ECAF,EF BE+AF(填 ·>”、'<”或”) (2)如图2，若0°<∠BCA<180°，若a=∠BCA,问(I)中的结论是否依然成立，并证明. 【例4】3a模型的初识 如图的△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC, (I)证明△ABD≌aCAE: (2)判断DE、BD、CE三条线段的数量关系，并证明. C D A E 【例5】3a模型的应用 请阅读，完成证明和填空. 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内 容如下： ①如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N,使BM=AN,连接BN、 CM.请证明：∠NOC=60° ②如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、 DM,那么AN= 且∠DOW= ③如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接 AN、EM,那么AN= 且∠EON= ④在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测， 用一句话概括你的发现： A M M B N 图1 图2 图3 【例6】3a模型与动点结合 如图，等边△EBC中，EC=BC=3Cm,点O在BC上，且OC=2Cm,动点P从点E沿射线 EC以lcm/s的速度运动，连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转l20°得到线段OF.设 点P运动的时间为秒，问： (I)当t是多少时，OF∥ED? (2)当t是多少时，OF⊥BC? (3)当t是多少时，点F恰好落在射线EB上？ D E 模块三：射影+角平分线模型 国知识梳理 射影：自点P向直线a引垂线所得到的垂足Q叫做点P在直线a上的射影 P <例题精讲 【例7】射影+角平分线 在RIAABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D.过C点作CG⊥AB交AD于E,交 AB于G,过D点作DF⊥AB于F,求证：CF⊥AE, y 12 【例8】射影+角平分线 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,∠ABC的角平分线BE交CD于G, 交AC于E,M是CG上一点且满足CM=DG. 求证：(I)CG=CE:(2)EMAB C E D B 巅峰突破 【突破1】(I)如图1，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,请按照图中所标注 的数据计算图中实线所围成的图形的面积； (2)如图2，在R1△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB 连接B'C,求△AB'C的面积 B E、 D B B 【突破2】已知：在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上运动，且 ∠ACB=90°，AC=BC A(0,-2)CL,0) (1)如图1，当 0,点B在第四象限时，则点B的坐标为一 (2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在'轴正半轴上运动，点B在第四象限时， OC+BD OC-BD 作BD1y轴于点D’试判断OA与OA哪一个是定值，并说明定值是多少？请 证明你的结论. A 0 图1 图2 【突破3】如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是边BC的中点，∠ADE=60°，且DE 与∠ACB的外角平分线CE相交于点E. (I)证明：△ADE是等边三角形： (2)若D是线段BC上(B、C点除外)的任意一点，其他条件不变（如图2），那么(1)的结论是 否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 (3)若D是BC的延长线上(C点除外)的任意一点，其他条件不变（如图3），那么(1)的结论是 否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由 c D 图1 图2 图3 课后自测 【练习1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且 AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,AD=5,BE=2,求线段DE的长 D 【练习2】如图，已知Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC,D是BC的中点，CE⊥AD, 垂足为E.BFIAC,交CE的延长线于点F.求证：AC=2BF. 【练习3】如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D是AB上任意一点，过点A作 AE⊥CE交CD延长线于E,过点B作BF⊥CD交CD延长线于F.求证：EF=BF-AE. 【练习4】如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且 BD=CE,∠DEF=∠B.图中是否存在和△BDE全等的三角形？说明理由. D 【练习5】在R1△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于E,过E作EF⊥AB于点F, 再过C作CD⊥AB交BE于G,求证：CE=FG, CN E 答案版 模块一：三垂直模型 知识梳理 三垂直模型的构造 1过等腰直角三角形的直角顶点作任意一条直线（不与直角边重合）： 2过等腰直角三角形的两个锐角顶点向该直线作垂线： 3它们与等腰直角三角形的两腰所围成的两个直角三角形全等 图1中的直角三角形经过平移后可以得到另外两个有垂直和全等三角形的图形，如下图所示： 6X1 图1 图2 图3 凶例题精讲 【引例】三垂直模型初识 己知等腰RIAABC,∠ACB=90°，直线MN过点C,过点A作AD⊥MN垂足为D,过点B 作BE⊥MN垂足为E. ()当MN绕点C运动到图1的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系： (2)当MN绕点C运动到图2的位置时，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜 想，并加以证明： (3)当MW绕点C运动到图3的位置时，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜 想，并加以证明。 D B M 图1 图2 图3 【答案】(I)DE=AD+BE: (2)AD=DE+BE,证明△ADC≌aCEB: (3)BE=AD+DE,证明△ADC≌aCEB 【例1】三垂直模型应用 (I)如图，已知长方形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC,且 EF=EC,DE=4cm,长方形ABCD的周长为32cm,则AE的长为 A (②)课间，小余拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示AC=BC, ∠ACB=90°，AD⊥DE,BE⊥DE,已知DE=42Cm,请你帮小余求出砌墙砖的厚度a的 大小（每块砖的厚度相等） (3)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，CF交AB于点E,BD⊥CF,AF⊥CF, 若DF=5,AF=3,则CF的长为— 【答案】(1)6cm; (2)证明：由题意得：AC=BC,∠ACB=90°，AD⊥DE,BE⊥DE, .∠ADC=∠CEB=90°， ∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， .∠BCE=∠DAC, ∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠BCE Dc 在 中， △CEB AC=BC ，AADC≌aCEB(AAS) ,一块墙砖的厚度为a,AD=4a,BE=3a, .'△ADC≌ACEB, .'DC=BE=3a,AD=CE=4a. .DC+CE=BE+AD=7a=42,.a=6: (3)易证：RtACF≌RtABCD,.CD=AF=3,CF=CD+DF=8 【例2】三垂直模型应用 如图，在等腰RtAABC中，∠ACB=9O°，D为BC的中点，DE⊥AB,垂足为E,过点B 作.BFIIAC交DE的延长线于点F,连接CF. Q求：BF=4C: (2)求证：AD⊥CF: (3)连接AF,试判断△ACF的形状， G 【答案】)，BDF是等腰直角三角形，BF=BD-4C: 2 (2):△ACD≌aCBF,.LBCF=∠CAD 又：∠CAD+LCDA=90°，.∠BCF+LCDA=90°，∠CGD=90°，AD⊥CF: (3)等腰三角形(CF=AD=AF). 【例3】三垂直模型与坐标系综合 (2023七十五中学期末)等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点A、C分别在x轴、y 轴的正半轴上. (1)如图1，求证：∠BC0=∠CA0: (2)如图2，若0A=5,0C=2,求B点的坐标. 个y 0 0 图1 图2 【详解】解：(1)如图1，，∠ACB=90°，∠AOC=90°， .∠BCO+∠AC0=90°=∠CAO+∠AC0, .LBC0=∠CA0: (2)如图2，过点B作BD1y轴于D,则∠CDB=∠AOC=90, ∠CDB=∠AOC ∠BCO=∠CAO CDB和 在 40c中， BC=AC .△CDB≌aAOC(AAS), .BD=CO=2,CD=AO=5. .0D=5-2=3, 又，点B在第三象限， :8-2-3) c 0 B42-- D 图2 模块二：3α模型 知识梳理 常见的3α模型是由三垂直模型变形得到的 2 X例题精讲 【引例】已知CD为经过∠BCA的顶点C的一条直线，且CA=CB.E、F分别是直线CD上 的两点，且∠BEC=∠CFA=a, (①)如图1，若∠BCA=90°，a=90°，‘则BECF,ECAF,EFBE+AF(填 '>”、'<”或”) (2)如图2，若0°<∠BCA<180°，若a=∠BCA,问(I)中的结论是否依然成立，并证明. 【答案】(1)尸，=，=；(2)成立. 【例4】3a模型的初识 如图的△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且有 ∠BDA=∠AEC=∠BAC, (I)证明△ABD≌△CAE: (2)判断DE、BD、CE三条线段的数量关系，并证明. D E i 【答案】(I)略：（②）DE-BD+CE. 【例5】3a模型的应用 请阅读，完成证明和填空。 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内 容如下： ①如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N,使BM=AN,连接BN、 CM.请证明：∠WOC=60° ②如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、 DM,那么AN= —,且∠DON= ③如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，,使AM=BN,连接 AN、EM,那么AN= -,且∠EON= ④在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测， 用一句话概括你的发现： M B N 图1 图2 图3 【答案】(I)△ABC是正三角形，.∠A=∠ABC=60°，AB=BC,在△ABN和△BCM中， AB=BC ∠A=∠ABC AN=BM .△ABN≌aBCM..∠ABN=∠BCM.又.∠ABN+∠OBC=60°， ∴.∠BCM+∠OBC=60°，.∠NOC=60°. 注：学生可以有其它正确的等价证明 (2)AN=DM,∠DON=90° (3)AW=EM,∠EON=108° (n-2)180° (4)以上所求的角恰好等于正n边形的内角 n 【例6】3a模型与动点结合 如图，等边△EBC中，EC=BC=3cm,点O在BC上，且OC=2cm,动点P从点E沿射线 EC以lcm/s的速度运动，连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.设 点P运动的时间为‘秒，问： ①当t是多少时，OF∥ED? ②当t是多少时，OF1BC? ③当t是多少时，点F恰好落在射线EB上？ 【答案】①如下图①，当OF∥ED时，△POC是等边三角形，所以EP=BO,t=1秒：②如 下图②，当OF⊥BC时，OP⊥EC,∠COP=30°，CP=1,所以t=2秒：③如下图③，点 F在EB上时，则有△BOF≌aCPO,CP=OB=1,所以t=4秒. 模块三：射影+角平分线模型 国知识梳理 射影：自点P向直线a引垂线所得到的垂足Q叫做点P在直线a上的射影， P ×例题精讲 【例7】射影+角平分线 在RIAABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D.过C点作CG⊥AB交AD于E,交 AB于G,过D点作DF⊥AB于F,求证：CF⊥AE, y 【答案】：∠1=∠2，∠ACD=∠AFD=90°，AD为公共边，：△ACD≌△AFD, .AC=AF,DC=DF ∴.AD是CF的中垂线，CF⊥AE. 【例8】射影+角平分线 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,∠ABC的角平分线BE交CD于G, 交AC于E,M是CG上一点且满足CM=DG. 求证：(I)CG=CE:(2)EMAB. E M 6> B 【答案】(I),∠ABE+∠BGD=90°，∠CBE+∠BEC=90°，∠BGD=∠CGE, .∠BEC=∠CGE,CG=CE (2)过点E作AB的垂线EH.证明：DM=CG=CE=EH,.EMI∥AB, 巅峰突破 【突破1】(I)如图1，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,请按照图中所标注 的数据计算图中实线所围成的图形的面积； (2)如图2，在R1△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB 连接B'C,求△AB'C的面积. B E. B A G B 【答案】(I)过E作EF⊥AC于点F,过D作DH垂直AC于点H,则有△AEF≌aBAG ABGC≌ACHD 所以所求图形面 S=S格形BHD-2 SAAEF-2 SACHD=50 E G ②过g作DLAC于D则有AHDB2,BC4,AC=BD4,Se4C-BD=8 B D B 【突破2】已知：在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上运动，且 ∠ACB=90°，AC=BC A(0,-2)C1,0) (1)如图1，当 》,点B在第四象限时，则点B的坐标为 (2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在'轴正半轴上运动，点B在第四象限时， OC+BD OC-BD 作BD1y轴于点D,试判断OA与OA哪一个是定值，并说明定值是多少？请 证明你的结论. 图1 图2 【答案】解：(I)作BD⊥CD, D B 恩1 .∠OCA+∠DCB=90°，∠OAC+∠DCB=90°， ∴.∠OAC=∠DCB」 ∠AOC=∠CDB ∠OAC=∠DCB AOAC和DC 在 中， AC=BC △OAC≌ADCB(AAS) .CD=0A=2,BD=OC=1,OD=3. :.B点坐标为 3,-1) (2)作BE⊥OC,则四边形ODBE为长方形， .∠ACO+∠BCO=90°，∠AC0+∠OAC=90°， .∠BCO=∠CAO. ∠AOC=∠CEB ∠OAC=∠ECB aOAc和 ECB 中， AC=BC △OAC≌△ECB(AAS) ..EC=0A, ·四边形ODBE为长方形， .OE=BD .OC=OE+EC, .OC=A0+BD OC-BD O4存在定值，且为1； 【突破3】如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是边BC的中点，∠ADE=60°，且DE 与∠ACB的外角平分线CE相交于点E, (I)证明：△ADE是等边三角形： (2)若D是线段BC上(B、C点除外)的任意一点，其他条件不变（如图2），那么(1)的结论是 否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由， (3)若D是BC的延长线上(C点除外)的任意一点，其他条件不变（如图3），那么(I)的结论是 否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 D 图1 图2 图3 【答案】(I)过点D作DFIIAC交AB于点F,则有△AFD≌aDCE,即证： (2)成立，证明同(1)： (3)成立，过点D作DFIIAC交AB的延长线于点F,则有△AFD≌aDCE,即 证. 课后自测 【练习1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且 AD⊥MN于点D,BE⊥M于点E,AD=5,BE=2,求线段DE的长. D 【答案】7. 【练习2】如图，己知RIABC中∠ACB=90°，AC=BC,D是BC的中点，CE⊥AD, 垂足为E.BFAC,交CE的延长线于点F.求证：AC=2BF. 【答案】∠ACB=90°，BF∥AC, .∠ACD=∠CBF=90°，∠ADC+∠CAD=90°， CE⊥AD, .∠FCB+∠ADC=90°，.∠CAD=∠FCB, 又，AC=CB,∴.△ADC≌aCFB,.DC=FB. ,D是BC的中点， .BC=2BF,即AC=2BF. 【练习3】如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D是AB上任意一点，过点A作 AE⊥CE交CD延长线于E,过点B作BF⊥CD交CD延长线于F.求证：EF=BF-AE. E 【答案】证明：，AE⊥CE,BF⊥CD, ∴.∠AEC=∠CFB=90°， ∠ACB=90, ∴.∠ACE+∠BCF=90, 在△BCF中，∠CBF+∠BCF=90°，∴.∠ACE=∠CBF, 「∠AEC=∠CFB ∠ACE=∠CBF ABc和 在 CB中， AC=CB △M5CaCF(AAS),÷4E=CF,CE=BF, ,点F在线段CE上， :.EF=CE-CF=BF-AE,即EF=BF-AE,得证. 【练习4】如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且 BD=CE,∠DEF=∠B.图中是否存在和△BDE全等的三角形？说明理由， 【答案】解：存在，△BDE≌aCEF. 理由如下：：AB=AC, .∠B=LC, :点B、E、C共线， ∴.∠BED+∠DEF+∠CEF=180° 在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°， .∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE, .∠DEF=∠B, .∠BDE=∠CEF, ∠B=∠C BD=CE Dg和 花 CEr中， ∠BDE=∠CEF' △BDE≌aCEF(ASA) 【练习5】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于E,过E作EF⊥AB于点F, 再过C作CD⊥AB交BE于G,求证：CE=FG. C G - D 【答案】在RtABDG中，∠DBG+∠BGD=90°；在R1△CBE中，∠CBE+∠BEC=90°； 又有LDBG=LCBE,LBGD=LCGE=∠BEC,则有CE=CG, 由角分线的性质得：EF=CE,易证△BEF≌aBEC,△BGF≌a△BGC, 综上则：CE=FG