福建省厦门市2026-2027学年高一上学期第一次月考模拟数学试卷

**基本信息** 高一数学月考模拟卷聚焦集合与函数不等式，通过Venn图、函数图像及半圆几何模型，融合概念辨析（如集合符号、命题否定）与综合应用（含参不等式、基本不等式求最值），考查抽象能力、推理意识及模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合关系、命题否定、充分条件|结合图像（如第6题二次函数图像解不等式）考查几何直观| |多选|4/20|集合子集运算、基本不等式几何意义|第11题以半圆模型呈现均值不等式，体现数学眼光| |填空|4/20|集合交集、命题否定、基本不等式|第15题“乘1法”构造定值，考查运算能力| |解答|6/70|含参不等式、基本不等式应用|第20题分类讨论含参二次不等式，第22题双变量最值问题，发展推理能力与模型意识|

高一上学期第一次月考模拟试卷·数学 满分150分　　考试时间120分钟　　教材：人教A版《普通高中教科书·数学（必修第一册）》 命题范围：第一章　集合与常用逻辑用语；第二章　一元二次函数、方程和不等式 第一板块　试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意） 1．（5分）下列关系式中，正确的是（　　） A．1 ⊆ {1}　　B．0 ∈ ∅　　C．∅ ∈ {0}　　D．∅ ⊆ {0} 2．（5分）设全集 U = R，集合 A、B 的关系如图1所示（阴影部分），则阴影部分所表示的集合是（　　） 图1 A．A ∩ B　　B．(∁_U A) ∩ B　　C．A ∩ (∁_U B)　　D．∁_U (A ∪ B) 3．（5分）命题“∀x ∈ R，x² − 2x + 3 > 0”的否定是（　　） A．∀x ∈ R，x² − 2x + 3 ≤ 0　　　B．∃x ∈ R，x² − 2x + 3 ≤ 0 C．∃x ∈ R，x² − 2x + 3 > 0　　　D．∃x ∈ R，x² − 2x + 3 < 0 4．（5分）“x < 1”是“x < 3”的（　　） A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件 C．充要条件　　　D．既不充分也不必要条件 5．（5分）如图2，数轴上的阴影部分所表示的集合是（　　） 图2 A．{x | x ≤ −1 或 x > 2} B．{x | −1 < x ≤ 2} C．{x | x < −1 或 x ≥ 2} D．{x | −1 ≤ x < 2} 6．（5分）如图3是二次函数 y = ax² + bx + c 的图像，则不等式 ax² + bx + c < 0 的解集是（　　） 图3 A．{x | −1 < x < 3} B．{x | x < −1 或 x > 3} C．{x | −3 < x < 1} D．R 7．（5分）已知 a，b ∈ R，且 a > b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a² > b²　　B．1/a < 1/b　　C．a − 3 > b − 3　　D．−2a > −2b 8．（5分）若不等式 x² − ax + 1 > 0 对任意 x ≥ 1 恒成立，则实数 a 的取值范围是（　　） A．a < 2　　B．a ≤ 2　　C．a > 2　　D．a ≥ 2 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分） 9．（5分）已知集合 A、B 满足 A ⊆ B（如图4），则下列结论正确的是（　　） 图4 A．A ∩ B = A　　B．A ∪ B = A　　C．∁_U A ⊇ ∁_U B　　D．A ∪ B = B 10．（5分）下列说法正确的是（　　） A．“x > 1”是“x² > 1”的充分不必要条件 B．“x = 0”是“xy = 0”的充分不必要条件 C．“a > b”是“ac² > bc²”的充要条件 D．“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的充要条件 11．（5分）如图5，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在 AB 上，CD ⊥ AB 交半圆于点 D，设 AC = a，BC = b（a > 0，b > 0）。结合图形，下列结论正确的是（　　） 图5 A．OD = (a + b)/2 B．CD = √(ab) C．CD ≥ OD，即 √(ab) ≥ (a + b)/2 D．CD ≤ OD，即 √(ab) ≤ (a + b)/2，当且仅当 a = b 时取等号 12．（5分）已知关于 x 的不等式 ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | −2 < x < 3}，则下列结论正确的是（　　） A．a < 0　　B．a + b + c > 0　　C．a − b + c > 0　　D．c < 0 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知集合 A = {−1, 0, 1, 2, 3}，B = {x | x² − 4x + 3 ≤ 0}，则 A ∩ B = ____________． 14．（5分）命题“∃x ∈ R，x² − 2x < 0”的否定是 ____________． 15．（5分）已知 x > 0，y > 0，且 2x + y = 1，则 1/x + 1/y 的最小值为 ____________． 16．（5分）已知正实数 a、b 满足 a + b = 1，则 (a + 1/a)(b + 1/b) 的最小值为 ____________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设全集 U = R，集合 A = {x | −1 ≤ x ≤ 3}，B = {x | 2 < x < 5}． （1）求 A ∪ B，A ∩ B； （2）求 (∁_U A) ∩ B． 18．（12分）已知集合 A = {x | x² − 4x − 5 ≤ 0}，B = {x | a ≤ x ≤ a + 2}． （1）求集合 A； （2）若“x ∈ B”是“x ∈ A”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 19．（12分） （1）已知 x > 2，求 y = x + 4/(x − 2) 的最小值及取得最小值时 x 的值； （2）已知正数 a、b 满足 a + b = 4，求 1/a + 4/b 的最小值． 20．（12分）已知函数 f(x) = x² − ax + (a − 1)． （1）当 a = 3 时，解不等式 f(x) > 0； （2）解关于 x 的不等式 f(x) < 0． 21．（12分）已知集合 A = {x | x² − 5x + 4 ≤ 0}，B = {x | 2x² − 7x + 3 ≤ 0}． （1）求 A ∩ B； （2）若 C = {x | x > a}，且 A ∪ B ⊆ C，求实数 a 的取值范围． 22．（12分）已知正实数 x、y 满足 xy = x + y + 3． （1）求 xy 的最小值； （2）求 x + y 的最小值． 第二板块　参考答案与解析 （说明：选择题给出答案与关键解析；解答题给出完整过程、分步给分要点，并附易错点提示。） 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．答案：D 解析：元素与集合之间用“∈”“∉”，集合与集合之间用“⊆”“⊇”。A中“1 ⊆ {1}”混淆符号，应为 1 ∈ {1}，错误；空集不含任何元素，故 0 ∈ ∅ 错误（B错）；{0} 的元素只有 0，而 ∅ 是一个集合，∅ ∈ {0} 错误（C错）；空集是任何集合的子集，故 ∅ ⊆ {0} 正确。故选D。 易错点：区分“∈”（元素与集合）与“⊆”（集合与集合）。 2．答案：B 解析：由图1知，阴影部分在集合 B 内部且不在集合 A 内部，即由“属于 B 且不属于 A”的元素组成，故表示的集合为 (∁_U A) ∩ B。A项 A ∩ B 表示两圆公共部分；C项 A ∩ (∁_U B) 表示 A 中不在 B 的部分；D项 ∁_U (A ∪ B) 表示两圆之外的区域，均不合题意。故选B。 3．答案：B 解析：全称量词命题“∀x ∈ M，p(x)”的否定是存在量词命题“∃x ∈ M，¬p(x)”，即“改量词、否结论”。故“∀x ∈ R，x² − 2x + 3 > 0”的否定为“∃x ∈ R，x² − 2x + 3 ≤ 0”。故选B。 易错点：必须同时否定量词（∀→∃）和结论（>→≤），缺一不可。 4．答案：A 解析：设 p：x < 1，q：x < 3。由 x < 1 可推出 x < 3，即 p ⇒ q，p 是 q 的充分条件；但由 x < 3 不能推出 x < 1（如 x = 2 满足 x < 3 却不满足 x < 1），故 p 不是 q 的必要条件。所以“x < 1”是“x < 3”的充分不必要条件。故选A。 技巧：对于集合型条件，“小范围”是“大范围”的充分不必要条件。 5．答案：A 解析：数轴上的阴影部分，从 −1 起向左延伸且 −1 处为实心点，表示 x ≤ −1；从 2 起向右延伸且 2 处为空心点，表示 x > 2。故阴影部分表示的集合为 {x | x ≤ −1 或 x > 2}。故选A。 排除：B 表示 −1 < x ≤ 2，C 表示 x < −1 或 x ≥ 2，均与端点开闭不符。 6．答案：A 解析：由图3知，抛物线开口向上，与 x 轴交于 (−1, 0) 和 (3, 0)。当 −1 < x < 3 时图像位于 x 轴下方，即 y = ax² + bx + c < 0；当 x < −1 或 x > 3 时图像在 x 轴上方。故 ax² + bx + c < 0 的解集为 {x | −1 < x < 3}。故选A。 7．答案：C 解析：由不等式性质，a > b ⇒ a − 3 > b − 3 一定成立，C正确。A中取 a = −1，b = −2，得 a² = 1 < 4 = b²，A错误；B中取 a = 1，b = −1，得 1/a = 1 > −1 = 1/b，B错误；D中“−2a > −2b”应为 −2a < −2b，D错误。故选C。 易错点：不等式两边同乘（除）一个数时，必须讨论该数的正负及是否为零。 8．答案：A 解析：不等式 x² − ax + 1 > 0 对任意 x ≥ 1 恒成立，等价于 ax < x² + 1，即 a < x + 1/x 对一切 x ≥ 1 恒成立。 设 g(x) = x + 1/x（x ≥ 1）。任取 1 ≤ x₁ < x₂，则 g(x₂) − g(x₁) = (x₂ − x₁)(1 − 1/(x₁x₂))；因 x₁x₂ ≥ 1，故 1 − 1/(x₁x₂) ≥ 0，又 x₂ − x₁ > 0，所以 g(x₂) ≥ g(x₁)，即 g(x) 在 [1, +∞) 上单调递增，其最小值为 g(1) = 1 + 1 = 2。∴ 只需 a < 2。 验证：当 a = 2 时，x = 1 使 x² − 2x + 1 = 0，不满足“> 0”，故不能取等号。∴ a < 2，选A。 易错点：分离参数后要注意“恒成立”对应的是 a 小于最小值还是不大于最小值，并检验端点。 二、多项选择题（每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分） 9．答案：ACD 逐项判断（由图4，A ⊆ B，即 A 是 B 的子集）： A项：A ⊆ B 时 A ∩ B = A，正确； B项：A ⊆ B 时 A ∪ B = B，而非 A，错误； C项：A ⊆ B ⇒ 两端取补集有 ∁_U B ⊆ ∁_U A，即 ∁_U A ⊇ ∁_U B，正确； D项：A ⊆ B 时 A ∪ B = B，正确。故选ACD。 10．答案：AB 逐项判断： A项：x > 1 ⇒ x² > 1 成立（充分），但 x² > 1 ⇏ x > 1（如 x = −2），故“x > 1”是“x² > 1”的充分不必要条件，正确； B项：x = 0 ⇒ xy = 0 成立（充分），但 xy = 0 ⇏ x = 0（如 y = 0），故“x = 0”是“xy = 0”的充分不必要条件，正确； C项：ac² > bc² ⇒ a > b（因 c² > 0），故“a > b”是“ac² > bc²”的必要条件；但 a > b ⇏ ac² > bc²（如 c = 0 时 ac² = bc²），故“a > b”是必要不充分条件，而非充要条件，错误； D项：两三角形全等 ⇒ 面积相等，但面积相等 ⇏ 全等，故“全等”是“面积相等”的充分不必要条件，而非充要条件，错误。故选AB。 11．答案：ABD 解析：∵ AB = a + b 为直径，∴ 半径 OD = AB/2 = (a + b)/2。又 AC = a，BC = b，由射影定理 CD² = AC·BC = ab，故 CD = √(ab)。 A项：OD = (a + b)/2，正确； B项：CD = √(ab)，正确； C项：由图形可见 CD ≤ OD，即 √(ab) ≤ (a + b)/2，C项不等号方向错误； D项：CD ≤ OD 即 √(ab) ≤ (a + b)/2，当且仅当 C 与圆心 O 重合（即 a = b）时取等号，正确。故选ABD。 12．答案：ABC 解析：由 ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | −2 < x < 3} 知抛物线开口向下（a < 0），且 −2、3 是方程 ax² + bx + c = 0 的两根。 A项：a < 0，正确； B项：a + b + c = f(1)，而 1 ∈ (−2, 3)，故 f(1) > 0，即 a + b + c > 0，正确； C项：a − b + c = f(−1)，而 −1 ∈ (−2, 3)，故 f(−1) > 0，即 a − b + c > 0，正确； D项：由 ax² + bx + c = a(x + 2)(x − 3) = a(x² − x − 6)，得 c = −6a，又 a < 0，故 c = −6a > 0，“c < 0”错误。故选ABC。 三、填空题（每小题5分，共20分） 13．答案：{1, 2, 3} 解析：由 x² − 4x + 3 ≤ 0 得 (x − 1)(x − 3) ≤ 0，解得 1 ≤ x ≤ 3，即 B = {x | 1 ≤ x ≤ 3}。A = {−1, 0, 1, 2, 3} 中满足 1 ≤ x ≤ 3 的元素为 1、2、3，故 A ∩ B = {1, 2, 3}。 14．答案：∀x ∈ R，x² − 2x ≥ 0 解析：“∃x ∈ R，x² − 2x < 0”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，即“改量词、否结论”，得 ∀x ∈ R，x² − 2x ≥ 0。 15．答案：3 + 2√2 解析：∵ x > 0，y > 0，2x + y = 1， ∴ 1/x + 1/y = (1/x + 1/y)(2x + y) = 2 + y/x + 2x/y + 1 = 3 + (y/x + 2x/y) 　　　　　　≥ 3 + 2√(y/x · 2x/y) = 3 + 2√2， 当且仅当 y/x = 2x/y，即 y = √2 x 时取等号（结合 2x + y = 1 可解出相应 x、y 的值）。故最小值为 3 + 2√2。 技巧：通过“乘 1 法”（乘以已知的 2x + y = 1）构造出“积为定值”，是此类问题的常用手段。 16．答案：25/4 解析：设 t = ab。∵ a + b = 1，a > 0，b > 0，∴ 0 < t = ab ≤ (a + b)²/4 = 1/4。 (a + 1/a)(b + 1/b) = ab + a/b + b/a + 1/(ab)。 其中 a/b + b/a = (a² + b²)/(ab) = ((a + b)² − 2ab)/(ab) = (1 − 2t)/t = 1/t − 2。 ∴ 原式 = t + (1/t − 2) + 1/t = t + 2/t − 2。 函数 y = t + 2/t 在 (0, 1/4] 上单调递减，故当 t = 1/4（即 a = b = 1/2）时取得最小值：1/4 + 2/(1/4) − 2 = 1/4 + 8 − 2 = 25/4。 ∴ 最小值为 25/4。 易错点：不能对 a + 1/a 与 b + 1/b 分别用基本不等式（两者取等条件 a = 1 与 b = 1 不能同时满足）；应消元转化为关于 t = ab 的函数再求最值。 四、解答题（共70分） 17．（10分） 解：由 A = {x | −1 ≤ x ≤ 3}，B = {x | 2 < x < 5}。 （1）A ∪ B = {x | −1 ≤ x < 5}；（3分） 　　　A ∩ B = {x | 2 < x ≤ 3}。（3分） （2）∵ U = R，∴ ∁_U A = {x | x < −1 或 x > 3}。（2分） 　　　又 B = {x | 2 < x < 5}， 　　　∴ (∁_U A) ∩ B = {x | 3 < x < 5}。（2分） 评分要点：结果必须写成集合形式；注意端点的开闭（并集左端点取等、交集右端点取等）。 18．（12分） 解：（1）由 x² − 4x − 5 ≤ 0 得 (x − 5)(x + 1) ≤ 0，解得 −1 ≤ x ≤ 5， 　　　故 A = {x | −1 ≤ x ≤ 5}。（4分） （2）∵“x ∈ B”是“x ∈ A”的充分不必要条件，∴ B ⊊ A（B 是 A 的真子集）。（2分） 　　　∵ B = {x | a ≤ x ≤ a + 2}， 　　　由 B ⊆ A 得 a ≥ −1 且 a + 2 ≤ 5，解得 −1 ≤ a ≤ 3；（4分） 　　　又 B 的“长度”为 2，A 的“长度”为 6，故 B ≠ A 自动成立，即 B ⊊ A 已满足。 　　　∴ 实数 a 的取值范围是 −1 ≤ a ≤ 3，即 a ∈ [−1, 3]。（2分） 易错点：把“充分不必要条件”误转化为 A ⊆ B；以及忽略“真”包含的判断。 19．（12分） 解：（1）∵ x > 2，∴ x − 2 > 0。 　　y = x + 4/(x − 2) = (x − 2) + 4/(x − 2) + 2 ≥ 2√((x − 2)·4/(x − 2)) + 2 = 2×2 + 2 = 6，（4分） 　　当且仅当 x − 2 = 4/(x − 2)，即 (x − 2)² = 4，x − 2 = 2，x = 4 时取等号。 　　∴ 当 x = 4 时，y 取得最小值 6。（2分） 　　（关键：把 x 拆成 (x − 2) + 2，使 (x − 2) 与 4/(x − 2) 的积为定值 4。） （2）∵ a > 0，b > 0，a + b = 4， 　　1/a + 4/b = (1/a + 4/b)·(a + b)/4 = (1 + b/a + 4a/b + 4)/4 = (5 + b/a + 4a/b)/4 　　　　　　≥ (5 + 2√(b/a · 4a/b))/4 = (5 + 4)/4 = 9/4，（4分） 　　当且仅当 b/a = 4a/b，即 b = 2a 时取等号（结合 a + b = 4 得 a = 4/3，b = 8/3）。 　　　　∴ 1/a + 4/b 的最小值为 9/4。（2分） 易错点：第（2）问须先把条件化为 (a + b)/4 = 1 再用“乘 1 法”，不可遗漏系数 1/4。 20．（12分） 解：（1）当 a = 3 时，f(x) = x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)。 　　f(x) > 0 即 (x − 1)(x − 2) > 0，解得 x < 1 或 x > 2， 　　∴ 解集为 {x | x < 1 或 x > 2}。（4分） （2）∵ f(x) = x² − ax + (a − 1) = (x − 1)[x − (a − 1)]， 　　方程 f(x) = 0 的两根为 x₁ = 1，x₂ = a − 1。 　　① 当 a − 1 > 1，即 a > 2 时，(x − 1)(x − a + 1) < 0 的解集为 {x | 1 < x < a − 1}； 　　② 当 a − 1 = 1，即 a = 2 时，(x − 1)² < 0 无解，解集为 ∅； 　　③ 当 a − 1 < 1，即 a < 2 时，解集为 {x | a − 1 < x < 1}。 　　综上：当 a > 2 时，解集为 {x | 1 < x < a − 1}；当 a = 2 时，解集为 ∅；当 a < 2 时，解集为 {x | a − 1 < x < 1}。（8分） 评分要点：正确因式分解；按两根大小关系分类讨论，做到不重不漏、端点开闭正确。 21．（12分） 解：（1）由 x² − 5x + 4 ≤ 0 得 (x − 1)(x − 4) ≤ 0，解得 1 ≤ x ≤ 4，即 A = {x | 1 ≤ x ≤ 4}；（2分） 　　由 2x² − 7x + 3 ≤ 0 得 (2x − 1)(x − 3) ≤ 0，解得 1/2 ≤ x ≤ 3，即 B = {x | 1/2 ≤ x ≤ 3}；（2分） 　　∴ A ∩ B = {x | 1 ≤ x ≤ 3}。（2分） （2）由（1）得 A ∪ B = {x | 1/2 ≤ x ≤ 4}。（2分） 　　∵ A ∪ B ⊆ C = {x | x > a}，即 A ∪ B 中所有元素都大于 a， 　　∴ a < 1/2。（3分） 　　（若 a = 1/2，则 x = 1/2 ∈ A ∪ B 但 1/2 ∉ C，不满足题意，故此处不能取等号。） 　　∴ 实数 a 的取值范围是 a < 1/2，即 a ∈ (−∞, 1/2)。（1分） 易错点：由“子集”得端点不等式时，易忽略端点能否取等，应结合集合端点的开闭逐一验证。 22．（12分） 解：（1）∵ x > 0，y > 0，∴ x + y ≥ 2√(xy)，当且仅当 x = y 时取等号。 　　由 xy = x + y + 3 得 xy − 3 = x + y ≥ 2√(xy)。 　　令 t = √(xy) > 0，则 t² − 3 ≥ 2t，即 t² − 2t − 3 ≥ 0， 　　因式分解得 (t − 3)(t + 1) ≥ 0，结合 t > 0 解得 t ≥ 3。 　　∴ √(xy) ≥ 3，xy ≥ 9，当且仅当 x = y 且 √(xy) = 3，即 x = y = 3 时取等号。 　　∴ xy 的最小值为 9。（6分） （2）由 xy = x + y + 3 得 x + y = xy − 3。 　　又由基本不等式 xy ≤ (x + y)²/4，当且仅当 x = y 时取等号。 　　令 s = x + y > 0，则 s = xy − 3 ≤ s²/4 − 3， 　　即 s² − 4s − 12 ≥ 0，(s − 6)(s + 2) ≥ 0，结合 s > 0 解得 s ≥ 6。 　　（当且仅当 x = y = 3 时取等号，此时 s = 6。） 　　∴ x + y 的最小值为 6。（6分） 评分要点：合理引入变量 t = √(xy) 或 s = x + y，借助基本不等式建立不等关系；务必检验等号能取到。 易错点：由 xy ≥ 9（或 s ≥ 6）下结论时，必须说明等号成立的条件确实可取到。 学科网（北京）股份有限公司 $