3.4.2相似三角形的周长和面积之比（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 3.4.2相似三角形的周长和面积之比 2026年8月2日 3.4.2 相似三角形的周长和面积之比 同步练习题 3.4.2 相似三角形的周长和面积之比 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 周长比定理（必考） 相似三角形的周长之比等于相似比。 推广：所有相似多边形周长之比等于相似比。 2. 面积比定理（重难点） 相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 推广：所有相似多边形面积之比等于相似比的平方。 3. 前后知识点对比（易混总结）设相似比为$$k$$： ① 对应边、对应高、中线、角平分线、周长比 = $$k$$ ② 面积比 = $$k^2$$ 4. 逆向求值规则 已知面积比求相似比：对面积比开平方； 已知相似比求面积比：对相似比平方。 5. 解题通用步骤 先确定相似比 → 求周长比（直接用）→ 求面积比（平方后用）→ 代入数值计算边长、周长、面积。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 相似三角形周长的比等于（） A. 相似比 B. 相似比的平方 C. 1:1 D. 无法确定 2. 相似三角形面积的比等于（） A. 相似比 B. 相似比的平方 C. 边长和 D. 边长积 3. 两相似三角形相似比为2:5，则面积比为（） A. 2:5 B. 5:2 C. 4:25 D. 25:4 4. 两个相似三角形面积比为9:16，则相似比为（） A. 9:16 B. 16:9 C. 3:4 D. 4:3 5. △ABC∽△DEF，相似比为1:3，若△ABC周长为4，则△DEF周长为（） A. 4 B. 12 C. 36 D. 48 6. 下列说法正确的是（） A. 周长比等于面积比 B. 周长比是相似比，面积比是相似比平方 C. 面积比开方得周长比的倒数 D. 相似三角形面积一定相等 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 相似三角形周长比等于________，面积比等于________。 2. 相似比为3:4的两个三角形，周长比为________，面积比为________。 3. 面积比为4:9的两个相似三角形，相似比为________。 4. 相似多边形与相似三角形规律一致：周长比等于相似比，面积比等于________。 5. 若两相似三角形周长相等，则它们的相似比为________，两三角形全等。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）基础公式应用： 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:3。 （1）求两三角形的周长比； （2）求两三角形的面积比。 2. （14分）周长计算题型： 已知△ABC∽△DEF，相似比为3:1，△ABC的周长为18， 求△DEF的周长。 3. （14分）面积逆向计算： 两个相似三角形的面积比为25:16， （1）求它们的相似比； （2）若大三角形对应高为10，求小三角形对应高。 4. （16分）综合应用题： 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC，相似比为1:2， 若△ABC的面积为20，求△ADE的面积与四边形DBCE的面积。 四、拓展应用题（附加10分） 两个相似三角形的周长比为2:3，面积差为20，求这两个三角形的面积分别是多少？ --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B 二、填空题 1. 相似比、相似比的平方 2. $$3:4$$、$$9:16$$ 3. $$2:3$$ 4. 相似比的平方 5. $$1:1$$ 三、解答题 1. 解： （1）∵ 相似三角形周长比等于相似比 ∴ 周长比为$$2:3$$ （2）∵ 相似三角形面积比等于相似比的平方 ∴ 面积比为$$2^2:3^2=4:9$$ 答：周长比为2:3，面积比为4:9。 2. 解： ∵ 相似比为$$3:1$$ ∴ 周长比为$$3:1$$ 设△DEF周长为$$x$$$$\dfrac{18}{x}=\dfrac{3}{1}$$，解得$$x=6$$ 答：△DEF的周长为6。 3. 解： （1）面积比为$$25:16$$ 相似比$$=\sqrt{25}:\sqrt{16}=5:4$$ （2）对应高之比等于相似比$$5:4$$ 设小三角形高为$$h$$$$\dfrac{10}{h}=\dfrac{5}{4}$$，解得$$h=8$$ 答：相似比为5:4，小三角形对应高为8。 4. 解： 相似比为$$1:2$$ 面积比$$=1^2:2^2=1:4$$ 设△ADE面积为$$S$$$$\dfrac{S}{20}=\dfrac{1}{4}$$，解得$$S=5$$ 四边形DBCE面积$$=20-5=15$$ 答：△ADE面积为5，四边形DBCE面积为15。 拓展题答案 解： 周长比为$$2:3$$，则相似比为$$2:3$$ 面积比为$$4:9$$ 设两三角形面积为$$4x、9x$$$$9x-4x=20$$，$$5x=20$$，解得$$x=4$$$$4x=16，9x=36$$ 答：两个三角形面积分别为16和36。 章节易错点总结 1. 终极高频易错：线段、周长用原比，面积必须用平方比，考试最容易漏平方、多平方； 2. 已知面积比求相似比一定要开平方，不可直接照搬面积比； 3. 看清前后顺序，相似比、周长比、面积比顺序必须严格一致，不可颠倒； 4. 相似图形面积差、面积和题型，优先设比例系数求解，不易出错。 问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应边上高的比、中线的比和对应角的角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ A B C A1 B1 C1 2 问题：如果△ABC 的△A'B'C'，相似比为 2，那么△ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？ (1) (2) (3) 1 2 3 (1)与(2)的相似比=______， (1)与(2)的周长比=______， (1)与(2)的面积比=______； 1 : 2 1 : 2 1 : 3 1 : 3 探究点1：相似三角形周长比与面积比 (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的周长比=______， (1)与(3)的面积比=______. A B C A' B' C' A'' B'' C'' 1 : 4 1 : 9 3 如果 △ABC 的 △A'B'C'，相似比为 k，那么你能求 △ABC 与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？ 猜想1：相似三角形的周长比等于 ． 相似比 猜想2：相似三角形的面积比等于 ． 相似比的平方 【尝试·思考】 探究点1：相似三角形周长比与面积比 【证一证】如果 △ABC 的 △A'B'C'，相似比为 k，那么你能求 △ABC 与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？ 解：如图，由已知，得 ， C A B D C′ A′ B′ D′ 分别作出 △ABC 和 △A′B′C′ 的高 CD 和 C′D′. ∵△ABC∽△A′B′C′. 探究点1：相似三角形周长比与面积比 5 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 【归纳总结】 相似三角形周长的比等于相似比. A B C A1 B1 C1 探究点1：相似三角形周长比与面积比 例1 如图，在△ABC 中，EF∥BC， ， S四边形BCFE = 8，求 S△ABC. 解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC. ∵S四边形BCFE = 8， ∴S△AEF = 1. ∴S△ABC = 9. A B C E F 探究点1：相似三角形周长比与面积比 知识点1 相似三角形周长的比等于相似比 1.已知与相似，且相似比为，则与 的周 长之比是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 8 2.已知，若与的相似比为， 的 周长为40，则 的周长为( ) B A.50 B.60 C.70 D.80 返回 举一反三 9 3.已知的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的 ， 其最长边为12，则 的周长是( ) C A.54 B.36 C.27 D.21 返回 举一反三 10 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？ 如图，四边形A1B1C1D1 ∽ 四边形 A2B2C2D2，相似比为 k. A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 【思考·交流】 【做一做】 (1) 四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的周长比是多少？ (2) 连接相应的对角线 A1C1，A2C2. 所得的 △A1B1C1 与△A2B2C2 相似吗？△A1C1D1 与 △A2C2D2 呢？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？ B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 (2)相似，相似比为 k. A1 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 (3) = ， = . (4) 四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的面积比是多少？ A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？ 周长的比等于相似比， 面积比等于相似比的平方. k2 k2 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 例2 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与 △DEF 重叠部分 (图中阴影部分) 的面积是△ABC 的面积的一半. 已知 BC = 2，求 △ABC 平移的距离. 　 解：根据题意，可知 EG∥AB. ∴∠GEC =∠B，∠EGC =∠A. ∴△GEC ∽ △ABC. 即△ABC 平移的距离为 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知 △ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 　 B C A D E ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25. 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2). 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 （第4题） 4.如图，在中，，。若 的 周长为6，则 的周长为( ) B A.12 B.18 C.24 D.26 返回 举一反三 16 5.如图，与交于点，且。若，则 __。 （第5题） 返回 举一反三 17 知识点2 相似三角形面积的比等于相似比的平方 6.已知，且，。若 的面积为80， 则 的面积为( ) C A.160 B.40 C.320 D.20 返回 举一反三 18 7.如图，在矩形中，是边 上一点，且 ，与相交于点，若 的面 积是3，则 的面积是( ) D A.3 B.6 C.9 D.27 返回 举一反三 19 8. 已知两个相似三角形的面积比为 ，若较小三角形的周 长为12，则较大三角形的周长为____。 16 返回 举一反三 20 9.如图，点，分别在的边，上，，， 分别是，的中点，若，则 __。 返回 举一反三 21 10.［教材P89“习题3.4”第9题变式］ 如图，在中， ， 求与四边形 的面积比。 举一反三 22 解： ， 。 又， ， ， 。 返回 举一反三 23 11.如图，是内一点，连接， ， ，，，分别是，， 的中点，已 知 的面积是1，有以下结论： ； ； C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ； 。其中正确的有 ( ) 返回 举一反三 24 12.[教材P87“随堂练习”第1题变式] 如果将一个三角形的形状保持不变 但面积扩大为原三角形面积的25倍，那么扩大后的三角形的周长为原三 角形周长的___倍。 5 返回 举一反三 25 13.[西安长安区模拟] 如图，将沿边上的中线 平移到 的位置，已知 的面积为9，阴影部分的面积为4。若 ,则 ___。 2 （第13题） 返回 举一反三 26 14.[江西中考改编] 如图，是面积为1的等边三角形，分别取 ， ，的中点得到；再分别取，， 的中点得到 ；…,依此类推，则 的面积为_ ____。 （第14题） 返回 举一反三 27 15.如图，在中，，为的三等分点，点，在 上，且 ，，四边形，四边形 的面积分别为 ，， 。 举一反三 28 （1）求 ； 解： ， 易得 。 又，为 的三等分点， , 。 设，则， ， 。 举一反三 29 （2）若,,,则四边形 的周长为____。 18 返回 举一反三 30 16. 如图，在 中， ,,,,点在 上 （与点,不重合）,点在 上。 （1）当的面积与四边形的面积相等时， 的长等于_____。 （2）当的周长与四边形的周长相等时， 的长等于_ __。 举一反三 31 （3）在上是否存在一点,使得 为等腰直角三角形?若不存在， 请说明理由；若存在，请求出 的长。 解：存在。，， ， 。 是直角三角形，且 。 易得中边上的高为 。 易知 ， 。 举一反三 32 ①如图①，当 ，且 时， ，解得 ； 举一反三 33 ②当 ，且时，与①相同，此时 ； ③当 ，且 时， 如图②，过点作于 ， 则 ， 中边上的高为 ， ，解得 。 综上可知，的长为或 。 返回 举一反三 34 相似三角形的性质2 相似三角形周长之比等于相似比 相似三角形面积之比等于相似比的平方 课堂小结 谢谢观看 THANKS $