第一章 二次函数【单元综合训练卷】2026-2027 学年浙教版九年级数学上册（温州地区）

**基本信息** 聚焦二次函数定义、图像性质、平移及应用，通过基础到综合题型构建完整知识逻辑链，强化数学思维与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与图像性质|选择1-5、填空11-14|定义判断、图像识别、顶点对称轴计算|从定义出发，通过系数与图像特征建立性质认知| |图像变换与参数|选择4、填空12、解答19|平移规律应用、参数对开口方向影响|结合图像变换深化对函数解析式的理解| |方程不等式关系|选择6、10、填空15|零点范围判断、系数符号推理|建立函数与方程不等式的内在联系| |综合应用与实际问题|解答21、23、填空16|几何面积最值、水柱落点计算|运用函数模型解决实际与几何问题|

第1章 二次函数【单元综合训练卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 一、选择题（本大题共 10 道小题） 1. 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可． 【详解】解：A，必须满足a≠0才为二次函数，故A不一定是二次函数； B. 是二次函数，故B是二次函数； C.，时，该式不是二次函数； D. ，该式不是二次函数； 故答案为：B 【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键． 2. 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 3. 【答案】 【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键． 先确定出二次函数图象的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性解答． 【解答】 解：二次函数的对称轴为轴， 若图象经过点， 则该图象必经过点． 故选：． 4. 【答案】B 【分析】根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后， 得到的抛物线的解析式为，即， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 5. 【答案】根据抛物线的开口方向即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 解：∵二次函数y＝（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线， ∴2﹣m＞0， 解得：m＜2． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下”是解题的关键． 6. 【答案】B 【分析】根据表格中自变量与函数的值的变化情况得出当y=0时相应的自变量的取值范围即可． 【详解】由表格中数据可知，当x＝1.1时，y＝－0.49. 当x＝1.2时，y＝0.04 于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2 故选B 【点睛】本题考查了用图像法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 7. 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，先根据对称轴计算公式求出对称轴为直线，再由对称性得到点A到对称轴的距离为2，由此即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点A和点B到对称轴的距离相等， ∵， ∴点A到对称轴的距离为2， 又∵点A在对称轴左侧， ∴点A的坐标为， 故选D． 8. 【答案】A 【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4， ∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间， ∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小， ∴y3最小，y1最大， 故选：A． 9. 【答案】根据抛物线的对称性判断即可． 解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵二次函数y＝x2+2x+3图象上的两点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于对称轴对称， ∴＝﹣1，y1＝y2， ∴x1+x2＝﹣2；y1＝y2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 10. 【答案】由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1可对②进行判断；由顶点P的坐标为（1，4）得到a+b+c＝4，即2a+2b+2c＝8，然后把2a＝﹣b代入得到b＝8﹣2c，则可对③进行判断；根据二次函数的最大值为4，即ax2+bx+c≤4，则当m＜4时，有两个自变量的值满足ax2+bx+c＝m， 于是可对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴ac＜0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴2a+b＝0，所以②正确； ∵抛物线的顶点P的坐标为（1，4）， ∴a+b+c＝4，即2a+2b+2c＝8， 而2a＝﹣b， ∴b＝8﹣2c， ∵c＞0， ∴b＜8，所以③正确； ∵二次函数的最大值为4，即ax2+bx+c≤4， ∴当m＜4时，有两个自变量的值满足ax2+bx+c＝m， 即方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，所以⑤正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小；当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②b和a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题（本大题共 6 道小题） 11. 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，求得顶点坐标是解题的关键．根据解析式求得顶点坐标，进而根据题意即可求得答案 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，对称轴为 当x分别取时，函数值相等， 对称轴 当时，函数值为3， 故答案为：3 12. 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是， 故答案为：． 13. 【答案】 本题考查二次函数的顶点式，掌握二次函数三种形式的转化是解题的关键． 利用配方法，先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 二次函数的解析式有三种形式： 一般式：、、为常数； 顶点式：； 交点式与轴：． 【解答】 解： 故答案为：． 14. 【答案】根据对称轴公式即可解答． 【解答】解：∵二次函数y＝2x2+bx的对称轴是直线x＝3， ∴x＝﹣＝3， ∴b＝﹣12． 故答案为：﹣12． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解题的关键． 15. 【答案】 【解析】解：，， 时，抛物线在直线下方， 不等式的解集是． 故答案为：． 根据两图象交点横坐标求解． 本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解． 16. 【答案】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将h＝8代入可求出x． 解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0， 整理得2.5a+b+1＝0①； 喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4； 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②， 联立可求出a＝﹣，b＝， 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h， 将h＝8代入可得﹣x2+x+8＝0， 解得x＝4或﹣3（舍去）． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键． 三、解答题（本大题共 8 道小题） 17. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）设二次函数为，由题意可得，，，将代入求解即可； （2）由（1）得，开口向上，即可求解． 【详解】解：（1）设二次函数为， 由题意可得，，，即二次函数为 将代入得 解得 即 故答案为： （2）由（1）得，开口向上， 由题意可得：当x＝－2与时，y＝0 ∴当或时， 故答案为：或 【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意正确求得函数解析式并掌握二次函数的有关性质． 18. 【答案】解：答案如图： ．  【解析】根据图象平移的规律，可得答案． 本题考查了二次函数图象，利用图象平移的规律：左加右减，上加下减． 19. 【答案】解：把代入，得， ， 该抛物线可以由抛物线向右平移个单位，向下平移个单位得到．  【解析】把代入，求得的值，再根据左加右减，上加下减的平移规律即可求解． 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记二次函数图象的平移规律是解题的关键． 20. 【答案】解：二次函数， 该函数图象的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线； 二次函数， 当时，随的增大而减小．  【解析】将化为顶点式，即可得到该函数的开口方向、顶点坐标和对称轴； 根据二次函数的性质，即可写出当取何值时，随的增大而减小． 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 21. 【答案】（1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系． （2）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值． 解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC， ∵AE＝AH＝CG＝CF， ∴BE＝DG，BF＝DH， ∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS）， 所以S＝S矩形ABCD﹣2S△AEH﹣2S△EFB＝2×4﹣2×x2﹣2×（4﹣x）（2﹣x）＝﹣2x2+6x（0＜x＜2）． （2）S＝﹣2x2+6x＝﹣2（x﹣）2+． 所以当x＝时，S的值最大，最大值为． 【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键． 22. 【答案】 【解析】解：：当时，；当时，；当时，， ，解方程得， 二次函数解析式为． 二次函数解析式为，图象如图所示， 函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意． 当时，根据中图示可知， 当时，；当当时，；当时，． 当时，． 用待定系数法即可求解； 根据函数解析式，用描点法即可求解； 根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围． 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图象的性质是解题的关键． 23. 【答案】（1）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到≤﹣2，解得m≤﹣7； （2）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可． 解：（1）∵抛物线得对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，a＞0， ∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小， ∵x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小， ∴≤﹣2，即m≤﹣7； （2）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3 ①当a＞0 时，开口向上， ∴当x＝1时，y有最大值8a， ∴8a＝3， ∴a＝； ②当a＜0 时，开口向下， ∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a， ∴﹣a＝3， ∴a＝﹣3， 综上，a＝或a＝﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）根据二次函数的性质得到≤﹣2；（2）分开口向上和开口向下两种情况讨论． 【答案】解：函数图象过点，将点代入，解得， 二次函数的解析式为； 函数的对称轴是直线， ，为此二次函数图象上的两个不同点，且，则， ， ； 函数的对称轴是直线， ，对任意的，都有， 当，时，； ； 当时，不符合题意舍去； ．  【解析】直接将点代入即可； 利用题意，由，求解； 由已知当，对任意的，都有，则在时，二次函 数是递增的，结合图象即可求解． 本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次函数【单元综合训练卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 一、选择题（本大题共 10 道小题） 1. 下列函数一定是二次函数的是（   ） A．； B. ； C. ； D. y=(x-3)2-x2 2. 二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   3. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点(    ) A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5. 二次函数y＝（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜2 6. 在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（   ） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 … A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，（点A在点B的左侧），且，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 8. 已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（　　） A．y3最小，y1最大 B．y3最小，y4最大 C．y1最小，y4最大 D．无法确定 9. 二次函数y＝x2+2x+3图象上的两点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于对称轴对称，则（　　） A．x1+x2＝﹣2；y1＝y2 B．x1+x2＝﹣1；y1＝﹣y2 C．x1＝x2；y1＝y2 D．x1＝﹣x2；y1＝﹣y2 10. 如图已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，对称轴为直线x＝1，顶点坐标P（1，4）．则下列结论中： ①ac＜0；②2a+b＝0；③b＜8；④当m＜4时，方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根． 正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共 6 道小题） 11. 已知二次函数，当x分别取时，函数值相等，则当时，函数值为__________． 12.若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ． 13. 若将二次函数配方为的形式，则______． 14. 二次函数y＝2x2+bx的对称轴是直线x＝3，则b＝　　． 15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 16. 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点为 　m． 三、解答题（本大题共 8 道小题） 17. 一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与时，y＝0 （1）求这个二次函数的解析式 （2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果） 18.已知二次函数的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数的图像 19. 已知二次函数经过原点，可以由哪条顶点在原点的抛物线经过平移得到？写出平移的过程． 20. 已知二次函数． 确定该函数的开口方向、顶点坐标和对称轴； 当取何值时，随的增大而减小？ ． 21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x． （1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． （2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值． 22. 已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： （1） 求二次函数表达式 （2） 在平面直角坐标系中画出图形 （3） 当时，求y的取值范围 23. 已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）． （1）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （2）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象． 若该图象过点，求这个二次函数的表达式； ，是该函数图象上的两个不同点． 1　 若时，有，求a的值 2　 当时，恒有，求a的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $