3.4.2 相似三角形周长的比和面积的比 课件-2026--2027学年北师大版九年级数学上册

相似三角形周长的比和面积的比 3 北师版九年级上册 1 情境导入 角 边 高、中线、角平分线 周长 面积 全等三角形 相似三角形 全等与相似三角形的性质 相等 相等 相等 相等 相等 相等 相似比 相似比 ? ? 探究新知 （1）如图，△ABC∽△A′B′C′ ，相似比为 2，△ABC 与 △A'B'C' 的周长比是多少？ 面积比呢？ 尝试·思考 边长 周长 面积 △ABC △A′B′C′ 4 12 2 6 相似比 = ______ 2∶1 周长比 = ______ 2∶1 面积比 = ______ 4∶1 △ABC∶△A′B′C′ （2）如图，△ABC∽△A′B′C′ ，相似比为 k，△ABC 与 △A'B'C' 的周长比是多少？ 面积比呢？ 尝试·思考 相似比 = ______ 周长比 = ______ 面积比 = ______ △ABC∶△A′B′C′ k∶1 猜想： 边长 周长 面积 △ABC △A′B′C′ k∶1 k2∶1 △A′B′C′∽△ABC ∴C△ABC = AB+AC+BC = k(A′B′+A′C′+B′C′) C△A′B′C′ = A′B′+A′C′+B′C′ 相似三角形的周长比等于相似比 A B C A′ B′ C′ 分别作BC，BC边上的高A′D，AD，则 因此， 相似三角形的面积比等于相似比的平方 A B C A′ B′ C′ D D′ A B C A′ B′ C′ 相似三角形周长比、面积比的性质定理 相似三角形的周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方。 几何语言： ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴C△ABC∶CA′B′C′ = k∶1 △ABC∶△A′B′C′ = k∶1 S△ABC∶SA′B′C′ = k2∶1 （1）两个相似四边形的周长比等于相似比吗？两个相似的 n 边形呢？ （2）两个相似四边形的面积比等于相似比的平方吗？你能利用相似三角形的性质说明吗？两个相似的 n 边形呢？与同伴进行交流。 A B C D A′ B′ C′ D′ 思考·交流 A B C D A′ B′ C′ D′ 连接BD和B′D′ ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′ 连接 BD 和 B′D′ A B C D A′ B′ C′ D′ 相似多边形周长的比等于相似比， 面积比等于相似比的平方。 A B C D A′ B′ C′ D′ A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ 例 如图，将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DEF，△ABC 与 △DEF 重叠部分（图中阴影部分）的面积是 △ABC 的面积的一半。已知 BC = 2，求 △ABC 平移的距离。 解：根据题意，可知 EG∥AB。 ∴∠GEC =∠B，∠EGC =∠A。 ∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 （相似三角形的面积比等于相似的平方比） 即 ∴EC2 = 2。∴EC = 。BE = BC－EC = ， 即△ACB平移的距离为 。 1. 判断正误： （1）如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍； （ ） （2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边的长都扩大为原来的9倍 。 （ ） √ × 达标检测 【选自教材P87 随堂练习 第1题】 2. 已知两个三角形相似，请完成下列表格： 相似比 2 …… 周长比 k …… 面积比 10000 …… 2 4 100 100 5 k k2 3. 如图，△ABC 中，DE∥FG∥BC，且 DE、FG 把 △ABC 的面积三等分，若 BC = 12 cm，求 FG 的长。 解：因为DE∥FG∥BC， 所以 △ADE∽△AFG∽△ABC， 所以 S△ADE∶S△AFG∶S△ABC = AD2∶AF2∶AB2， 又因为 DE、FG 把 △ABC 的面积三等分， 所以 S△ADE∶S△AFG∶S△ABC = 1∶2∶3， 所以 AD∶AF∶AB = ， 又因为 FG∥BC，所以 ， 且 BC = 12 cm，所以 FG = cm。 4. 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，∠A = ∠D，△ABC 的周长是 24，面积是 ，求 △DEF 的周长和面积。 解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵AB = 2DE，AC = 2DF， 又∵∠A =∠D， ∴△ABC ∽ △DEF ， ∴△DEF 的周长 = △DEF 的面积 = 5. 如图，已知 DE∥BC，BD = 3AD，S△ABC = 48， 求：△ADE 的面积。 解：∵DE∥BC ∴∠ADE =∠ABC，∠AED =∠ACB ∴ △ADE ∽△ABC 又∵ BD = 3AD 可得相似比 k = AD∶AB = 1∶2 ∴ S△ADE = S△ABC = 12。 角 边 高、中线、角平分线 周长 面积 全等三角形 相似三角形 相等 相等 相等 相等 相等 相等 相似比 相似比 课堂小结 相似比 相似比的平方 相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 $