2027年广东省普通高中学业水平考试数学专项训练立体几何解答题

**基本信息** 以公式定理为基础，以判定性质为核心，构建“计算-证明-空间角”三阶训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |表面积与体积|2问|柱锥台球公式直接应用；台体表面积体积分步计算|从几何体概念到公式推导，形成“名称-公式-计算”逻辑链| |空间平行证明|2题|线面平行用“线线平行”判定；面面平行用“线面平行”判定|以线面平行判定为基础，推导面面平行判定，体现判定定理递进关系| |空间垂直证明|3题|线面垂直用“线线垂直（相交）”判定；面面垂直用“线面垂直”判定|以线面垂直判定为核心，关联面面垂直判定，构建垂直关系推理体系| |空间角计算|3问|线面角用“射影定义”转化；二面角用“平面角定义”度量|从角的定义出发，将空间角转化为平面角计算，培养几何直观|

2027年广东省普通高中学业水平考试数学专项训练 立体几何解答题 1.表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 2.线面平行的判定定理和性质定理 判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行； 性质定理:一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 3.面面平行的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行； 性质定理:两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 4.线面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直； 性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 5.面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直; 性质定理:两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 6.直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. ②范围：. 7.二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的大小可以用它的平面角度量.二面角α 的取值范围是0°≤α≤180°. 1. (1) 已知圆柱的底面半径，高，求该圆柱的表面积与体积； (2) 已知圆台的上底面半径，下底面半径，母线长，求该圆台的表面积与体积． 2. 已知棱长为 2 的正方体，、分别为棱、的中点． (1) 求证：直线平面；(2) 求证：平面平面． 3.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且． (1) 求证：；(2) 求直线与平面所成角的正弦值；(3) 求三棱锥的体积． 4.在四棱锥中，底面是边长为 2 的正方形，底面，且．(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求二面角的平面角的余弦值． 5. 如图，四边形是边长为 2 的正方形，、分别为、的中点，以为折痕 将四边形折起，使点到达点 的位置，点到达点 的位置,且． (1) 证明：平面平面；(2) 求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省普通高中学业水平考试数学专项训练 立体几何解答题解析 1. (1) 已知圆柱的底面半径，高，求该圆柱的表面积与体积； (2) 已知圆台的上底面半径，下底面半径，母线长，求该圆台的表面积与体积． (1) 圆柱的侧面积：底面积：， 表面积：， 体积： (2) 圆台的高：， 侧面积：， 上底面积：， 下底面积：， 表面积：， 体积： 2. 已知棱长为 2 的正方体，、分别为棱、的中点． (1) 求证：直线平面；(2) 求证：平面平面． (1) 证明：在正方体中，且，因为、分别为、的中点，所以，，因此且，四边形是平行四边形，故，又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得直线平面； (2) 证明：在正方体中，，平面平面，平面, 所以平面， 在正方体中，，平面平面，平面, 所以平面， 因为，且平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面 3.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且． (1) 求证：；(2) 求直线与平面所成角的正弦值；(3) 求三棱锥的体积． (1) 证明：因为，，且，平面， 根据线面垂直的判定定理，可得平面， 又平面，因此； (2) 解：先计算的边长：由两两垂直且长度为 2，得，即为等边三角形，其面积， 设点到平面的距离为，由等体积法：， 因此，代入得，解得， 设直线与平面所成的角为，则； (3) 解：因为两两垂直，可将看作底面，看作高，体积 4.在四棱锥中，底面是边长为 2 的正方形，底面，且．(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求二面角的平面角的余弦值． (1) 证明：因为底面是正方形，所以， 又底面，底面，故， 因为，且平面， 根据线面垂直的判定定理，可得平面； (2) 证明：由 (1) 知平面，又平面， 根据面面垂直的判定定理，可得平面平面； (3) 解：由 (1) 知，，因此就是二面角的平面角， 在中，，，由勾股定理得， 因此，即二面角的平面角的余弦值为. 5. 如图，四边形是边长为 2 的正方形，、分别为、的中点，以为折痕将四边形折起，使点到达点 的位置，点到达点 的位置,且．(1) 证明：平面平面；(2) 求直线与平面所成角的正弦值． (1) 证明：因为四边形是正方形，、为中点，所以，即折叠前，；折叠后，故 又已知，且，平面， 根据线面垂直的判定定理，可得平面， 因为平面，故平面平面； (2) 解：由 (1) 知平面，因此是在平面内的射影， 故就是直线与平面所成的角, 正方形边长为 2，为中点，因此，, 在中，， 因此, 即直线与平面所成角的正弦值为 学科网（北京）股份有限公司 $