2026-2027学年高二数学上学期第一次月考自编模拟卷（河南省南阳市）

**基本信息** 以“体重管理年”“哪吒盲盒”等时代热点为情境，融合统计、立体几何、函数等核心知识，梯度设计合理，注重数学建模与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|统计（体重指数）、集合、函数奇偶性、线面关系、解三角形|第1题结合健康政策考查数据分析，第8题推广函数中心对称性质，体现创新思维| |填空题|3题/15分|复数、密克点几何证明、概率计算|第13题以密克点新情境考查几何直观，第14题用盲盒模型考查古典概型| |解答题|5题/77分|立体几何证明、概率综合、解三角形、函数新定义|第19题通过新定义集合探究函数零点，综合考查逻辑推理与数学表达|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考自编模拟卷（河南省南阳市） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（   ） 偏瘦 <18.5 正常 18.5~23.9 偏胖 24~27.9 肥胖 ≥28 A．这组数据的中位数为20 B．该组数据的极差为14 C．这十个人的平均体重正常 D．从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20% 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 4．已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．在中，，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 6．在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（    ） A．若事件，互斥，则 B．若事件，互斥，则 C．若事件，相互独立，则 D．若，则 10．已知函数，若曲线关于点对称，则满足条件的的可能值为（    ） A． B． C． D． 11．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，以此类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知是虚数单位，若，则___________． 13．如图：在中，，，三点分别在边，，上，则，，的外接圆交于一点，称点为密克点.运用上述结论解决如下问题：在梯形中，，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为______. 14．《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 16．甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． (1)求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； (2)求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； (3)求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 17．已知的内角，，所对的边，，成等差数列，且． (1)求角的大小； (2)若，求的周长． 18．如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 试卷第4页（共5页） 试卷第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高二数学上学期第一次月考自编模拟卷（河南省南阳市）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C D D C B ACD AD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据给定的数据组，依次求出中位数、极差、平均数、概率判断ABCD. 【详解】对于A，这组数据的中位数为，A正确； 对于B，这组数据的极差为，B正确； 对于C，10人体重指数的平均数为，C正确； 对于D，10人中体重指数在的1人，从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为10%，D错误. 故选：D 2．D 【详解】由，得，解得，所以. 又因为，所以. 3．A 【分析】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可. 【详解】易知的定义域为，且， 所以为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 故选：A 4．C 【分析】根据线面位置的判定逐一判断即可. 【详解】选项A：若，，或， A错误. 选项B：若，，则或，B错误. 选项C：因为，，则或，又因为，故，C正确； 选项D：若、，故， D错误. . 5．D 【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可 【详解】由可得， 又，解得，， 又由可得， 所以的面积为， 故选：D 6．D 【分析】作出辅助线，得到即为和所成角，并由勾股定理求出各边长，利用余弦定理求出夹角余弦值. 【详解】连接，，因为，所以即为和所成角， 因为，， 由勾股定理得，， 因此. 故选：D． 7．C 【分析】利用三点共线定理和三角形的中线求出和的关系，再结合基本不等式求最值. 【详解】因为为线段的中点，，所以， 又因为，，所以，即 ， 由三点共线可知，即， 又因为，，所以 当且仅当时取到最小值3. 8．B 【分析】根据中心对称的推广结论构造奇函数，利用奇函数满足恒成立的性质求出对称中心的坐标，进而计算. 【详解】由题意，若的对称中心为，则为奇函数，对定义域内任意均有， 即： 代入得： ， 对第二项分母变形得，因此第二项可化简为，原等式变为： ， 要使等式对任意恒成立，令，解得， 代入左边得： 因此，解得， 故. 9．ACD 【分析】根据互斥事件、对立事件的概率计算公式及条件概率、全概率公式求解即可. 【详解】选项A：若事件，互斥，则，A正确； 选项B：，. 若事件，互斥，事件，不一定互斥，因此. 实际（事件，互斥，），B错误； 选项C：若事件相互独立，则，C正确； 选项D：由得，， 所以，D正确. 10．AD 【详解】∵ 曲线关于点对称， ∴ 对任意，恒成立. 又， ∴ ， . 代入对称条件得 对任意成立. 由和差化积公式，令，， 则上式可化简为. ∵ 和均不恒为0， ∴ ， ∴ ，，解得，.易知BC不符合. 当时，，故A正确. 当时，，故D正确. 11．ABD 【分析】先建立坐标系得到球心坐标与半径的关系，推导半径的递推公式，再结合等比数列性质分析各选项. 【详解】建立空间直角坐标系，将棱长为的正方体放置在第一象限，设球的球心坐标为. 为正方体的内切球， ，球心坐标为. 对于A选项： 球与球外切， ∴两球心距离等于半径之和，即， ∴，解得，故A正确. 对于B选项： 对任意，球与球外切，同理两球心距离为， 整理得，为常数， ∴数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确. 对于选项： 等比数列的前项和， ∵， ∴，故，即，故C错误， 对于D选项： 球的体积，∵是公比为的等比数列，∴是公比为的等比数列， 体积和， ∵， ∴， 计算得， ， 代入得， 故，D正确. 【点睛】方法归纳：对于正方体内与三个相邻面相切的球，其球心坐标可表示为，利用两球外切时球心距等于半径和建立递推关系，转化为等比数列问题求解。 12． 【详解】因为，所以. 13． 【分析】根据已知条件确定正三角形，利用外接圆公共点确定点Q的位置，再结合外心和外接圆半径等条件，通过余弦定理求出线段BD的长度，最后根据点与圆的位置关系求出BQ的最小值. 【详解】延长，交于点，则由题可知为正三角形，为正三角形， 由题设结论，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点，故点在的外接圆上， 如上图，又由题可知，即为的外心，且外接圆半径为2，， 在中，由余弦定理，所以的最小值为. 故答案为：. 14． 【分析】首先计算出任取个盲盒的取法总数；分类讨论求得满足题意的取法种数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从个盲盒中任取个盲盒，共有种取法； 抽取的盲盒中，包含哪吒，不包含龙王的取法有种；包含哪吒和一个龙王的取法有种； 任意抽取个盲盒，包含哪吒和至多一位龙王的概率. 故答案为：. 15．(1)由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. (2)距离为1. 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【详解】（1）略 （2）法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用对立事件“两个都没猜中”计算概率； （2）分成甲猜中2个乙猜中1个和甲猜中1个乙猜中2个分别计算后再相加； （3）分成三个互斥事件计算：甲猜中1个乙猜中0个，甲猜中2个乙猜中1个，甲猜中2个乙猜中0个. 【详解】（1）记“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜为事件， 则， 即“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率为. （2）记事件表示在两轮活动中甲猜对个灯谜，其中，事件表示在两轮活动中乙猜对个灯谜，其中， 所以，， ， ，， ， 记事件表示“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜，则， 所以， 即“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率为; （3）记事件表示在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量，则， 所以， 即在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率为． 17．(1) (2) 【分析】（1）先利用等差数列性质、正弦定理得到三边的比例关系，再由余弦定理求角； （2）根据向量数量积运算求的值，结合三边比例求出各边长，进而得到三角形周长. 【详解】（1）因为边成等差数列，所以 . 由正弦定理（为外接圆半径），对角化边得：. 联立，解得，，即. 设，，（）， 由余弦定理： . 因为 ，所以. （2）由平面向量数量积的定义，. 代入，得：，解得. 由（1）知，，故，解得（边长为正，舍去负根）. 则，. 所以的周长为. 18．(1)以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点，则： ， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． (2) 【分析】（1）根据已知四棱锥的性质，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，利用向量数量积计算得出线线垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论； （2）求出平面相关向量及平面法向量，进而利用线面角公式计算求解． 【详解】（1）略 （2），设平面的法向量为， 则，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式得：． 19．(1)不是，理由为： ，，则不是中的元素. (2)； (3) 证明：对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）略 （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）略 答案第12页（共13页） 答案第1页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $