第三章 圆的基本性质【素养培优卷】2026-2027 学年浙教版数学九年级上册（温州地区）

2026–2027学年度第一学期　九年级 第三章 圆的基本性质【素养培优卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） （浙教版·温州地区适用　　考试时间：90分钟　　满分：120分） 考试范围：浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》（3.1 圆～3.2 图形的旋转～3.3 垂径定理～3.4 圆心角～3.5 圆周角～3.6 圆内接四边形～3.7 正多边形～3.8 弧长及扇形的面积） 学校：__________　班级：________　姓名：__________　学号：________　得分：________ 注意事项：1．答题前请将学校、班级、姓名、学号填写清楚；2．选择题须用 2B 铅笔填涂，其余题目用黑色签字笔作答；3．解答题应写出必要的文字说明、推演步骤或证明过程，只写答案不给过程分；4．本卷所有图形均不一定按比例绘制，保留作图痕迹。 题 号 一 二 三 总 分 等 级 得 分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，是半径为1的的两条弦，于点D，于点E，连接．若，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 3．如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A．2 B． C． D．4 4．如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，连结AC，AD，CD，BD．若∠CAB＝25°，则∠CDA＝（　　） A．25° B．50° C．65° D．75° 5．西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角∠AOB＝100°，则的长度为（　　） A．25πcm B．50πcm C．90πcm D．100πcm 6．如图，是的直径，半径，是圆上，之间的一点，，与相交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 8．如图，在正六边形ABCDEF中，P，Q分别是边AB，BC的中点，连接PQ，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 9．如图，在平面直角坐标系 中，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在y 轴正半轴上，⊙D 经过 A，B，O ，C 四点， ， ，则圆心点 D 的坐标是(　　)    A． B． C． D． 10．如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ACB＝60°，∠D＝110°，则∠BOC的度数为 　 　 ． 12．在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 13．如图，在四边形中，已知，分别以点，，为圆心，以长为半径作圆，求阴影部分的面积之和 ＿＿＿＿． 14．如图，是的直径，是上两点，过点作于点，过点作于点，为上任意一点，若，，，则的最小值是 ． 15．如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 16．已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是 ． 三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，绕点逆时针旋转得到，点的对应点为． (1)尺规作图，画出旋转后的．（保留痕迹，不写作法） (2)设直线与相交于，求的大小． 18．（6分）如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 19．（8分）如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 20．（8分）如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接． (1)求的长； (2)若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：； (3)若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 21．（10分）如图，是等腰内一点，，连接，，． (1)如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形； (2)在（1）中，若，，，求的大小； (3)当时，且，，，则的面积是　　（直接填答案） 22．（10分）问题探究 （1）如图①，在中，以为直径作，、分别交于点，连接，若，点是的中点，求的长； 问题解决 （2）如图②是某生态公园的部分示意图，是一条笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点在上，．点分别是边上的动点，连接，为使游客有更好的观景体验，需沿修建玻璃桥，根据规划要使．为节约成本，要使玻璃桥的长尽可能的小．请问玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥长的最小值；若不存在，请说明理由． 23．（12分）已知正方形的四个顶点在上 (1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： (2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 24．（12分）如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC的延长线于点M，连接CD． （1）求证：∠ACB＝∠CDM； （2）若BM＝5，AE＝CM＝3，求CD的长； （3）如图2，连接BD分别交AF和AC于点G和点H，若∠DAG＝∠DGA，且GH＝n，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026–2027学年度第一学期　九年级 第三章 圆的基本性质【素养培优卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区）·参考答案与详解 （浙教版·温州地区适用　　满分：120分） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C B A B A B D 【选择题详解】 1．下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②相等的弧所对的弦相等； ③相等的弦所对的弧相等； ④半径相等的两个半圆是等弧， 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．即可判定①③错误，少了条件在同圆或等圆中，而等弧，即是在同圆或等圆中的条件下判定的，所以②正确，根据等弧的定义，可判定④正确． 【解答】解：①在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故错误； ②相等的弧所对的弦才一定相等；故正确； ③在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故错误； ④半径相等的两个半圆是等弧．正确． 故选：B． 【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键． 2．如图，是半径为1的的两条弦，于点D，于点E，连接．若，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 连接，根据圆周角定理可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，最后利用三角形中位线定理进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 3．如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识．如图，过点A作于E，则，先证明和是等腰直角三角形，是的直径，设，则，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于E，则， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴是的直径，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴（负值舍）， ∴的半径是； 故选：C． 4．如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，连结AC，AD，CD，BD．若∠CAB＝25°，则∠CDA＝（　　） A．25° B．50° C．65° D．75° 【分析】先根据AB为⊙O的直径得出∠ADB＝90°，再由∠CAB＝25°得出∠BDC＝25°，进而可得出结论． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CAB＝25°， ∴∠BDC＝∠CAB＝25°， ∴∠CDA＝∠ADB﹣∠BDC＝90°﹣25°＝65°． 故选：C． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 5．西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角∠AOB＝100°，则的长度为（　　） A．25πcm B．50πcm C．90πcm D．100πcm 【分析】根据弧长公式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 50π（cm）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长公式是解题的关键． 6．如图，是的直径，半径，是圆上，之间的一点，，与相交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角，先求出，再由圆周角定理得出，最后由等边对等角即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 连接，证明，得到相等角和边，然后根据三角形的三边关系得出何时为最大值，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，, ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， 当点共线的时候，最大，最大值为6， 此时，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 又∵， ∴, 故选：B． 8．如图，在正六边形ABCDEF中，P，Q分别是边AB，BC的中点，连接PQ，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 【考点】正多边形和圆；三角形中位线定理 【分析】连接AC，过点B作BH⊥AC，设正六边形的边长为a，求出，由等腰三角形的性质得到，由P，Q分别是边AB，BC的中点得到，即可得到答案． 【解答】解：如图，连接AC，过点B作BH⊥AC，设正六边形的边长为a， 由题意可得： BC＝AB＝a， ∴，，， 在正六边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点评】此题考查了正多边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，求出AH的长度是关键． 9．如图，在平面直角坐标系 中，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在y 轴正半轴上，⊙D 经过 A，B，O ，C 四点， ， ，则圆心点 D 的坐标是(　　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则D点为的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到， ，所以然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标． 【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴点为的中点， 在中，∵， ∴ ， ∴， ∴ ∴D点坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的内接四边形对角互补．含30度的直角三角形三边的关系，半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质，中点坐标公式，掌握圆内接四边形的性质和含30度的直角三角形三边的关系是解题的关键． 10．如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，，求出为等腰直角三角形，得出，结合得出当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，为， 故选：D． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．100°　　12．30°　　13．阴影部分的面积之和为3/4π　　14．7√(2)　　15．√(2)−1　　16．2√(2)−2<OD<√(2) 【填空题详解】 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ACB＝60°，∠D＝110°，则∠BOC的度数为 　 　 ． 【分析】首先根据圆内接四边形的形状求得∠ABC的度数，然后利用三角形的内角和求得∠CAB的度数，最后利用圆周角定理求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°， ∴∠ABC＝180°﹣∠D＝180°﹣110°＝70°， ∵∠ACB＝60， ∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣60°＝50°， ∴∠BOC＝2∠CAB＝100°， 故答案为：100°． 【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补． 12．在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义． 根据弧长的计算公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数． 【详解】根据弧长的公式， 得到： ， 解得， ∴圆周角为， 故答案为：． 13．如图，在四边形中，已知，分别以点，，为圆心，以长为半径作圆，求阴影部分的面积之和 ＿＿＿＿． 【答案】阴影部分的面积之和为． 【分析】本题考查扇形面积的计算，阴影部分面积之和等于三个扇形面积之和，利用扇形面积公式求解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：∵，，半径相同， ∴阴影部分面积之和等于三个扇形面积之和， ∵， ∴， ∴． 14．如图，是的直径，是上两点，过点作于点，过点作于点，为上任意一点，若，，，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确运用转化的思想． 延长交于点，连接，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，先在中，由勾股定理得，则，然后证明，那么，当点共线时，取得最小值为，然后可得四边形为矩形，最后对运用勾股定理求解． 【规范解答】解：延长交于点，连接，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则， ∵，，，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴取得最小值为， 故答案为：． 15．如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】根据对角互补四点共圆可得四点共圆，连接，，求证，而后推导出，可得，连接，由三角形的三边关系以及、为定值，则当三点共线时，取得最小值为，最后利用勾股定理求得即可解答． 【规范解答】解： ，， 根据对角互补四点共圆可得四点共圆， 连接，， ，，， ， ， 四点共圆， ， ，， ， ， 连接，则， ∴当三点共线时，取得最小值为， 在中，， ∴， 取最小值． 故答案为：． 16．已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查弧，弦，角之间的关系，勾股定理，折叠的性质，由，得到点的轨迹，当点M在上时，取最大值，当点M在上时，取最小值，由，得到，求出的长度，设，则，在中应用勾股定理，即可求解． 【规范解答】解：连接、、，则：， 根据折叠的性质可得：， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵点M在扇形内（不含边界）， 当点M在上时，取最大值，此时， ∵，为弧的中点， ∴， ∴； 当点M在上时，取最小值，作，，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵，，则， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即：，解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共 72 分） 【解答题详解】 17．（6分）如图，绕点逆时针旋转得到，点的对应点为． (1)尺规作图，画出旋转后的．（保留痕迹，不写作法） (2)设直线与相交于，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧相交于点；分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧相交于点；分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧相交于点；分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连接、、，即为所求； （2）先根据旋转性质得，，再根据平角性质、四边形内角和即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求： （2）如图，由旋转性质得： ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是尺规作图画三角形、旋转性质、平角性质。四边形内角和，解题关键是熟练掌握尺规作图画三角形的方法． 18．（6分）如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角可得：，再根据已知易得：，然后证明，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，再根据垂径定理可得：，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等可得：，即可解答． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（8分）如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，过点O作于点H，易证是等边三角形，得到，易求出，再利用勾股定理求出，再用即可得出结果； （2）在上截取，连接，求得，根据圆周角定理得到，求得，同理，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：连接，过点O作于点H， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积为：； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 多边形是正六边形， ∴， ∴ ∴ 同理 ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形的面积，正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，正确地作 出辅助线是解题的关键． 20．（8分）如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接． (1)求的长； (2)若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：； (3)若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 【答案】(1)8 (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）如图1，连接，由是的直径，弦，可得，勾股定理得，然后求解即可； （2）连接，由题意知，垂直平分，证明，则，由，可得，进而结论得证； （3）连接，同理（2）可得，，，由圆内接四边形可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）证明：如图2，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：； 如图3，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆内接四边形可得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键． 21．（10分）如图，是等腰内一点，，连接，，． (1)如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形； (2)在（1）中，若，，，求的大小； (3)当时，且，，，则的面积是　　（直接填答案） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由可知点A旋转到点C，在的下方过点B作的垂线，并且在垂线上截取，则为点P绕B点顺时针旋转以后的对应点，即为所求； （2）连接，求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理逆定理求出，然后计算即可得解； （3）根据全等三角形的面积相等求出与的面积之和等于四边形的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出和的面积的和，和的面积的和，从而求出的面积，根据的面积的面积与的面积的和计算即可得解． 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求； （2）解：如图2，连接． 将绕点顺时针旋转，与重合， ，， ，，， 是等腰直角三角形， ，． 在中，，，， ， △是直角三角形，， ； （3）如图3①，将绕A点逆时针旋转得到，连接， ， ，，， 是等边三角形， ， ，，， ， 是直角三角形，， ，， ； ， ； 如图3②，同理可求：和的面积的和， 和的面积的和， 的面积， 的面积的面积与的面积的和． 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，其中（3）较为复杂，求出的面积是解题的关键． 22．（10分）问题探究 （1）如图①，在中，以为直径作，、分别交于点，连接，若，点是的中点，求的长； 问题解决 （2）如图②是某生态公园的部分示意图，是一条笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点在上，．点分别是边上的动点，连接，为使游客有更好的观景体验，需沿修建玻璃桥，根据规划要使．为节约成本，要使玻璃桥的长尽可能的小．请问玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）玻璃桥的长度存在最小值，玻璃桥长的最小值是 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了三角形的外接圆问题，圆周角定理，勾股定理与垂径定理，解直角三角形，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）连接，根据圆周角定理得到，，由点是的中点，得到，得到，根据等腰三角形得到，根据勾股定理得到； （2）根据三角形的外角的性质得到，，三角形的内角和定理，过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，，推出点，，，四点共圆，如图②，设圆心为点，半径为 ，连接，，连接，过点作于点，根据圆周角定理得到是直径，根据圆周角定理勾股，求得，则，得到，要使得最小，即最小，而是直径，，当时，取得最小值，此时最小，得到是等腰直角三角形，于是得到玻璃桥长的最小值为． 【详解】解：（1）如图，连接， 为直径， ，， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2），， ，， ， ， 过作于，如下图， ， ∴，， ，， ∴， ， ， ， ， 点，，，四点共圆， 如图②，设圆心为点，半径为，连接，，连接，过点作于点， ， 是直径， ， ， 又，则， ，则， ， 要使得最小，即最小，而是直径，， 当时，取得最小值，此时最小， 此时是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故玻璃桥长的最小值为． 23．（12分）已知正方形的四个顶点在上 (1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： (2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 【答案】(1)见解析 (2)或，理由见解析 (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质和圆周角定理，利用证明两三角形全等即可； （2）当点E在弧上时，过点作于点，证明，即可得到四边形是正方形，然后根据线段的和差解答；当点E在弧上时，在上取点，使，连接，根据全等三角形的对应边相等得到，，，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论； （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，可以得到，即可得到点N在以为直径的圆F上，然后根据弧长公式计算解答即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，， 与都对应弧， ， 在和中， ； （2）解：满足或，理由如下： 如图，当点在弧上,过点作于点， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即； 当点在弧上时，在上取点，使，连接， 由（1）， ，，， 在正方形中，， ， ， ， 是等腰直角三角形三角形， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴点N在以为直径的圆F上， ∵最大为， ∴最大为，即最大圆心角为， ∴点N的运动路径为． 24．（12分）如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC的延长线于点M，连接CD． （1）求证：∠ACB＝∠CDM； （2）若BM＝5，AE＝CM＝3，求CD的长； （3）如图2，连接BD分别交AF和AC于点G和点H，若∠DAG＝∠DGA，且GH＝n，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）． 【分析】（1）根据等边对等角可得：∠B＝∠ACB，由圆内接四边形的性质得：∠CDM＝∠B，由此可得结论； （2）先根据垂径定理得：AF⊥BC，BE＝CE，由勾股定理得：AM5，AC，证明△ACD∽△AMC，即可解答； （3）如图3，连接CG，过点G作GK⊥AC于K，设∠ADB＝∠ACB＝∠ABC＝2x，先证明CG平分∠ACB，由三角形的面积的比可得：，，化简等量代换后即可解答． 【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∵∠CDM+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠CDM， ∴∠ACB＝∠CDM； （2）解：∵AB＝AC， ∴， ∴AF⊥BC， ∴BE＝CE， ∵BM＝5，CM＝3， ∴BC＝5﹣3＝2， ∴BE＝CE＝1， ∴EM＝3+1＝4， 由勾股定理得：AM5，AC， ∵∠ACB＝∠CDM， ∴∠ADC＝∠ACM， ∵∠CAD＝∠CAM， ∴△ACD∽△AMC， ∴，即， ∴CD； （3）解：如图3，连接CG，过点G作GK⊥AC于K， 设∠ADB＝∠ACB＝∠ABC＝2x， ∵∠DAG＝∠DGA， ∴AD＝DG，∠DAG＝∠DGA90°﹣x，∠CAE＝90°﹣2x， ∴∠CAD＝∠DAG﹣∠CAE＝（90°﹣x）﹣（90°﹣2x）＝x， ∴∠CAD＝∠CBD＝∠GCB＝x， ∴∠GCH＝∠BCG＝x， ∴CG平分∠ACB， 设△BCH中BH边上的高为h， ∵EG⊥BC，GK⊥AC，CG平分∠ACB， ∴GK＝EG， ∴， ∴， ∵∠ABD＝∠ACD＝∠CAD＝∠ACG＝x， ∴AD＝CD＝DG，AC平分∠DCG， 同理得：， ∵AD＝CD，BG＝CG， ∴， ∴， ∵AD＝DG， ∴1， ∴， ∵GH＝n， ∴． 【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角的相关定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．作出辅助线，熟练掌握三角形有关的性质定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $