第三单元 分数除法(讲义)2026-2027学年六年级数学上册人教版

第三单元分数除法(讲义) 2026-2027学年六年级数学上册人教版 （思维导图+知识梳理+精讲例题+专项练习） 乘积是1的两个数互为倒数。倒数是相互依存的，不能单独说某一个数是倒数。 概念 → 分子、分母交换位置。方法 倒数的认识 求一个数 → 的倒数 1的倒数是1,0没有倒数。 ①分子是整数的倍数时，可以用分子直接除以整数。 ②用分数的意义，把除法转变为乘法计算。 一个数除以整数 分 数 除 法 一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。 一个数除 → 以分数 方法 → 利用抽象的单位“1”解决工程等实际问题。 工作总量“1”÷工作效率之和=合作工作时间。 解决实 → 际问题 一、倒数 1.判断两数是否互为倒数的唯一标准：两数相乘的积等于1。 2.求倒数的四种方法： ①求分数的倒数：交换分子、分母的位置，的倒数是； ②求非零整数的倒数：整数分之一，非零整数a，倒数为 ③求带分数的倒数：先化成假分数，再交换分子分母的位置； ④求小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。 3.特殊数字的倒数： ①1的倒数是它本身,因为 1×1=1; ②0没有倒数，0乘任何数都得0，且0不能作为分母。 二、分数除法 1.分数除法的意义：是分数乘法的逆运算，已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数；也可以理解为求一个数里面包含几个另一个数。 2.分数除法计算法则：除以一个不为0的数，等于乘上这个数的倒数。 转换规则：被除数÷除数=被除数×除数的倒数； 转换时被除数一定不变，除号变乘号，除数换成它的倒数。 例题： 3.计算前置要求：算式里出现小数、带分数时，要先统一化成分数、假分数再计算。 三、被除数与商的变化规律(被除数不为0) 1.除以大于1的数,商小于被除数: a÷b=c, b>1时, c<a; 2.除以小于1的数,商大于被除数: a÷b=c, b<1时, c>a(b≠0); 3.除以等于1的数,商等于被除数: a÷b=c, b=1时, c=a。 四、分数四则混合运算 1.运算顺序和整数完全一致：加减法为一级运算，乘除法为二级运算；同时出现两级运算时，先算乘除二级运算，后算加减一级运算。没有括号先乘除后加减，有括号先算括号内部，同级运算从左往右计算。 2.简便计算规律：(a±b)÷c=a÷c±b÷c；连除可以转化为被除数除以所有除数的乘积。 五、分数除法应用题(未知单位“1”，用除法或列方程) 1.基础数量关系 (1)甲是乙的几分之几相关： 甲=乙×几分之几；乙=甲÷几分之几；几分之几=甲÷乙。 (2)甲比乙多(少)几分之几的两种计算方法： 方法一:相差数÷单位“1”;例: 9比15少几分之几, (15-9)÷15=6/15=2/5。 方法二：先求甲占乙的分率，再和数字1对比；多几分之几=甲/乙-1；少几分之几=1-甲/乙。 例：15比9多几分之几， 9比15少几分之几， (3)已知甲比乙多(少)几分之几，求乙：乙=甲÷(1±分率) 例：9比乙少 ，求乙： 15比乙多 ，求乙： 2.画线段图解题完整步骤 (1)找出单位“1”的量，先画出代表单位“1”的线段，标出已知量和未知量； (2)分析整体与部分、两个独立量之间的数量关系； (3)梳理题目等量关系式；(4)根据等量关系列方程求解。 画图区分：部分和整体关系只画一条线段；两个独立量对比画两条线段。 例题 1（基础概念）— 理解分数除法的意义 题目： ÷ 4 表示什么意义？ 思路分析：把 平均分成 4 份，求每份是多少。也可以理解为"已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 4，求另一个因数"。 解答： ÷ 4 = = 检验： × 4 = √ 例题 2（分数除以整数）— 涂色部分理解 题目：一块 米长的彩带，平均剪成 3 段，每段长多少米？ 思路分析：把 米平均分成 3 段，每段是 的 。 解答： ÷ 3 = × == （米） 答：每段长 米。 例题 3（整数除以分数）— 逆向思考 题目： 升油可以行驶 8 千米，1 升油可以行驶多少千米？ 思路分析：1 升油是 升油的 倍，所以 1 升油能行驶 8 × = 12 千米。 解答：8 ÷ = 8 × = = 12（千米） 答：1 升油可以行驶 12 千米。 例题 4（分数除以分数）— 统一方法 题目：计算 ÷ 。 思路分析：分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数。 解答： ÷ = × = = 检验： × = = √ 例题 5（混合运算）— 运算定律应用 题目：计算 + × − 。 思路分析：先算乘法，再算加减。注意到 与 没有明显凑整，按顺序计算即可。 原式 = + − = + − = + − = = 例题 6（简便算法）— 乘法分配律 题目：计算 ( + ) × 36。 思路分析：括号里分母是 12 和 18，公倍数是 36。用乘法分配律拆开更简便。 原式 = × 36 + × 36 = 5 × 3 + 7 × 2 = 15 + 14 = 29 例题 7（方程解应用题）— 已知一个数的几分之几是多少，求这个数 题目：学校图书室有故事书 480 本，是科技书的 ，科技书有多少本？ 思路分析：把科技书的本数看作单位"1"，已知量（480 本）是单位"1"的 。 解答（方程法）： 解：设科技书有 x 本。     x × = 480     x = 480 ÷     x = 480 ×     x = 800 解答（算术法）：480 ÷ = 480 × = 800（本） 答：科技书有 800 本。 例题 8（多步应用题）— 单位"1"变化 题目：工厂第一天生产 吨，第二天比第一天多生产 ，第二天生产多少吨？ 思路分析：第一天的产量是单位"1"，第二天的产量是第一天的 (1 + )。 × (1 + ) = × = = （吨） 答：第二天生产 吨。 例题 9（工程问题）— 合做问题 题目：一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。两人合做多少天完成？ 思路分析： 把工作总量看作"1"。 甲的工作效率：1 ÷ 12 = 乙的工作效率：1 ÷ 18 = 合做的总效率： + 解答：(1 ÷ 12 + 1 ÷ 18) ÷ 1 = ( + ) = + = 总时间：1 ÷ = = 7（天） 答：两人合做 7 天完成。 例题 10（综合应用）— 折扣问题 题目：一件衣服原价 320 元，现在打 8 折出售，比原价便宜了多少元？ 思路分析："打 8 折"即按原价的 80% 出售。 便宜的钱 = 原价 − 现价 = 原价 × (1 − 80%) 320 × (1 − 80%) = 320 × 20% = 320 × =64（元） 答：比原价便宜了 64 元。 一、填空。 1.有2.5t货物，如果每次运总量的 ，要运( )次，如果每次运 t,要运( )次。 2. 将 、1、4和 填入括号，使式子成立： 。3.如下图，要解决“甲、乙同时从A、B两地出发，相向而行，几分钟后两人相遇”这个数学问题，小轩和小丽列出了不同的算式，所列算式正确的是( )(填名字)。正确的算式中， 表示( )。 小轩： 小丽： 4.一块木板的形状是等腰三角形，它的底长 ，周长是 dm,面积是 这块木板的腰长( )dm,底对应的高是( )dm。 二、选择。 1.要求故事书有多少本，下面列式不正确的是( )。 A. 120÷3×5 B. C. D. 2.右面是一个正方体的展开图，已知这个正方体相对两个面上的数互为倒数，那么a、b两数的积是( )。 A. 1 B. C. D. 3.已知 下面选项正确的是( )。(a、b、c均大于0) A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. c>a>b 三、计算。 1.计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 2.晓华想探究整数、小数、分数除法运算是否具有一致性，过程如下。 600÷300=(600÷100)÷(300÷100)=6÷3=2 0.21÷0.07=(0.21×100)÷(0.07×100)=21÷7=3 通过以上计算，晓华发现整数、小数、分数除法运算具有一致性：它们都用了( )的规律来计算。请用这个规律计算 四、解决问题。 1.树袋熊和狮子的睡眠时长都比较长。树袋熊每天的睡眠时长大约是多少小时? 2.《墨子·鲁问》中记载的“木鹊”是风筝的早期形式，工艺复杂。随着科技的发展，风筝的设计和材料在不断改进。现在要做一些风筝，甲单独做需要12 天完成，乙单独做需要15天完成。如果两人合作，那么几天可以做完这些风筝的 ？ 3.毕达哥拉斯是一位著名数学家，《希腊文集》中有一个和他有关的小故事，如下图。 毕达哥拉斯有多少名学生? 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、1. 2 5 解析：先分清 表示的是分率还是具体的量，再计算。 第一空：每次运总量的 ，是把货物总量看作单位“1”，要运 (次)。 第二空：每次运 t，货物总质量为2.5 t，要运 (次)。 2. 1 4 解析：在被除数相同(被除数不为0)的除法算式中，除数越大，则商越小；除数越小，则商越大。将题中的 、1、4和 按从小到大的顺序排列： 按此顺序依次填入括号中，即可使式子成立。 3.小丽 甲、乙每分钟骑行的路程之和占 A、B两地总路程的几分之几 解析：把 A、B两地的总路程看作“1”，甲每分钟骑行 A、B两地总路程的 ，乙每分钟骑行A、B两地总路程的 表示甲、乙每分钟骑行的路程之和占 A、B两地总路程的几分之几。求两人的相遇时间，列式为 即小丽列出的算式正确。 4. 解析：第一空：等腰三角形的两条腰长度相等，所以腰=(周长一底) 第二空：三角形的面积=底×高÷2，所以三角形的高=面积×2÷底，列式为 (dm)。 二、1. D 解析：选项A：由题图可知，科技书有3份，故事书有5份，已知科技书有120本，求故事书有多少本,可以列式为120÷3×5。 选项B：科技书本数=故事书本数× ，所以故事书本数=科技书本数 可以列式为 选项C：科技书本数比故事书本数少 ，已知科技书有120本，求故事书有多少本，可以列式为 选项 D：故事书的本数是科技书的 ，科技书有120 本，求故事书有多少本，列式为120× ，而不是 综上，本题选D。 2. C 解析：步骤一根据题中正方体的展开图，还原出正方体。 还原后的一种情况如下：“3”所在面为上面，“a”所在面为左面，“ ”所在面为下面，“ ”所在面为前面，“2.5”所在面为右面，“b”所在面为后面。 步骤二 求 a、b两数。 “a”所在面和“2.5”所在面相对，“b”所在面和“ ”所在面相对，因为这个正方体相对两个面上的数互为倒数，所以a×2.5=1, 可得a=0.4, 步骤三 求 a、b两数的积。 3. A 解析：假设 则a= ,b= ,c=0.12。因为 所以a>b>c。 三、1. 20 (过程略) 解析：分数混合运算的运算顺序与整数混合运算相同。计算时注意观察算式特点，合理运用运算律进行简算。 2.商不变 示例： 解析：观察题干可知，每个式子的被除数和除数都同时乘或除以了一个相同的不为0 的数，即用了商不变的规律。 根据商不变的规律，先将式子进行转化，再进行下一步计算。 四、1. (时) 答：树袋熊每天的睡眠时长大约是22小时。 解析：狮子每天的睡眠时长=树袋熊每天的睡眠时长 ，所以树袋熊每天的睡眠时长=狮子每天的睡眠时长 即 (时)。 2. (天) 答：5天可以做完这些风筝的 解析：把这些风筝的总量看作“1”，这些风筝的 就是 甲单独做，每天做这些风筝的 ；乙单独做，每天做这些风筝的 两人合作，每天做这些风筝的 根据“所需时间=工作总量÷效率之和”列式计算。 3. 答：毕达哥拉斯有28名学生。 解析：根据题意可以画出下面的线段图。 先求出 3名学生对应的分率，再根据单位“1”=分量÷对应分率列式计算。 学科网（北京）股份有限公司 $