第三章 圆的基本性质【解答题专项】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区）

第三章 圆的基本性质【解答题专项】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区）·参考答案与详解 （浙教版·温州地区适用　　满分：120分） 【解答题详解】 1．（3分）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理的推论得到，进而可知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出的度数； （2）由题意可知四边形是的内接四边形，可得，根据等边对等角结合三角形内角和求出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵以为直径的分别交，于点D，E， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 2．（3分）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，连结AO，AD，CD． （1）求证：∠ABC＝∠ADB； （2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由． 【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB，证明∠ABC＝∠ADB； （2）根据垂径定理得到∠BAO＝∠CAO，根据圆周角定理得到∠ABO＝∠ACD，得到∠CAO＝∠ACD，根据平行线的判定证明即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ADB； （2）解：OA∥CD，理由如下： ∵AB＝AC， ∴AO⊥BC， ∴∠BAO＝∠CAO， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO， ∴∠ABO＝∠CAO， 由圆周角定理得：∠ABO＝∠ACD， ∴∠CAO＝∠ACD， ∴OA∥CD． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 3．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 【考点】弧长的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理 【分析】（1）连接OD，先证明△OAC≌△OBC（SSS），得到∠AOC＝∠BOC＝90°，由等腰三角形性质得到∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED，设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y，在四边形OADE中，由四边形内角和等于360°计算即可； （2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即可求解． 【解答】解：（1）连接OD， 在△OAC和△OBC中， ， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵OA＝OD＝OE， ∴∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED， 设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y， 在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC＝360° ∴x+x+y+y+90°＝360°， ∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝x+y＝135°； （2）连接OD， ∵∠AOC＝90°，D为AC中点， ∴， ∴OD＝OA＝AD＝3， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°， ∴的长为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 4．（3分）如图，有一个圆形花园，圆心处为一观光亭，是一条横穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于、两点，且两端点、与观光亭距离相等．现在要从观光亭向小路修一条小路，使垂直于，与小路交于点，与外围栅栏交于点． (1)试说明； (2)若量得花园内的小路长米，米，求花园的半径． 【答案】(1)见解析 (2)花园的半径为50米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质求得，根据垂径定理求得，再利用线段的和差计算即可得到； （2）连接，设的半径为r米，利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴，， ∴，即； （2）解：连接， 设的半径为r，则米，米， ∵， ∴米， 在中，， 解得，即花园的半径为50米． 5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，分别以点A，B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连结OC并延长交⊙O于点D，连结OA，OB． （1）求证：∠AOD＝∠BOD； （2）若∠AOD：∠AOB＝3：2，AB＝4，CD＝OC，求CD的长． 【分析】（1）连接AC、BC，由圆的相关知识可得AC＝BC，再证明△AOC≌△BOC即可证明结论； （2）先根据角的比例以及（1）的结论可得△AOB为等腰直角三角形，再结合可得AO＝4，最后结合CD＝OC即可解答． 【解答】解：（1）如图，连接AC、BC， 由条件可知AC＝BC， 又∵AO＝BO，OC＝OC， ∴△AOC≌△BOC（SSS） ∴∠AOD＝∠BOD． （2）由条件可知， ∵∠AOB+∠AOD+∠BOD＝360°， ∴，解得：∠AOB＝90°， ∵AO＝BO， ∴△AOB为等腰直角三角形． ∴AO2+BO2＝AB2＝32， ∴AO＝BO＝4， ∵CD＝OC， ∴． 【点评】本题主要考查了弦和弧的关系、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，交AB于点E，连接AC，BD，过点C作CF⊥BD于点F，交AB于点G． （1）求证：AC＝CG． （2）若CD＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定；勾股定理；垂径定理 【分析】（1）连接CO，根据已知条件和直角三角形的性质证明∠BGF＝∠D，∠AGC＝∠D，从而证明AC＝GC，然后根据等腰三角形的性质证明AE＝EG； （2）根据垂径定理求出CE，最后在Rt△COE中，利用勾股定理求出OE，进而求出OC即可． 【解答】（1）证明：如图，连接CO， ∵AB⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴∠B+∠D＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠BFG＝90°， ∴∠B+∠BGF＝90°， ∴∠BGF＝∠D， ∵∠BGF＝∠AGC， ∴∠AGC＝∠D， ∵∠A＝∠D， ∴∠A＝∠AGC， ∴AC＝GC； （2）解：∵AB⊥CD，AC＝GC， ∴AE＝GE， ∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，CD＝8， ∴CECD＝4， 设OE的长为x，则AE＝GE＝x+1， ∴AO＝AE+OE＝2x+1， ∴CO＝AO＝2x+1， 在Rt△OCE中，OE2+CE2＝CO2， ∴42+x2＝（2x+1）2， 16+x2＝4x2+4x+1， 3x2+4x﹣15＝0， （3x﹣5）（x+3）＝0， 3x﹣5＝0或x+3＝0， 解得：x或x＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴CO＝2x+1， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理及勾股定理． 7．（3分）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和B，点A的坐标为，点B的坐标为，解答下列问题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心C的坐标； (3)在上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)4， (3)存在，P点的坐标，的度数为或P点的坐标，的度数为 【分析】（1）连接，根据勾股定理求解即可； （2）由直角对直径可知，是直径，即可求出半径长，再根据中点坐标公式即可求出中点C坐标； （3）过C作于D，交于，如图，连接， ， ， ，，根据垂径定理可知，垂直平分，则均符合P点的要求，再根据勾股定理求出，即可证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质和圆周角定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：连接， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， ， ； （2）， 是直径， 的半径为4， 圆心C为中点， ，即； （3）解：存在，理由如下： 如图，过C作于D，交于，连接， ， ， ，， ， ， 垂直平分， ， 和都是等腰三角形， 因此均符合P点的要求， ， ， ， ， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 综上所述，存在符合条件的P点，P点的坐标，的度数为或P点的坐标，的度数为． 8．（3分）已知，是的弦，于点，且，连接． (1)如图1，若是的直径，求的度数． (2)如图2，求证：①，② 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先由弧与圆心角的关系得到，再由平角的意义求出的度数，然后由圆周角定理即可求解； （2）①设，则，由圆周角定理得到，根据互余关系得到，，则，即可证明，再由等角对等边即可证明； ②在上取点，使得，连接，则垂直平分，那么，则，由外角性质可得，则，故，那么，而，再等量代换即可求证． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②在上取点，使得，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（3分）点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接． (1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证： ①为等边三角形； ②探究线段，与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当时，若为的中点，连接，求证：． 【答案】(1)①见解析  ②，理由见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）①根据旋转的性质，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到结论即可； ②在上截取，连接， 根据等边三角形的性质和旋转的性质证明，即可得到，然后根据线段的和差解答即可； （2）延长到点N，使得，连接，，，证明，即可得到，，，，然后证明是等边三角形，过点D作于点P，过点N作于点Q，得到，得到，即可得到，然后根据中线分出的两三角形面积相等得到结论即可． 【规范解答】（1）①证明：由旋转可得：，， ∴是等边三角形； ②，理由为： 在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：延长到点N，使得，连接，，， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过点D作于点P，过点N作于点Q， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 10．（3分）如图，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求的度数； (3)求与的面积之和，请直接写出结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，可证明是等边三角形，即可得解； （2）根据证明，得出，然后根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，即可得解； （3）将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点E作于点，同理（1）（2）求出，，同理（2）得，推出，，再根据与的面积之和等于与的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵等边， ∴，． ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形． ∴； （2）解：∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴是直角三角形． ∴； （3）解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点E作于点， 同理（1）得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理（2）得，是直角三角形，且，， ∴， 同理（2）得，， ∴， ∴与的面积之和等于与的面积之和， ∴与的面积之和为． 11．（3分）（1）（问题发现）如图，在等边内有一点，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点． ①的度数为_______． ②求四边形的面积． （2）（类比探究）如图，在中，，，点P是内一点，如果，，，那么的度数是_______． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据旋转的性质可得； ②先证明，得出，进而勾股定理的逆定理判断是直角三角形，根据，分别求得等边三角形以及直角三角形的面积，即可求解； （2）根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，则，同（1）的方法证明，根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，即可求解． 【详解】（1）解：①∵绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点． ∴； 故答案为：． ②过点作垂直于点， ∵是等边三角形， ∴ ， 是等边三角形， ，， 在中， ， ， ， 又， ， 是直角三角形， ，， ， ， 由勾股定理得， ∵， ， ， ∴， 即四边形ADCE的面积是， （2）如图，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，连接． ∴， ∴，， 同理可得， ∴，． 又∵， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 故答案为：． 12．（3分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接． (1)求证：； (2)当点，，在同一条直线上时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由旋转的性质得，再根据三角形三边关系即可求证； （）由旋转可得 ，，即得，又可得，利用三角形内角和定理求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质等，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴； （2）解：由旋转可得， ，， ∵点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 13．（3分）如图（1），在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E． （1）求证：AE＝BC； （2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，连接CE′，BF′，求证：CE′＝BF′； （3）在图（2）的旋转过程中当旋转角α＝　 　 时，CE′∥AB． 【考点】旋转的性质；等腰三角形的判定与性质 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠C＝72°，再根据角平分线的定义求出∠ABE＝∠CBE＝36°，然后求出∠BEC＝72°，从而得到∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，再根据等角对等边证明即可； （2）求出AE＝AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （3）把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣36°）＝72°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE72°＝36°， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝36°+36°＝72°， ∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C， ∴AE＝BE，BE＝BC， ∴AE＝BC； （2）证明：∵AB＝AC，EF∥BC， ∴AE＝AF， 由旋转的性质得，∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′， 在△CAE′和△BAF′中， ， ∴△CAE′≌△BAF′（SAS）， ∴CE′＝BF′； （3）解：存在CE′∥AB． 由（1）可知AE＝BC， 所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图， ①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形， 所以，∠BAM＝∠ABC＝72°， 又∵∠BAC＝36°， ∴α＝∠CAM＝36°； ②当点E的像E′与点N重合时， ∵CE′∥AB， ∴∠AMN＝∠BAM＝72°， ∵AM＝AN， ∴∠ANM＝∠AMN＝72°， ∴∠MAN＝180°﹣72°×2＝36°， ∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝36°+36°＝72°， 综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB． 故答案为：36°或72°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，（1）利用角的度数相等得到相等的角是解题的关键，（3）从圆弧的角度考虑求解是解题的关键，难点在于分情况讨论． 14．（3分）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，P是内的一点，且，，，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕C旋转到的位置（即过C作，且使，连接、）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边内一点，，，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【详解】本题考查了勾股定理及其逆定理、旋转的性质、等边三角形的性质与判定，掌握勾股定理逆定理解题的关键． （1）将绕C旋转到的位置，得到，通过证明，得到，利用角度关系解题即可； （2）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明为等边三角形，得到，通过、、的边长关系证明，利用勾股定理逆定理得到，求出的度数即可． 【解答】解：如图： 由题意得： ， 由勾股定理得： ， ． 答：的度数为． （2 ）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图： ，， 为等边三角形，， ， ， ． 答：的度数为． 15．（3分）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽毫米． (1)求油的最大深度； (2)如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？ 【答案】(1)100mm (2)此时油面上升了100毫米或700毫米 【思路点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线，利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解． （1）连接圆心与弦的端点，作弦心距，构造直角三角形，利用勾股定理求出弦心距，再结合圆的半径求出油的最大深度． （2）分油面在圆心下方和上方两种情况，同理构造直角三角形求出弦心距，进而计算出油面上升的高度． 【规范解答】（1）解：（1）过作交于，交圆于，连接， ， 直径 由勾股定理得，， 则； （2）（2）油面宽变为800毫米时，存在两种情况： 当油面在圆心的下方时，连接， ， ，， 则， 同理，当在圆心上方时，可得． 答：此时油面上升了100毫米或700毫米． 16．（3分）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH． （1）作OC⊥MN于点C，求OC的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少． 【分析】（1）连接OM，利用垂径定理得出MCMN＝24cm，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过O作 OD⊥EF，连接OE，利用勾股定理求出ED，再利用垂径定理得出EF＝2ED＝20cm，MN与EF相减即可得出答案． 【解答】解：（1）连接OM， ∵O为圆心，OC⊥MN，MN＝48cm， ∴， ∵AB＝52cm， ∴， 在 Rt△OMC 中，， ∴OC的长为10cm； （2）过O作 OD⊥EF，连接OE， 由题得，OD＝10+14＝24cm， 在 Rt△OED 中，ED10cm， ∴EF＝2ED＝20cm， ∴48﹣20＝28cm ∴水面截线减少了28cm． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 17．（3分）是的两条弦，且． (1)如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． (2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． (3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）小明同学：过点作，，垂足为，连接，由弦、弧、圆心角、弦心距的关系可得，进而可得，得到，再根据垂径定理得，进而即可求证； 小华同学：连接，则由圆周角定理得，由弦、弧、圆心角的关系可得，进而得，得到，再证明即可求证； 小刚同学：连接，同理小华同学证明，再根据圆周角定理得到即可求证； （）连接，过点作交于点，则，由过点，可得点与点关于对称，即得，再根据勾股定理即可求解； （）连接，先证明四边形是正方形，过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值，利用正方形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）证明：小明同学：过点作，，垂足为，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 小华同学：连接，则由圆周角定理得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； 小刚同学：连接， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：连接，过点作交于点，则，， ∵过点， ∴点与点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线，点三点共线，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 由正方形性质可得，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， 根据折叠可知，， ∴， ∴， ∴折叠后上的一点到最小值为． 18．（3分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】(1) (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长即可得解． 【详解】（1）解：如图半径，， 设桥拱的半径是， ， ， 拱高为， ， ， ， ， 桥拱的半径是； （2）解：不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 不需要采取紧急措施． 19．（3分）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． (1)求桥洞所在圆的半径； (2)当水深为19米时，求此时水面的宽． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，勾股定理．正确连接辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得．设半径为，则，结合勾股定理可求出； （2）先求出，再证，即可再次利用勾股定理求出，最后再次利用垂径定理得出，即当水深时，此时的水面宽为． 【详解】（1）解：如图，连接， 过圆心，， ， 设半径为，， 在中，， 即， 解得：， ∴半径为． （2）解：由（1）可知桥洞所在圆的半径， ∵，， ， ， ， ， 在中，． 又∵过圆心， ∴， 即当水深时，此时的水面宽为． 20．（3分）如图，、是的直径，于，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是上一点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据同角的余角相等得：，由圆周角定理，即可得证； （2）作辅助线，先根据垂径定理得：，由三角形中位线定理得：，证明，则，即可得证． 【详解】（1）如图1，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，延长交于，连接、、， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的中垂线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形中位线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握圆的相关性质定理是解题的关键． 21．（3分）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想： 小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则． 小江：若AB＝2BC，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【分析】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系进行解答即可． 【解答】证明：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由： 小滨：如图1，作∠AOB的平分线OD， ∵OD是∠AOBd的平分线， ∴∠AOB＝2∠AOD＝2∠BOD， 又∵∠AOB＝2∠BOC， ∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC， ∴， 即 ＝2； 小江：如图2，取AB的中点E，连接OE并延长交⊙O于点D，由垂径定理可知，， ∴AD＝BD， ∵AD+BD＞AB，即2AD＞AB，而AB＝2BC， ∴AD＞BC， ∴， ∴2． 【点评】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系是正确解答的关键． 22．（3分）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，由圆周角定理推出． （1）设的半径是，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径长； （2）由圆周角定理得到，因此，再利用，得到． 【详解】（1）解：设的半径是，则， ， 直径， ， ， ， ， 的直径为； （2）解：，， ， ， ， ． 23．（3分）已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F．    (1)如图1，求证：． (2)如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）圆周角定理，得到，推出，得到，等边对等角，得到，即可得证； （2），推出，进一步得到，求出，进而推出，等边对等角以及含30度角的之间三角形的性质，求出的长，即可得解． 【详解】（1）证明：如图1中，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2中，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 24．（3分）如图，四边形ABCD内接于，AC为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求CD的长度． 【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形 证明：∵∠ADB=∠CDB根据同圆中，相等的圆周角所对的弧相等， ∴弧AB= 弧BC，∴AB=BC。 又∵AC是直径，直径所对圆周角为90 ∘， ∴∠ABC=90 ∘。 ∴△ABC是等腰直角三角形。 （2）∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2 ,∠ABC=90 ∘ 由勾股定理： ∵AC是直径，∴∠ADC=90 ∘（直径所对圆周角是直角） △ADC为直角三角形，AC=4，AD=2 ∴ 答案：(1) 等腰直角三角形；(2) CD= ​ 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 25．（3分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）首先根据圆周角定理得到，然后根据含角直角三角形的性质求出直径，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质得到，然后根据点D为的中点得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，弧、弦、角关系，等边对等角和三角形内角和定理等知识，根据题意找出相关的角度关系是解题关键． 26．（3分）如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）四边形内接于，，则，即可求解； （2）连接，由， ，得；再由同弧所对的圆周角相等可得；由是的直径，得，从而求得． 【详解】（1）解：∵四边形内接于，， ， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∴． 27．（3分）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明，根据圆的内接四边形的性质得，根据平角的定义得，从而得，由等腰三角形的性质得，证明，根据全等三角形的判定与性质得； （2）由（1）求出，在中利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中利用勾股定理，得． 28．（3分）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2）①②．理由见解析 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可以得出； （2）①连接OB，OD，过点O作于点M，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出；②延长CB至点N，使，连接AN，先证明，再判定为等边三角形，即可得出． 【详解】解：（1）证明：连接OD，OB，如图①． ，， ． （2）①由（1）可知． ， ． 连接OB，OD，过点O作于点M，如图②． ， ， 则， ． ②．理由如下： 延长CB至点N，使，连接AN，如图③． 平分， ． 由（1）可知， ， ． 点在上， ． ． 在和中， ， ． 又， 为等边三角形， ． 即． 29．（3分）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 30．（3分）如图，已知正六边形内接于，的半径是1．连接，． (1)的度数为 ，的度数为 ； (2)点到边的距离为 ； (3)该正六边形的周长为 ，面积为 ； (4)的长为 ，的周长为 ，的面积为 ，的面积为 ； (5)若点为的中点，则的长为 ． 【答案】(1) (2) (3) 6 (4) (5) 【分析】（1）由圆的内接正六边形可求得，再由可求得； （2）过作于，则，再根据勾股定理求解即可； （3）由可求得正六边形的周长，正六边形的面积＝的面积； （4）过点作于点，则，再根据勾股定理求得，然后按照周长公式和面积公式求解即可； （5）连接，则，点为的中点，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵正六边形内接于， ∴圆心角； 又∵正六边形内角和为，每个内角为， ∵ ∴． 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴是等边三角形， 过作于，则， ， 即点到边的距离为． 故答案为：． （3）解：正六边形的边长等于圆的半径1， ∴周长为； 的面积为， 正六边形可以分成6个这样的三角形， ∴面积为． 故答案为：6；． （4）解：过点作于点，则 由勾股定理得，， ∵是直径， ∴ 由勾股定理得； ∴， ∴的周长为，面积为； 的面积为； 故答案为：． （5）解：连接，则 ∵点为的中点，，是直径， ∴， 由勾股定理得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要运用正六边形的性质、圆的性质、解直角三角形等知识来求解，正六边形的中心角为，内角为，边长等于圆的半径等性质是解题的关键。 31．（3分）如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答． （2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 32．（3分）如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：四边形ADOE是正方形； （2）若AC＝4，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可得结论； （2）根据勾股定理可得半径． 【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴ADAB，AEAC， ∵AB＝AC， ∴AD＝AE， ∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°， ∴四边形ADOE是正方形； （2）解：连接OA， ∵AC＝4cm， ∴AE＝2cm， 在Rt△AOE中，OA2， 答：⊙O的半径是2． 【点评】本题考查正方形的判定，运用垂径定理得到AD＝AE是解题关键． 33．（3分）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，则，    ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，    ∵O为正方形中心， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， 而正方形的边长， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 34．（3分）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】本题考查作图复杂作图正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上任意取一点，以为圆心，为半径把六等分可得正六边形； （2）连接，，过点作于点证明是等边三角形，进而求出，根据勾股定理即可求出，问题得解． 【规范解答】（1）解：如图，六边形即为所求； 证明：由作图可得， ∴，， ∴， ∴六边形是圆内接正六边形； （2）解：连接，，过点作于点． ∵六边形是圆内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为． 35．（3分）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了扇形面积的计算、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． （1）先求出的度数，再由得出，最后利用外角性质即可得答案； （2）过点作于点，将阴影部分的面积转化为扇形与的面积之差即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．（3分）如图，C，D是以为直径的半圆上的两点，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到，根据得到，进而得到结论； （2）连接，根据所求的阴影部分面积与扇形的面积及的关系即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接 交线段于点M． ∵°， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 37．（3分）如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，，与交于点，若． (1)求的度数； (2)若，，求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形的面积以及勾股定理，注意得到，应用垂径定理是关键． （1）由，，可求得的度数；由是半圆的直径， 根据“直径所对的圆周角是直角”，可求得，又由，证得，然后由“垂径定理”求得，最后根据圆周角定理求得的度数； （2）由“垂径定理”可求得的长，设，则， 在中，根据勾股定理列方程求解即可得到的长，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 是圆的直径， ， ， ，即， ， ； （2）解：，， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即， 扇形的面积为： ． 38．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．以AC为直径的⊙O交BC于点D，交BA的延长线于点E，连结CE，DE． （1）求∠DEC的度数． （2）若DE＝6，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）先求出∠COD的度数，再得出∠DEC的度数； （2）求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：（1）连接OD， ∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠ACB＝30°， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝30°， ∴∠COD＝180°﹣2×30°＝120°， ∴∠DEC； （2）连接AD，过O作OH⊥CD于点H， ∵∠AED＝∠ACD＝30°， ∴∠AED＝∠B＝30°， ∴BD＝DE＝6， ∵AC是直径， ∴AD⊥CD， ∴D为BC中点， ∴CD＝BD＝6， ∴DH＝3，OH，OD， ∴S． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理等，掌握扇形面积计算是解题的关键． 39．（3分）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交BC边于点D，交CA的延长线于点E，且∠C＝∠E． （1）求证：BD＝CD． （2）若AC＝4，，求阴影部分的面积． 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可； （2）连接OD、OE，根据题意求得∠B＝30°，即可求得∠B＝∠C＝30°，得到∠OAE＝60°，证得△AOE是等边三角形，然后利用S阴影＝S扇形OAE﹣S△OAE求得即可． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， 又∵∠E＝∠B，∠C＝∠E， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴BD＝CD； （2）解：连接OD、OE， ∵， ∴∠BOD＝2∠AOD＝120°， ∴∠AOD＝60°， ∴∠B＝30°， ∵∠B＝∠C＝30°， ∴∠OAE＝60°， ∵OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∵AB＝AC＝4， ∴OA＝OE＝AE＝2， ∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△OAEπ． 【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，扇形的面积，熟记同圆中同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 40．（3分）如图，已知是的直径，点C，D在上，且，过点O作交于点F，垂足为E． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质． （1）由圆周角定理得到，，进而得到，根据等边对等角得到，即可证明平分； （2）由，得到，由直角三角形的性质得到，最后根据计算即可； （3）由，得到阴影部分的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ． 又∵， ， 平分； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ， ； （3）解：如图，连接． 由（2）知． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴ 阴影部分的面积为 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆的基本性质【解答题专项】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） （浙教版·温州地区适用　　考试时间：150分钟　　满分：120分） 考试范围：浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》（3.1 圆～3.2 图形的旋转～3.3 垂径定理～3.4 圆心角～3.5 圆周角～3.6 圆内接四边形～3.7 正多边形～3.8 弧长及扇形的面积） 学校：__________　班级：________　姓名：__________　学号：________　得分：________ 注意事项：1．答题前请将学校、班级、姓名、学号填写清楚；2．选择题须用 2B 铅笔填涂，其余题目用黑色签字笔作答；3．解答题应写出必要的文字说明、推演步骤或证明过程，只写答案不给过程分；4．本卷所有图形均不一定按比例绘制，保留作图痕迹。 题 号 一 二 三 总 分 等 级 得 分 三、解答题（本大题共 40 小题，每小题 3 分，共 120 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 1．（3分）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 2．（3分）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，连结AO，AD，CD． （1）求证：∠ABC＝∠ADB； （2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由． 3．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 4．（3分）如图，有一个圆形花园，圆心处为一观光亭，是一条横穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于、两点，且两端点、与观光亭距离相等．现在要从观光亭向小路修一条小路，使垂直于，与小路交于点，与外围栅栏交于点． (1)试说明； (2)若量得花园内的小路长米，米，求花园的半径． 5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，分别以点A，B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连结OC并延长交⊙O于点D，连结OA，OB． （1）求证：∠AOD＝∠BOD； （2）若∠AOD：∠AOB＝3：2，AB＝4，CD＝OC，求CD的长． 6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，交AB于点E，连接AC，BD，过点C作CF⊥BD于点F，交AB于点G． （1）求证：AC＝CG． （2）若CD＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 7．（3分）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和B，点A的坐标为，点B的坐标为，解答下列问题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心C的坐标； (3)在上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标，求出的度数；若不存在，请说明理由． 8．（3分）已知，是的弦，于点，且，连接． (1)如图1，若是的直径，求的度数． (2)如图2，求证：①，② 9．（3分）点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接． (1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证： ①为等边三角形； ②探究线段，与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当时，若为的中点，连接，求证：． 10．（3分）如图，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求的度数； (3)求与的面积之和，请直接写出结果． 11．（3分）（1）（问题发现）如图，在等边内有一点，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点． ①的度数为_______． ②求四边形的面积． （2）（类比探究）如图，在中，，，点P是内一点，如果，，，那么的度数是_______． 12．（3分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接． (1)求证：； (2)当点，，在同一条直线上时，求的度数． 13．（3分）如图（1），在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E． （1）求证：AE＝BC； （2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，连接CE′，BF′，求证：CE′＝BF′； （3）在图（2）的旋转过程中当旋转角α＝　 　 时，CE′∥AB． 14．（3分）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，P是内的一点，且，，，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕C旋转到的位置（即过C作，且使，连接、）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边内一点，，，，求的度数． 15．（3分）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽毫米． (1)求油的最大深度； (2)如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？ 16．（3分）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH． （1）作OC⊥MN于点C，求OC的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少． 17．（3分）是的两条弦，且． (1)如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． (2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． (3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 18．（3分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 19．（3分）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． (1)求桥洞所在圆的半径； (2)当水深为19米时，求此时水面的宽． 20．（3分）如图，、是的直径，于，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是上一点，，求证：． 21．（3分）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想： 小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则． 小江：若AB＝2BC，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 22．（3分）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 23．（3分）已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F．    (1)如图1，求证：． (2)如图2，连接，若，求的长． 24．（3分）如图，四边形ABCD内接于，AC为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求CD的长度． 25．（3分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 26．（3分）如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 27．（3分）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 28．（3分）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 29．（3分）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 30．（3分）如图，已知正六边形内接于，的半径是1．连接，． (1)的度数为 ，的度数为 ； (2)点到边的距离为 ； (3)该正六边形的周长为 ，面积为 ； (4)的长为 ，的周长为 ，的面积为 ，的面积为 ； (5)若点为的中点，则的长为 ． 31．（3分）如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 32．（3分）如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：四边形ADOE是正方形； （2）若AC＝4，求⊙O的半径． 33．（3分）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 34．（3分）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 35．（3分）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 36．（3分）如图，C，D是以为直径的半圆上的两点，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 37．（3分）如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，，与交于点，若． (1)求的度数； (2)若，，求扇形的面积． 38．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．以AC为直径的⊙O交BC于点D，交BA的延长线于点E，连结CE，DE． （1）求∠DEC的度数． （2）若DE＝6，求图中阴影部分的面积． 39．（3分）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交BC边于点D，交CA的延长线于点E，且∠C＝∠E． （1）求证：BD＝CD． （2）若AC＝4，，求阴影部分的面积． 40．（3分）如图，已知是的直径，点C，D在上，且，过点O作交于点F，垂足为E． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $