专题04 扇形弧长面积的计算（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以弧长与扇形面积公式为核心，通过7大题型构建“公式应用-变形迁移-综合拓展”的方法体系，强化几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求弧长|1典例+3变式|弧长公式及正比关系|公式直接应用，区分角度制与弧度| |求半径|1典例+4变式|弧长公式变形、圆锥侧面积关系|公式逆用，关联圆锥底面周长| |求圆心角|1典例+3变式|弧长公式变形求角度|弧长与半径的方程思想| |旋转路径长|1典例+3变式|确定旋转三要素（中心、角、半径）|弧长公式在动态几何中的应用| |扇形面积|1典例+3变式|面积公式及环形扇面计算|面积与弧长公式的联动| |不规则图形面积|1典例+4变式|割补法转化为规则图形|组合图形面积的分解与合成| |图形扫过面积|1典例+3变式|旋转扇环面积计算|旋转边界的内外半径分析|

专题04 扇形弧长面积的计算 （题型突破·举一反三） 题型01 求弧长 题型02 求半径 题型03 求圆心角 题型04 求某点旋转的路径长 题型05 求扇形面积 题型06 求不规则图形面积 题型07 求图形扫过的面积 ▌题型01 求弧长 1．弧长公式：，其中n为圆心角度数，r为半径。 2．弧长与圆心角、半径的关系：弧长与圆心角成正比，与半径成正比。 3．易错提醒：公式中n是角度制，不是弧度制；注意区分弧长和弧的度数。 【典例1】（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，当，、三点共线时，则(　　) A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧，三段圆弧所围成的封闭图形叫做“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为1，则该“莱洛三角形”的周长为（    ） A．π B． C．2π D．3π 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，请解答以下问题： (1)经过，，三点的圆弧所在圆的圆心坐标为__________； (2)求弧的长． ▌题型02 求半径 1．由弧长公式变形：，已知弧长和圆心角可求半径。 2．圆锥侧面积问题：扇形弧长=圆锥底面周长，即。 3．易错提醒：圆锥展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，不要混淆两个半径。 【典例2】如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为__________． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为____________ 【变式2-2】（2025·河南周口·二模）如图1，点从正的顶点出发，沿方向运动到某一点后，再经过正三角形内部运动到边上某一点，然后沿方向运动到点停止，设点的运动路程为，，已知点运动时，随变化的关系图象如图2所示，则正的边长为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式2-3】（24-25六年级下·上海·期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． ▌题型03 求圆心角 1．由弧长公式变形：，已知弧长和半径可求圆心角。 2．弧的度数=所对圆心角的度数，可用弧长公式建立方程求解。 3．易错提醒：求出的圆心角单位是度（°），注意与弧长的单位区分。 【典例3】（2026·浙江杭州·模拟预测）已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 【变式3-1】如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角为________度． 【变式3-2】（2025·四川成都·二模）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则_______． 【变式3-3】（2026·河北·中考真题）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） ▌题型04 求某点旋转的路径长 1．旋转路径是圆弧，路径长=，n为旋转角，r为旋转半径。 2．关键：确定旋转中心、旋转角度和旋转半径（点到旋转中心的距离）。 3．易错提醒：旋转路径是弧长不是弦长，注意使用弧长公式。 【典例4】（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【变式4-1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为3，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，在上滑动，同时点在上滑动，当点到达点时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，．点在以为直径的半圆上运动，为的三等分点（靠近点），当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（    ） A． B． C． D． ▌题型05 求扇形面积 1．扇形面积：，其中l为弧长，r为半径。 2．环形扇面面积：大扇形面积-小扇形面积=。 3．易错提醒：扇形面积有两个公式，已知圆心角用第一个，已知弧长用第二个。 【典例5】如图，折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为，则这把折扇扇面面积为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图是以点O为圆心，分别以，的长为半径的扇面．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知是的直径，点，在上，且，过圆心作，垂足为． (1)求的长． (2)若的延长线交于点，求弦，和所围成的图形（阴影部分）的面积． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，AB是直径，点C，D在圆上，． (1)求证：． (2)若，． ①求AD的长． ②求阴影部分的面积（结果保留） ▌题型06 求不规则图形面积 1．割补法：将不规则图形分割或补全为规则图形（扇形、三角形等）的组合。 2．常用策略：弓形面积=扇形面积-三角形面积；阴影面积=大面积-小面积。 3．易错提醒：注意识别图形中的特殊关系（等边三角形、直角三角形等），简化计算。 【典例6】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，扇形的圆心角为点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在等腰直角中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形．若点C恰好在弧上，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·山西吕梁·二模）城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆．从直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是(　　) A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段________，阴影部分的面积为________． ▌题型07 求图形扫过的面积 1．旋转扫过面积：图形绕某点旋转，扫过区域为扇形或扇环。 2．关键：确定旋转中心、旋转角度，以及图形各顶点到旋转中心的距离。 3．易错提醒：扫过面积=外边界扇形面积-内边界扇形面积，注意区分内外半径。 【典例7】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为______． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知是上一段圆弧． (1)如图1，连接，，，若，，求的长度； (2)如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，若，求扫过的图形面积． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 扇形弧长面积的计算 （题型突破·举一反三） 题型01 求弧长 题型02 求半径 题型03 求圆心角 题型04 求某点旋转的路径长 题型05 求扇形面积 题型06 求不规则图形面积 题型07 求图形扫过的面积 ▌题型01 求弧长 1．弧长公式：，其中n为圆心角度数，r为半径。 2．弧长与圆心角、半径的关系：弧长与圆心角成正比，与半径成正比。 3．易错提醒：公式中n是角度制，不是弧度制；注意区分弧长和弧的度数。 【典例1】（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，当，、三点共线时，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，交于点，根据旋转的性质以及全等三角形的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理得出，解直角三角形得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：如图，设，交于点， ∵，， ∴ ∴， 由旋转可知， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧，三段圆弧所围成的封闭图形叫做“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为1，则该“莱洛三角形”的周长为（    ） A．π B． C．2π D．3π 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式： （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），等边三角形的性质，掌握知识点是解题的关键．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：在等边中，， 该莱洛三角形的周长． 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在扇形中，，C是上一点，O关于的对称点D正好落在上．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算以及轴对称的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题关键； 连接，根据轴对称基本性质得到，进而可得到为等边三角形，再通过勾股定理算出的长度，进而可求出的长． 【详解】解：连接，故， ∵O关于的对称点为D， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 在直角中，，， ∴，， ∴， ∴的长为：， 故选：C． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，请解答以下问题： (1)经过，，三点的圆弧所在圆的圆心坐标为__________； (2)求弧的长． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理及其逆定理，弧长公式，根据垂径定理的推论找出圆心是解题的关键． （1）根据垂径定理的推论可知，的垂直平分线的交点即为圆心D，进而求出坐标； （2）利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理得出，结合弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，D为所求；， （2）解：连接，，如图所示： 在中，， 的半径为， 由网格得：，，， ∴， ∴， ∴弧的长为：． ▌题型02 求半径 1．由弧长公式变形：，已知弧长和圆心角可求半径。 2．圆锥侧面积问题：扇形弧长=圆锥底面周长，即。 3．易错提醒：圆锥展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，不要混淆两个半径。 【典例2】如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【详解】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为____________ 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长．设，则，根据圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设，则， 根据题意可得：， 解得：， ， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·河南周口·二模）如图1，点从正的顶点出发，沿方向运动到某一点后，再经过正三角形内部运动到边上某一点，然后沿方向运动到点停止，设点的运动路程为，，已知点运动时，随变化的关系图象如图2所示，则正的边长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象及弧长公式，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．由函数图象可得， 点P在内运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧长，，由点P运动到时所经过的路程为，可得出的长为，由弧长公式得，得出，再求解即可． 【详解】解：如图， 由函数图象可得， 点P在内运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧长， ， 点P运动到时所经过的路程为， 的长为， 正，， ， ， ， 故选：D． 【变式2-3】（24-25六年级下·上海·期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 【答案】(1) (2)他的猜想正确．理由见解析 (3) (4)； 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用． （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）解：他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； （3）解：∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为： ； （4）解：∵，， ∴， ∵，即， 解得： ∴，即 故答案为：，． ▌题型03 求圆心角 1．由弧长公式变形：，已知弧长和半径可求圆心角。 2．弧的度数=所对圆心角的度数，可用弧长公式建立方程求解。 3．易错提醒：求出的圆心角单位是度（°），注意与弧长的单位区分。 【典例3】（2026·浙江杭州·模拟预测）已知弧的长为，该弧所在圆的半径为，则该弧的度数为______． 【答案】 【分析】设弧的度数为，利用弧长公式构造方程并求解即可． 【详解】解：设弧的度数为， 由弧长公式可得，， ∴， 解得． 【变式3-1】如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角为________度．    【答案】 【分析】由题意得：，，设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，则，进行计算即可得． 【详解】解：如图，    由题意得：，， 设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是， 则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键． 【变式3-2】（2025·四川成都·二模）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3-3】（2026·河北·中考真题）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 【答案】(1)多次测量取平均值 (2)方案二弧长为；方案三弧长为 (3)， 【分析】（1）方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）方案二利用弧长公式求解即可，方案三代入已知数据求解即可； （3）先由垂径定理以及勾股定理求解，再由“会圆术”求解弧长，最后根据弧长公式求解圆心角的度数即可． 【详解】（1）解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）解：方案二：的长； 方案三：∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴ 解得 由“会圆术”可得，， 设的度数为，则由得，， 解得 ▌题型04 求某点旋转的路径长 1．旋转路径是圆弧，路径长=，n为旋转角，r为旋转半径。 2．关键：确定旋转中心、旋转角度和旋转半径（点到旋转中心的距离）。 3．易错提醒：旋转路径是弧长不是弦长，注意使用弧长公式。 【典例4】（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【答案】(1) 如图，即为所求,． (2) 【分析】本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴点B的运动路径长为 【变式4-1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形的边长为3，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，在上滑动，同时点在上滑动，当点到达点时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹，正方形的性质，弧长公式等知识，由直角三角形斜边中线可得，得到点在以为圆心，为半径的圆上运动，再求出两种特殊位置时，，的值，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形的边长为3， ∴，， ∵线段的中点，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点Q与A重合时，在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵， ∴， 当与C重合时，同法可得， ∵， ∴， ∴线段的中点M所经过的路线长， 故选：D． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，．点在以为直径的半圆上运动，为的三等分点（靠近点），当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上取一点E使得，在上取一点F使得，连接，取中点O，连接，根据相似三角形的性质和判定可证，即可确定M点的轨迹，即点M在以O为圆心，以的长为半径的圆弧上运动，由三角函数求出半径，根据弧长公式求M点的路径长即可． 【详解】解：如图所示，在上取一点E使得，在上取一点F使得，连接，取中点O，连接， ∵为直径， ， ∵M为的三等分点（靠近点P）， ， ， 又， ， ， 同理可证， ∴， ∴点M在以O为圆心，以为直径的圆弧上运动， ，， ， ， ∵当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M从点E沿半圆运动到点F， ∴点M运动的路径长为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，弧长，确定点M的运动轨迹是解题的关键． 【变式4-3】如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．如图，连接，由的内心为M，可得到，并且易证，得到，所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、M、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长即可． 【详解】解：如图，连接， 的内心为M， ，， ， ∵， ∴， ， 又，为公共边， 而， ， ， 所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，， ， ， ， ∵， ， 弧的长， 所以内心M所经过的路径长为． 故选：B． ▌题型05 求扇形面积 1．扇形面积：，其中l为弧长，r为半径。 2．环形扇面面积：大扇形面积-小扇形面积=。 3．易错提醒：扇形面积有两个公式，已知圆心角用第一个，已知弧长用第二个。 【典例5】如图，折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为，则这把折扇扇面面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，先求出的长，再根据折扇的扇面面积是两个扇形面积的差计算即可得出答案． 【详解】解：∵折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度是折扇骨柄长的， ∴， ∴， ∴这把折扇扇面面积为， 故选：C． 【变式5-1】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图是以点O为圆心，分别以，的长为半径的扇面．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据计算即可，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由 ， 故选：． 【变式5-2】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知是的直径，点，在上，且，过圆心作，垂足为． (1)求的长． (2)若的延长线交于点，求弦，和所围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂径定理得点E是的中点、进而由三角形中位线定理得，再由含30度角直角三角形的性质得，即可求得的长； （2）连接，易得是等边三角形，则可得，从而阴影部分的面积等于扇形的面积，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点E是的中点， ∵O是的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理、含30度角直角三角形的性质，扇形的面积等知识，熟练并灵活运用这些知识是关键． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，AB是直径，点C，D在圆上，． (1)求证：． (2)若，． ①求AD的长． ②求阴影部分的面积（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查圆周角定理、平行线性质、相似三角形判定与性质、扇形面积公式；解题的关键是利用平行线与圆周角定理证角相等，结合相似三角形与面积公式计算． （1）利用得内错角相等，结合同弧所对圆周角相等，推导； （2）①通过角相等证，利用相似性质求；②由为直径得直角三角形，用勾股定理求直径，证为等边三角形，计算扇形与三角形面积作差得阴影面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴（内错角相等）． 又∵（同弧所对圆周角相等）， ∴, ∵,则, ∴． （2）①解：∵，， ∴，则, ∴ ∵，， ∴， ∴， 解得. ②解：∵为直径， ∴ 由，得，半径, ∵，， ∴为等边三角形，, 扇形面积：， 作,垂足H，则,, ∴面积：， ∴阴影面积：． 答：阴影部分的面积为． ▌题型06 求不规则图形面积 1．割补法：将不规则图形分割或补全为规则图形（扇形、三角形等）的组合。 2．常用策略：弓形面积=扇形面积-三角形面积；阴影面积=大面积-小面积。 3．易错提醒：注意识别图形中的特殊关系（等边三角形、直角三角形等），简化计算。 【典例6】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，扇形的圆心角为点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质得到为等边三角形，得到， ，根据勾股定理求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【详解】解：， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式6-1】如图，在等腰直角中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形．若点C恰好在弧上，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设交于点H，交于点，利用可证得，从而这两个三角形面积相等，则四边形的面积等于的面积，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点H，交于点， ∵是等腰三角形，且，，， ∴， ∵点D为的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三线合一，直角三角形的两个锐角互余，求扇形面积，求其他不规则图形的面积等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式6-2】（2026·山西吕梁·二模）城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设与相交于点，由圆周角定理得，即得，得到，即得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理得，得，，得，最后根据图形求出面积即可． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式6-3】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆．从直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设扇形半径为，求出扇形的面积；再通过连接辅助线，利用半圆的直径所对圆周角为直角的性质，结合等腰三角形的判定，确定交点的位置及线段相等关系，进而通过割补将阴影部分面积转化为直角三角形的面积，最后代入计算得到所求概率． 【详解】解：设扇形的半径为， ∵扇形的圆心角为直角， ∴． 设以、为直径的两个半圆的另一个交点为，连接、、， ∵以、为直径作半圆， ∴，点在上， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴将弓形，绕点旋转后可分别与弓形重叠， ∴， ∴所求概率． 【变式6-4】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段________，阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质和旋转的性质，连接，延长交于点，如图，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，从而可判断垂直平分，所以，，接着勾股定理计算出，则可求，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可．知道求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， 为等腰直角三角形，， ，，， 绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， 垂直平分， ，， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：，． ▌题型07 求图形扫过的面积 1．旋转扫过面积：图形绕某点旋转，扫过区域为扇形或扇环。 2．关键：确定旋转中心、旋转角度，以及图形各顶点到旋转中心的距离。 3．易错提醒：扫过面积=外边界扇形面积-内边界扇形面积，注意区分内外半径。 【典例7】（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，扇形面积公式，含的直角三角形的相关计算，求旋转图形扫过的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再由旋转性质得，求出旋转角，根据扇形面积计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， 由旋转性质可知，，即，， ∴， ∴边扫过的阴影面积为， 故选B． 【变式7-1】（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题的关键． 由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴阴影的面积 ． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知是上一段圆弧． (1)如图1，连接，，，若，，求的长度； (2)如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，若，求扫过的图形面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了弧长公式，画旋转图形，等边三角形的性质，求扇形面积； （1）根据勾股定理求得半径，进而根据弧长公式，即可求解； （2）根据题意作出旋转后的圆心，再作出等边三角形，作出的等圆，取，即可求解． （3）根据扫过的图形面积等于，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴的长度为， （2）解：如图所示，分别以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，，再为圆心、以为半径作弧，交于点，以为圆心，为半径作，则即为所求； （3）解：由（2）可得扫过的图形面积等于 又∵， ∴． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而由勾股定理得出长，同理得到的长，再根据旋转性质可得旋转的圆心角为，半径，最后由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：当点与点重合时，连接，如图所示： ∵点是的中点， ，且， ， 半圆的直径， ， ∴在中，， ， 当在半圆弧上旋转到点与点重合时，如图所示： 此时，同理可得， ， ∵是圆心O到弦CD的弦心距，且在同圆中，弦相等则弦心距也相等， 则弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，则点M在以O为圆心，为半径的圆上运动， 即就绕着点逆时针旋转，如图所示： ，， ， 则， ， 两条平行线之间的距离相等， ， 扫过的面积，即不规则扇形与扇形面积相等， ∴在整个滑动过程中线段扫过的面积， 故选：B． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $