第三章 圆的基本性质【单元综合限时检测卷】2026-2027 学年浙教版数学九年级上册（温州地区）

2026–2027学年度第一学期　九年级 第三章 圆的基本性质【单元综合限时检测卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区）·参考答案与详解 （浙教版·温州地区适用　　满分：120分） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B C B A B B A 【选择题详解】 1．如图，⊙O的半径为5，点C是弦AB上一点，若AB＝8，设OC＝x，则x的取值范围是（　　） A．3≤x≤5 B．3＜x≤5 C．4≤x≤5 D．4＜x≤5 【分析】当C与A或B重合时，OC最长，当OC垂直于AB时，OC最短，即可求出x的范围． 【解答】解： 当C与A（B）重合时，OC＝x＝5； 当OC垂直于AB时，可得出C为AB的中点， 在Rt△BOC中，OB＝5，BCAB＝4， 根据勾股定理得：OC＝x3， 则x的范围为3≤x≤5． 故选：A． 【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【答案】C 【思路点拨】本题考查了图形旋转的性质（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度． 观察与的对应点，确定旋转中心为；分析到、到的旋转方向和角度，可知绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到，从而确定旋转方式． 【规范解答】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到， 故旋转方式是绕点逆时针旋转． 故选：C． 3．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（　　） A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理以及垂径定理的应用．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是，连接．根据垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上， 设圆心是，连接． 根据垂径定理，得米， 设圆的半径是米，根据勾股定理， 得， 解得． 故选：C． 4．如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 连接，由圆周角定理得到，再由圆周角定理得到，以及，然后直角三角形锐角互余求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．下列说法正确的是（    ） A．任意三点可以确定一个圆 B．圆内接四边形对角互补 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 【答案】B 【思路点拨】本题考查了确定圆的条件、圆内接四边形的性质、圆心角与弧的关系、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识是解题关键．根据确定圆的条件、圆内接四边形的性质、圆心角与弧的关系、垂径定理的推论逐项判断即可得． 【规范解答】解：A、不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，则此项错误，不符合题意； B、圆内接四边形对角互补，则此项正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则此项错误，不符合题意； D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 7．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论． 【规范解答】点O 为正六边形的 中心， ， ， 为等边三角形， ， 过点作， ， ， ， ． 故选． 8．如图，是的直径，弦于点E，，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、求扇形面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是将阴影部分的面积转化到规则图形中． 根据题意得出，进而得到，最后将图中阴影部分的面积之和转化为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵是的直径，弦于点E， ∴，即垂直平分， ∴， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 则阴影部分的面积之和为 ． 故选：B． 9．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此时水面宽度变为24cm．则该水槽截面半径为（　　） A． B．13cm C．14cm D．15cm 【分析】如图，水面AB上升7cm得到油面CD，依题意得AB＝10cm，CD＝24cm，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AEAB＝5cm，CFCD＝12cm，设OE＝xcm，则OF＝（x﹣7）cm，在Rt△OAE中和Rt△OCF中，根据勾股定理求得OA、OC的长度，然后由OA＝OC，列方程求x即可求半径OA，得出直径MN． 【解答】解：如图，依题意得AB＝10cm，CD＝24cm，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC， 由垂径定理，得AEAB＝5cm，CFCD＝12cm， 设OE＝xcm，则OF＝（x﹣7）cm， 在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2， 在Rt△OCF中，OC2＝CF2+OF2， ∵OA＝OC， ∴52+x2＝122+（x﹣7）2， 解得x＝12， ∴半径OA13（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理的运用．关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径的平方，根据半径相等列方程求解． 10．如图，点A，B，C，D四点均在上，，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 根据，得到，从而得到，根据圆周角定理解答即可. 【详解】解：∵，， ∴（内错角相等） ∵， ∴（等边对等角） 连接     在中， ∴ ∵是圆周角，所对弧为， ∴ 故选：A． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．(5,2)　　12．(1,−2)　　13．4　　14．10　　15．π/6+√(3)/4　　16．4/3π+2 【填空题详解】 11．如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】设三角形的外心为，然后根据外心的性质可以得到关于x、y的方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：设三角形的外心为，由题意可得： ， 则， 解方程可得：， 故答案为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质、二元一次方程组的解法是解题关键． 12．如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查对坐标与图形变换-旋转，全等三角形的性质和判定，过A作轴于C，过作轴于D，根据旋转求出，证，推出，即可． 【规范解答】解：过A作轴于C，过作轴于D， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴的坐标是， 故答案为：． 13．如图，的半径为4，A，B，C三点在圆上，，则的长等于 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理并运用． 如图，连接，根据圆周角定理求得，证明是等边三角形，已知，可得． 【规范解答】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：4． 14．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 是的内接正边形的一边， ， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，如图，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、． 由题意知， ∴， ∴点是半圆的圆心， ∴， ∴是等边三角形， ． 故答案为：． 16．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算、等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质、弧长计算公式是解题的关键； 本题设两圆周相交于点，连接、，再根据等边三角形的判定与性质得到，由弧长公式求出，同理求出，再根据出求出阴影部分的周长即可． 【详解】解：如图，设两圆周相交于点，连接、， ， 是等边三角形， ， ， 同理可得，， 阴影部分的周长为． 故答案为：． 三、解答题（共 72 分） 【解答题详解】 17．（6分）如图，，交于点，，是半径，且于点．    (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，    设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】(1)图见解析，点坐标为 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作中心对称图形与旋转图形，点的坐标，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点位置写出坐标即可； （2）分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如图所示，为所求，点坐标为； （2）解：如图所示，即为所求． 19．（8分）如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 【答案】(1)5 (2)8 【思路点拨】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据即可求解． （2）根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ， ； （2）解：∵，， ， ， ， ． 20．（8分）如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． (1)求、的度数． (2)如果弦的长为，那么的半径是多少? 【答案】(1)的度数为，的度数为 (2)的半径是 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，先证明为等边三角形，得出，即可得出的度数，求出，即可得出的度数； （2）由等边三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图：连接， ， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的度数为， ∴，即的度数为； （2）解：由（1）可得：为等边三角形， ∵弦的长为， ∴， ∴的半径是． 21．（10分）如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)． (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的对角互补求出，再由得出是等腰三角形，求出底角，最后根据圆内接四边形的性质求出． （2）根据圆内接四边形的性质得出与的关系，结合以及圆内接四边形的性质，得出与的关系，进而证明为等边三角形． 【详解】（1）解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∴ ． （2）证明：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ 为等边三角形． 22．（10分）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴ ，即小圆的半径r为 23．（12分）如图，PQ是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形CEFG彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径PQ上，点E在BC上，正方形CEFG的面积为16． （1）求证：OC＝OD； （2）求⊙O的半径长． 【分析】（1）由Rt△AOD≌Rt△BOC（HL），即可证明OC＝OD； （2）设OC＝OD＝x，则BC＝2x，由勾股定理得到x2+（2x）2＝（x+4）2+42，求出x＝4（舍去负值），即可得到OBx＝4． 【解答】（1）证明：连接OA，OB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADO＝∠BCO＝90°，AD＝BC＝DC， ∵OA＝OB， ∴Rt△AOD≌Rt△BOC（HL）， ∴OD＝OC； （2）解：连接OF， 设OC＝OD＝x，则BC＝2x， ∵正方形EFGC的面积＝16， ∴FG＝CG＝4， ∴OG＝x+4， ∵OB2＝OC2+BC2，OF2＝OG2+FG2，OB＝OF， ∴x2+（2x）2＝（x+4）2+42， ∴x＝4（舍去负值）， ∴OBx＝4， ∴⊙O半径长是4． 【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，关键是由勾股定理求出OC的长． 24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE． （1）若∠BAC＝20°，求∠AFC的度数． （2）求证：FA平分∠CFE． （3）若AB＝5，CD＝4，且CF经过圆心O，求CE的长． 【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理 【分析】（1）如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H．求出∠ADC即可解决问题． （2）想办法证明∠ACD＝∠ADC，∠AFE＝∠ACD，∠AFC＝∠ADC即可解决问题． （3）解直角三角形求出AC，再证明AC＝AE，即可解决问题． 【解答】（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H． ∵CD⊥AB， ∴， ∴∠BAC＝∠BAD＝20°， ∵AB⊥CD， ∴∠AHD＝90°， ∴∠ADH＝90°﹣∠DAB＝70°， ∴∠AFC＝∠ADH＝70°． （2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD， ∴ ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠AFE＝180°， ∴∠AFE＝∠ACD， ∵∠AFC＝∠ADC＝∠ACD， ∴∠AFC＝∠AFE， 即AF平分∠CFE． （3）解：如图2中，设AB交CD于H． ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴CH＝DH＝2， ∵OC，∠OHC＝90°， ∴OH， ∴AH＝OH+OA＝4， ∴AC2， ∵CF是直径， ∴∠CDF＝∠AHC＝90°， ∴AH∥DE， ∵CH＝HD， ∴AC＝AE， ∴CE＝2AC＝4． 【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是熟练应用垂径定理，圆周角定理解决问题，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026–2027学年度第一学期　九年级 第三章 圆的基本性质【单元综合限时检测卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） （浙教版·温州地区适用　　考试时间：60分钟　　满分：120分） 考试范围：浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》（3.1 圆～3.2 图形的旋转～3.3 垂径定理～3.4 圆心角～3.5 圆周角～3.6 圆内接四边形～3.7 正多边形～3.8 弧长及扇形的面积） 学校：__________　班级：________　姓名：__________　学号：________　得分：________ 注意事项：1．答题前请将学校、班级、姓名、学号填写清楚；2．选择题须用 2B 铅笔填涂，其余题目用黑色签字笔作答；3．解答题应写出必要的文字说明、推演步骤或证明过程，只写答案不给过程分；4．本卷所有图形均不一定按比例绘制，保留作图痕迹。 题 号 一 二 三 总 分 等 级 得 分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，⊙O的半径为5，点C是弦AB上一点，若AB＝8，设OC＝x，则x的取值范围是（　　） A．3≤x≤5 B．3＜x≤5 C．4≤x≤5 D．4＜x≤5 2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 3．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（　　） A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 4．如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．任意三点可以确定一个圆 B．圆内接四边形对角互补 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 7．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，弦于点E，，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 9．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此时水面宽度变为24cm．则该水槽截面半径为（　　） A． B．13cm C．14cm D．15cm 10．如图，点A，B，C，D四点均在上，，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ． 12．如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为 ． 13．如图，的半径为4，A，B，C三点在圆上，，则的长等于 ． 14．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 ． 15．如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 16．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，，交于点，，是半径，且于点．    (1)求证：． (2)若，，求的半径． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 19．（8分）如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 20．（8分）如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． (1)求、的度数． (2)如果弦的长为，那么的半径是多少? 21．（10分）如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 22．（10分）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 23．（12分）如图，PQ是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形CEFG彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径PQ上，点E在BC上，正方形CEFG的面积为16． （1）求证：OC＝OD； （2）求⊙O的半径长． 24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE． （1）若∠BAC＝20°，求∠AFC的度数． （2）求证：FA平分∠CFE． （3）若AB＝5，CD＝4，且CF经过圆心O，求CE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $