精品解析：福建省厦门双十中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

厦门双十中学2025-2026学年（上）第二次月考 （时间：120分钟；满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定可解. 【详解】命题“”的否定是：. 故选：D. 2. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，其中，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义即可求解. 【详解】已知角的终边经过点， 当时，， 当时，， 故选：D. 3. 如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果. 【详解】设，由，得，即， 所以 故选：D 4. 函数可能的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式可知为奇函数，排除B和D选项，结合函数的周期，，，的值和符号即可判断选项. 【详解】依题意知函数的定义域为R，且满足， 故为奇函数，所以排除B和D选项； 因为函数的周期为， 又，，，排除C选项； 故选：A. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式，以及切化弦可求得，的值，进而利用两角和的余弦公式可求值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故选：A. 6. 已知，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定时函数的零点个数，再转化为三角函数在上有个零点，从而求解的取值范围. 【详解】当时，单调递增， 又，， 故函数在上有一个零点， 则当时，有两个零点， 当时，， 则有，解得， 故的取值范围为. 7. 已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，将原问题转化为的图象与直线有2个交点，判断交点横坐标范围，可得，再利用基本不等式即可求得答案. 【详解】如图，作出函数的图象， 则函数有两个零点， 即为的图象与直线有2个交点，横坐标为， 则，则， ， 所以， 当且仅当时，结合，即时取等号， 所以的取值范围是， 故选：B 8. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，为常数，则，从而（c），可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可． 【详解】，且在上单调， ，为常数，， ，， 在上单调递增， 对，，使得成立， ， 又当时，， 当时，，则， ，，又，． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两角和差的正切公式求出判断AB；根据角的范围及特殊角的正切值判断CD. 【详解】因为， 所以， ，故选项AB正确； 因为，所以，又，， 所以， 因为，所以即，所以C错误，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 当时， C. 若是偶函数，则 D. 若在区间内无最大值，则 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，由得到 ，从而求出，利用公式求出；选项B，由得到，求出，，利用余弦函数的图像和性质得解；选项C， 求出，结合是偶函数得到，结合求出；选项D. 令，由的范围求出的范围，结合正弦函数的图像得到，结合得到的范围. 【详解】选项A，因为，是的两个不同解， 且，所以 ，，，则选项A正确； 选项B，因为，所以， ， ， 因为在上是单调递减函数，且，所以， 即，则选项B错误； 选项C， 因为是偶函数， 且， 所以 ，， 因为，所以；则选项C正确； 选项D，令，，， 则，， 因为，所以，则选项D错误. 11. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，取求解；选项C，令得到，取得解；选项B，当时， ，则有，从而得到；选项D，令 ，通过计算整理得到，利用基本不等式得到，从而得到，结合得到结论. 【详解】选项A，因为，所以取，得到， 解得，选项A正确； 选项C，令，则，即， 取，得到，选项C正确； 选项B，因为当时，， 所以当时， ，则有， 又 ，即，选项B错误； 选项D，令 ，则，即， 两边除以得到，即， 因为，所以，所以， 又因为，所以，即， 则， 选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，的单调递增区间为________________. 【答案】 【解析】 【分析】正弦函数的图像性质，列不等式求复合函数的单调区间，进而求得结果. 【详解】， 令， 解得： ， 因为，当时，， 故答案为： . 【点睛】本题考查复合函数在定义域内的单调区间，考查数学运算能力和转化的数学思想，属于中档题. 13. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据与的关系列式求得或，然后再利用辅助角公式和正弦函数值域得，即可求解. 【详解】因为， 且， 所以，解得或， 又，所以. 故答案为： 14. 已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别为与图象交点的横坐标，而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，从而可得，再得出的范围后即可得结论． 【详解】由题意，分别为与图象交点的横坐标， 而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直， 因此这两个交点关于直线对称，如图所示： ， ∵，∴， . 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数． （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）； x 0 y 2 （3）利用函数图象，直接写出函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值． 【答案】（1）函数的单调递增区间为，最小正周期为. （2）如图所示： 0 0 2 0 0 （3）当时，有最大值为2；当时，有最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据的单调递增区间，将替换为即可得出函数的单调递增区间，根据正弦函数周期公式，代入数值即可得出函数的最小正周期； （2）右图轴上的坐标即为要取的五点的坐标，代入和，即可得出表中数值，并用连续光滑的曲线连接即可； （3），判断所在单调区间，即可得到答案. 【小问1详解】 由的单调递增区间可得，， 解得， 所以函数的单调递增区间为； 由正弦函数周期公式可得，， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 依题意得，题干右图轴上的坐标即为表格中要取的五点的坐标， 当，，； 当，，； 当，，； 当，，； 当，，， 填表，描点，用光滑曲线连接后得到图象如图所示， 0 0 2 0 0 【小问3详解】 因为， 所以在区间上的图象包含于在区间的图象， 因为，，所以当时，有最大值为2； 因为，在单调递减， 故当时，有最小值. 16. 为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个. （1）求a，k的值； （2）根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份. 【答案】（1）. （2）2032年 【解析】 【分析】（1）由题可知：当时，；当时，.代入函数关系式可求得a，k的值； （2）由题意得，.解出.列出对应的方程，并求解，可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份. 【小问1详解】 由题可知：当时，；当时，. 所以，解得：. 所以. 【小问2详解】 因为函数（a，k，m，n为非零常数）的图象为连续的曲线，所以 由题可知：当时，；所以. 由，得 令，则，即. 所以，所以. 因为. 故可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份为2032年. 17. 已知，对任意都有， （1）若，当时，求的值； （2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦函数的对称性与三角恒等变换公式计算即可得； （2）利用诱导公式计算可得恒成立，再结合换元法可得任意，都有恒成立，最后借助基本不等式计算出的最小值即可得. 【小问1详解】 由对任意都有，故关于对称， 则有，解得， 又，故，即， 则，即， 由，则， 由且， 则，故， 则 ； 【小问2详解】 ， 则对任意，都有恒成立， 令，由，则， 则， 即对任意，都有恒成立， 即对任意，都有恒成立， 令，对任意，都有恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故，即实数的取值范围为. 18. 已知函数和， （1）若，求的值； （2）若存在实数，使得成立，试求的最小值； （3）若，对任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用对数运算性质即可求结果； （2）由题设可得，利用换元法及函数区间单调性求最值； （3）令，问题化为在上恒成立，结合指对数函数性质求参数范围即可. 【小问1详解】 由， 所以； 【小问2详解】 由，则， 可得， 所以， 令，当且仅当时等号成立， 故，又在上单调递增， 故，其最小值为1； 【小问3详解】 由题设在上最小值为0， 令，则在上恒成立， 由，在上恒成立，则， 又，所以， 由，又在定义域上单调递增， 所以，即在上恒成立， 所以，故，即在上恒成立， 所以， 综上，. 【点睛】关键点点睛：第三问，注意将问题化为在上恒成立，并结合指对数函数性质求参数范围. 19. 对于定义在区间的函数，定义：，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值. （1）若，，试写出、的表达式； （2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； （3）若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由. 【答案】（1），；，； （2）； （3）为上的“4阶收缩函数”. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合的单调性分析求解即可； （2）分析可知在内单调递增，，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据题意求的解析式，分、和三种情况，结合恒成立问题分析求解即可. 【小问1详解】 因为在内单调递增， 所以，；，. 【小问2详解】 因为与恰好为同一函数， 可知在内单调递增， 令，可设， 因为的图象开口向下，对称轴为， 若，则在内单调递减，且， 可知在内单调递减，则，解得，不合题意； 若，则在内单调递增，且， 可知在内单调递增，则，解得； 综上所述：的取值范围为. 【小问3详解】 因为在内单调递减，在内单调递增， 由题意可知：，， 可得， （i）当时，则，可得， ①若，则，符合题意，可知； ②若，则， 且在内的值域为，可得； 综上所述：； （ⅱ）若，则，即， 且在内的值域为，可得； （ⅲ）若，则，可得， 可知对任意恒成立， 令，则在内单调递增， 可知，可得； 综上所述：， 且为最小正整数，可得，所以为上的“4阶收缩函数”. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学2025-2026学年（上）第二次月考 （时间：120分钟；满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，其中，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 函数可能的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 当时， C. 若是偶函数，则 D. 若在区间内无最大值，则 11. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，的单调递增区间为________________. 13. 已知，则的值为______． 14. 已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数． （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）； x 0 y 2 （3）利用函数图象，直接写出函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值． 16. 为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个. （1）求a，k的值； （2）根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份. 17. 已知，对任意都有， （1）若，当时，求的值； （2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数和， （1）若，求的值； （2）若存在实数，使得成立，试求的最小值； （3）若，对任意的，都有成立，求的取值范围． 19. 对于定义在区间的函数，定义：，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值. （1）若，，试写出、的表达式； （2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； （3）若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $