2027年广东省普通高中学业水平合格性考试真题及变式训练试卷

2027年广东省普通高中学业水平合格性考试数学复习 ——2026年数学真题及变式训练 本试卷共4页，22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则在复平面上所对应的点为（ ） A. B. C. D. 【考点】复数几何意义． 【答案】A 【详解】因复数的实部为，虚部为，故该复数在复平面内对应的点为. 【变式训练】已知复数,在复平面上所对应的点分别为，则 【详解】， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【考点】集合的并集运算. 【答案】D 【详解】，，，又，． 【变式训练】已知集合，，则 【详解】，则 3. 函数，的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【考点】三角函数的周期公式. 【答案】C 【详解】函数，的最小正周期为. 【变式训练】函数，的最小正周期为________ 【详解】函数，最小正周期为 4. 已知命题：“，”，则为（ ） A. B. C. D. 【考点】全称量词命题的否定是存在量词命题. 【答案】A 【详解】因为命题，所以． 【变式训练】已知命题：，则为_________ 【详解】: 5. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【考点】函数的奇偶性. 【答案】A 【详解】A：，定义域关于原点对称，且有，故为奇函数； B：，定义域关于原点对称，且有，故为偶函数； C：，定义域关于原点对称，但是，，故非奇非偶函数； D选项，，定义域，不关于原点对称故为非奇非偶函数． 【变式训练】下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【详解】 对于A是偶函数，对于BC都是奇函数， 对于D是非奇非偶函数，故选A． 6. 已知向量，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【考点】平面向量数量积的坐标运算. 【答案】D 【详解】因为，则，解得． 【变式训练】已知向量，且，则的夹角的余弦值为______ 【详解】因为，则，解得，所以， 则的夹角的余弦值为 7. 为了得到的图像，只需将的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【考点】三角函数的图像平移变换. 【答案】C 【详解】因为 所以，为了得到的图像，只需将 的图像向左平移个单位长度． 【变式训练】为了得到的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【详解】,只需把函数的图象上的所有点向右平行移动个单位长度,故选C 8. 6户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：），则平均数为（ ） A. 128 B. 122 C. 120 D. 101 【考点】平均数 【答案】C 【详解】． 【变式训练】某小组六名学生上周的体育运动时间为7，8，9，10，10，10，则该小组体育运动时间的平均数和第50百分位数是（ ） A. B. C. D. 【详解】 ，第50百分位数是，故选D 9. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【考点】基本不等式求最值 【答案】C 【详解】因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立. 【变式训练】 已知则的最小值是 【详解】所以，当且仅当时取等号，答案：18 10. 抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. A、B互斥 D. A、B相互对立 【考点】互斥事件，对立事件，古典概型求概率. 【答案】A 【详解】抛2枚硬币，样本空间Ω={(正正),(正反),(反正),(反反)}，则事件A={(正正),(正反)}；事件B={(正反),(反反)}，可知事件A与事件B不相等，故B错误； 事件AB=(正反)}，可知事件A、B不互斥，更不可能对立，故CD错误； 则，，故，故A正确； 【变式训练】若P(A∩B)=，P()=，P(B)=，则下列结论不正确的是(　　) A.事件A与事件B不互斥 B.事件A与事件B不对立 C.事件A与事件B相互独立 D.P(A∪B)= 【详解】　∵P(A∩B)=，∴A与B能同时发生，∴事件A与事件B不互斥、不对立， 故A，B正确； ∵P()=，∴P(A)=，又∵P(B)=，∴P(AB)=P(A)P(B)，∴事件A与事件B相互独立，故C正确； P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=，故D不正确. 11. 已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】充分必要条件，面面垂直的判定定理和性质定理 【答案】B 【详解】非充分性：不能推出， 必要性：，则“”是“”的必要不充分条件. 【变式训练】 命题甲:球的半径为1cm; 命题乙:球的体积为πcm3, 则甲是乙的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【详解】充分性:若r=1cm,由V=πr3可得体积为πcm3, 必要性:由V=π=πr3可得r=1cm, 故选C． 12. 已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【考点】分段函数的单调性. 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，所以，解得． 【变式训练】已知函数,设，则 【详解】，,则 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13. 计算：______． 【考点】指数与对数的计算. 【答案】5 【详解】. 【变式训练】 计算：______． 【详解】 14. 已知角的终边过点，则______． 【考点】三角函数的定义求三角函数值. 【答案】 【详解】已知角的终边过点．可得，，则． 【变式训练】若第二象限角，且，则_____ 【详解】若第二象限角，且，所以，则 15. 如图，在中，，用表示，则______． 【考点】平面向量的线性运算. 【答案】 【详解】因为，由向量三角形法则，得 ． 【变式训练】如图，在中，，用表示，则______． 【详解】因为，由向量三角形法则，得 16. 不等式的解集为______． 【考点】解一元二次不等式. 【答案】 【详解】∵，∴，∴，即不等式的解集为． 【变式训练】不等式的解集为_____． 【详解】由，所以原不等式的解集是 17 已知，______． 【考点】三角函数的诱导公式. 【答案】 【详解】，则． 【变式训练】 已知，_____ ，则． 18. 已知圆台上底面积为，下底面积为，高为1，则圆台的侧面积为______． 【考点】圆台的侧面积公式. 【答案】 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为. 因为圆台上底面积为，则，下底面积为，则， 高为1，则， 则圆台的侧面积为． 【变式训练】长方体中，,，则长方体的外接球表面积为______ 【详解】 , 所以 所以长方体的外接球表面积为 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知函数 （1）求函数的定义域；（2）判断并证明函数单调性． 【考点】求定义域，证明单调性； 【小问1详解】 由，所以，解得，所以函数定义域为. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 的定义域为，∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即，是上的单调递增. 【变式训练】已知函数. （1）求函数的定义域；（2）判断并证明函数在单调性． 【小问1详解】 由，所以，所以函数定义域为. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： ，任取，则 ，，，， ，即， 是上的单调递增. 20. 已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动． （1）高一应抽取多少人？ （2）从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率． 【考点】分层抽样；古典概型求概率. 【小问1详解】 根据分层随机抽样方法，高一应抽取：（人）； 【小问2详解】 设事件A：高一、高二年级各有一人，设高一的三个人为：，高二两个人为：． 样本空间有：，，，，，，，，，， 所以总事件数为10种情况． 满足事件A的有：，，，，，，共6种情况， 所以． 【变式训练】抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4” (1)求事件A，B，C的概率；(2)求的概率. 【小问1详解】 该试验的样本空间可表示为，共有36个样本点 ，有5个样本点，所以； ，有11个样本点， 所以. ，有12个样本点，所以. 【小问2详解】 ，有2个样本点，所以； 所以. 21. 在中，角所对的边分别是，且． （1）求边长的值； （2）求的面积． 【考点】正弦定理；两角和的正弦值公式；三角形面积公式 【小问1详解】 由正弦定理得，， 则； 【小问2详解】 由（1）得， 由可得 ， 则， 故． 【变式训练】在中，. (1)求的大小；(2)若边上的高为，求的面积. 【小问1详解】 (1)方法1：由正弦定理及，得.① 因为，所以② 由①②得，因为，所以， 所以， 因为，所以. 方法2：在中，因为，由余弦定理得， 整理得所以，因为，所以. 【小问2详解】 边上的高，所以， 由余弦定理，得 即，解得. 所以 22. 在直三棱柱中，，，，，、、分别为、、的中点，是上任意一点． （1）求证：平面． （2）求三棱锥的体积． 【考点】证明线面平行；求三棱锥的体积. 【小问1详解】 证明：、分别为、的中点， ． ∵在直三棱柱中， ，． 平面，平面，平面． 【小问2详解】 ，，， 、平面，平面， 平面． ，平面，平面． ，，，，． ， ． 平面，． 【变式训练】如图，在正四棱锥中，底面正方形的中心为，. (1)平面; (2)求二面角的大小的正切值. 【小问1详解】 在正四棱锥中，底面正方形的中心为， 由正四棱锥结构特征知：平面，因为，所以 ， 底面正方形中，，又因为,，所以平面; 【小问2详解】 取的中点为，连接，设正方形的边长为， 因为，所以是等边三角形，所以 在正方形中，；在等边中，， 为二面角的平面角， 平面，平面，； 在中，，，， ， 二面角的大小的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2027年广东省普通高中学业水平合格性考试数学复习 —2026年数学真题及变式训练 本试卷共4页，22题，满分150分.考试时间90分钟. 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.己知复数z=1-21,则z在复平面上所对应的点为() A.(1,-2) B.(1,2) c（-2,1) D.(2,1) 【考点】 【答案】 【详解】 【变式训练】已知复数二，在复平面上所对应的点分别为(，)，(，3)，则= 2己知集合M={,23头，N={r-1=0),则MUN=（) A.仍 B.{l, c1,2,3} D.{-11,2,3} 【考点】 【答案】 【详解】 【变式训练1已知集合M=L2,3头，N={∈Nr≤8，则MUN= 3函数'=s4rx∈R 的最小正周期为() 之 A.2π B.π c.2 D.4 【考点】 【答案】 【详解】 【变式训练】函数'=cosx-sin'x,x∈R 最小正周期为 4.己知命题P:“x∈R,x+2≤0”，则P为() 3x∈R,x+2>0 B3r∈R,r+2≤0Cx∈R,x+2>0D.xER,x+2>0 【考点】 【答案】 【详解】 【变式训练】已知命慰P.3r∈R,x+2s0 则 “为 5.下列函数为奇函数的是() A.=x3 B.y=2 C.y=er D.y=Inx 【考点】 【答案】 【详解】 【变式训练】下列函数为偶函数的是() /r)=x'-2 x2 B.f(x)=x D. A. 6已知向量a=(2,3),6=(x,-2),且a5=2,则x=() A.-4 B.2 C.-2 D.4 【考点】 【答案】 【详解】 【变武训练1已知向量a=(2,3),6=(c,-2),且a6=2,则5的夹角的余弦值为 1 X+ 7.为了得到 =COS 、2 6的图像，只需将y=c0s2的图像() π π A.向左平移6个单位长度 B.向右平移6个单位长度 2 交 C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度 【考点】 【答案】 【详解】 【变式训练】为了得到y=sin 2x- 3 的图象，只需把函数y=sin2x的图象上的所有点（） A.向右平行移动3个单位长度 B.向左平行移动3个单位长度 π π C.向右平行移动6个单位长度 D.向左平行移动6个单位长度 8.6户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：kWh),则平均数为(） A.128 B.122 C.120 D.101 【考点】 【答案】 【详解】 【变式训练】某小组六名学生上周的体育运动时间为7,8,9,10,10,10，则该小组体育运动时间的平 均数和第50百分位数是() A8,8B.8,9c9,9D9,9.5 1,2 9.已知x>0,y>0,若y=2,则xy的最小值为() 3√2 A.1 B.√2 C.2 D. 2 【考点】 【答案】 【详解】 变式训练】已知m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是 10.抛2枚硬币，事件A:第一枚正面朝上，事件B:第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是() A.P(4)=P(B) B.A=B C.A、B互斥 D.A、B相互对立 【考点】 【答案】 【详解】 2 1 【变式训练】若P4nBg:PA)3,P(B)3,则下列结论不正确的是() A.事件A与事件B不互斥 B.事件A与事件B不对立 C.事件A与事件B相互独立 nL号 1.己知a、 是不同的平面，m为P内的一条直线，则0上B是m上“的《)条件 B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】 【答案】 【详解】 4 【变式训练】命题甲：球的半径为1cm命题乙：球的体积为3πm,则甲是乙的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2已知函数f)=+ar-1xS1 3x-2,x>1 若函数f(x)在R上单调递增，则。的取值范围为（） A.[2,3) B.[2,3] c（∞，2] D.[2,+o∞) 【考点】 【答案】 【详解】 f(x)= 2,x≤0 【变式训练】己知函数 log2x,x>0,设f(2)=a,则f(a)= 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.计算：lg100+92= 【考点】 【答案】 【详解】 【变式训练】计算：log,8×92= 1-cosa 14.已知角a的终边过点P(4,3),则sina 【考点】 【答案】 【详解】 4 【变式训练】若a第二象限角，且sina=行，则ama= BD=BC,AB=d,AC=b 15.如图，在△ABC中， 3 用a5表示而，则而- D 【考点】 【答案】 【详解】 【变式训练】如图，在△ABC中， D-c,孤=a0= ,用a,b表示AC,则AC=— 16不等式x+2x<3 的解集为 【考点】 【答案】 【详解】 【变式训练】不等式x2+x+1<0的解集为 1 sin 17已知 3江+a 3 cosa 【考点】 【答案】 【详解】 3π，1 【变式训练】 m7+a厂3，co2a: 已知 18.已知圆台上底面积为兀，下底面积为4π，高为1，则圆台的侧面积为 【考点】 【答案】 【详解】 【变式训练】长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=AD=l,AA=√2，则长方体的外接球表面积为 三、简答题（本大题共4小题，第19,20,21小题各10分，第22小题12分，共42分，解 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.已知函数f()=Vx+1 山)求两数/（四的定义域：（②判断并正明西致f() 单调性， 【考点】 【小问1详解】 【小问2详解】 【变式训练】已知函数∫(x)=x+1 (山)求函数f()的定义域；(2)判断并证明函数(0在（，+切)单调性。 【小问1详解】 【小问2详解】 20.已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动. (1)高一应抽取多少人？ (2)从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率. 【考点】 【小问1详解】 【小问2详解】 【变式训练】抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的 点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于8”， B一“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4 (I)求事件A,B,C的概率；(2)求AUB,A∩B的概率. 【小问1详解】 【小问2详解】 A=T,B=元，b=V6 21.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且4’ 3 (1)求边长a的值： （②)求△1BC的面积Sc」 【考点】 【小问1详解】 【小问2详解】 【变式训练】在△ABC中，2 ccosB=2a-b,c=V3 O求c的大小：R若BC边上的高为h= 2，求△4BC的面积 【小问1详解】 【小问2详解】 2.在直三棱柱ABC-ABG中，AC1BC,AC=4,BC=2,CC=2N5,D、E、F分别为 AB、BC、CC的中点，G是4C上任意一点. B (1)求证：4G '平面DEF (2)求三棱锥G-DEF的体积. 【考点】 【小问1详解】 【小问2详解】 【变式训练】如图，在正四棱锥p-ABCD中，底面正方形ABCD的中心为O,∠PAB= 3 D (1)AC⊥平面PBD;(2)求二面角P-AB-C的大小的正切值 【小问1详解】 【小问2详解】