2026-2027学年北师大版八年级数学上册 第一次月考模拟测试卷

北师大版数学八年级上册第一次月考测试卷 （考查范围：第一章　勾股定理　第二章　实数　满分：150分　考试时间：120分钟） 班级：____________　　姓名：____________　　座号：____________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，11，12 2．在△ABC中，a＝7，b＝24，c＝25，则这个三角形中最大的角是（　　） A．∠A B．∠B C．∠C D．无法确定 3．下列各数中，是无理数的是（　　） A．3.14 B． C． D． 4． 的平方根是（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 5．下列说法中，正确的是（　　） A．－8的立方根是±2 B．4的平方根是2 C．＝－3 D．0没有立方根 6．在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（4，5），则线段AB的长为（　　） A．5 B．7 C． D．25 7．下列四个数中，最小的是（　　） A．－ B．－1.4 C．0 D． 8．代数式 ÷（x-3）在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≠3 C．x≥2且x≠3 D．x＞2且x≠3 9．如图是一个棱长为2的正方体，一只蚂蚁从顶点A沿正方体表面爬到与它相对的顶点B（体对角线的另一端点），则蚂蚁爬行的最短距离是（　　） A．2 B．4 C．2 D．2 10．估计＋1 的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．在直角三角形中，已知两边长分别为3和4，则第三边长为　　 ． 12．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的高为　　 ． 13．化简：|2－|＝　　 ． 14．若 ＋3＝0，则x＝　　 ． 15．若 ＋|b＋3|＝0，则a＋b＝　　 ． 16．一架长2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙脚的距离为0.7 m，则梯子顶端到地面的高度为　　m． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17．计算：（8分） （1）＋－； （2）|1－|＋－． 18．求下列各式中x的值：（8分） （1）4x²－49＝0； （2）(x＋1)³＋27＝0． 19．已知 2a－1 的平方根是±3，3a＋b－9 的立方根是2，求 a＋b 的平方根。（8分） 20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积。（8分） 21．如图，铁路上A、B两点相距25 km，C、D为铁路旁两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝15 km，CB＝10 km．现要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？（8分） 22．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使顶点D恰好落在BC边上的点F处．已知AB＝8， BC＝10．（10分） （1）求BF的长； （2）求CE的长． 23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上．（10分） （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求△ABC的面积； （3）求BC边上的高． 24．（12分） （1）若 |x－2|＋＝0，求x＋y的值； （2）若＋|ab－2|＝0，求 aᵇ＋bᵃ 的值； （3）已知 3＋ 的小数部分为a，3－的小数部分为b，求a＋b的值． 25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AC边以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CB边以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动．当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．（14分） （1）当t为何值时，△PCQ的面积等于6？ （2）当t为何值时，线段PQ的长度等于2？ （3）当t为何值时，△PCQ是等腰三角形？ 第 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与解析 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．（4分）C 【解析】勾股数必须是正整数且满足 a²＋b²＝c²．A中1²＋2²＝5≠9；B中4²＋5²＝41≠36；C中6²＋8²＝100＝10²，且均为正整数；D中5²＋11²＝146≠144．故选C． 2．（4分）C 【解析】因为7²＋24²＝49＋576＝625＝25²，即 a²＋b²＝c²，由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形，且最大边c所对的角∠C＝90°，故最大角为∠C．故选C． 3．（4分）B 【解析】A中3.14是有限小数，是有理数；B中＝2，是开方开不尽得到的无理数；C中＝2，是有理数；D中是分数，是有理数．故选B． 4．（4分）B 【解析】先算＝4，再求4的平方根：因为(±2)²＝4，所以4的平方根是±2．注意区分“的平方根”与“16的平方根”，后者是±4．故选B． 5．（4分）C 【解析】A错，负数只有一个立方根，－8的立方根是－2；B错，4的平方根是±2；C正确，＝－3；D错，0的立方根是0．故选C． 6．（4分）A 【解析】A、B两点的水平距离为4－1＝3，竖直距离为5－1＝4，构造直角三角形，由勾股定理得AB＝＝＝5．故选A． 7．（4分）A 【解析】因为≈1.414，所以－≈－1.414；负数比较大小，绝对值大的反而小：|－|≈1.414＞|－1.4|＝1.4，所以－＜－1.4＜0＜，最小的是－．故选A． 8．（4分）C 【解析】要使有意义，需 x－2≥0，即x≥2；要使分母x－3≠0，需x≠3．所以x的取值范围是x≥2且x≠3．故选C． 9．（4分）A 【解析】将正方体含A、B的相邻两个面展开到同一平面内，AB即为展开长方形的对角线．展开后长方形的长为2＋2＝4，宽为2，由勾股定理得最短距离为＝＝2．故选A． 10．（4分）B 【解析】因为3²＝9＜10＜16＝4²，所以3＜＜4，各边加1得4＜＋1＜5，即 ＋1 在4和5之间．故选B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）5或√7 【解析】分类讨论：①当3和4都是直角边时，第三边（斜边）＝＝5； ②当4是斜边时，第三边＝＝．注意：直角三角形中斜边是最长边，故3不可能是斜边． 12．（4分）4.8 【解析】斜边＝＝10．设斜边上的高为h，由面积法：×6×8＝×10×h，解得h＝4.8． 13．（4分）－2 【解析】因为2＜（4＜7），所以2－＜0，由负数的绝对值等于它的相反数，得|2－|＝－2． 14．（4分）－27 【解析】由＋3＝0 得＝－3，根据立方根定义，x＝(－3)³＝－27． 15．（4分）－2 【解析】因为 ≥0，|b＋3|≥0，且它们的和为0，所以 a－1＝0 且 b＋3＝0，即a＝1，b＝－3，故a＋b＝－2． 16．（4分）2.4 【解析】梯子、墙面、地面构成直角三角形，斜边（梯子）＝2.5，一条直角边＝0.7，另一条直角边＝＝＝＝2.4（m）． 三、解答题（共86分） 17．（8分，每小题4分） ＋－ （1）原式＝3＋－2＝． （2）原式＝(－1)＋2－2＝－1． 【解析】（1）＝3，＝，＝2，化为最简二次根式后合并； （2）由1－＜0得|1－|＝－1，＝2，＝2． 18．（8分，每小题4分） （1）4x²＝49，x²＝，所以x＝±． （2）(x＋1)³＝－27，x＋1＝－3，所以x＝－4． 【解析】（1）用平方根的定义：正数有两个平方根，不要漏解；（2）用立方根的定义：负数只有一个立方根． 19．（8分） 因为2a－1的平方根是±3，所以2a－1＝(±3)²＝9，解得a＝5．（3分） 因为3a＋b－9的立方根是2，所以3a＋b－9＝2³＝8，即15＋b－9＝8，解得b＝2．（3分） 所以a＋b＝7，7的平方根是±．（2分） 【解析】平方根、立方根定义的逆用：若某数的平方根是±m，则这个数等于m²；若某数的立方根是n，则这个数等于n³． 20．（8分） 连接AC．在Rt△ABC中，∠B＝90°， 由勾股定理得 AC＝＝＝5．（3分） 在△ACD中，AC＝5，CD＝12，AD＝13，因为5²＋12²＝25＋144＝169＝13²＝AD²，由勾股定理的逆定理知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．（3分） 所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×5×12＝6＋30＝36．（2分） 【解析】不规则图形求面积的基本思路是分割：作对角线AC，把四边形分成两个三角形，先用勾股定理求AC，再用勾股定理的逆定理判定∠ACD＝90°，最后分别求面积求和． 21．（8分） 设AE＝x km，则BE＝(25－x) km．（1分） 在Rt△DAE中，DE²＝DA²＋AE²＝15²＋x²＝225＋x²； 在Rt△CBE中，CE²＝CB²＋BE²＝10²＋(25－x)²＝100＋(25－x)²．（3分） 由DE＝CE得 225＋x²＝100＋(25－x)²， 展开整理：225＋x²＝100＋625－50x＋x²，化简得50x＝500，解得x＝10．（3分） 答：E站应建在距A站10千米处．（1分） 【解析】本题考查勾股定理的实际应用与方程思想：把“距离相等”转化为“斜边的平方相等”，在两个直角三角形中分别表示DE²、CE²，建立方程求解． 22．（10分） （1）由折叠的性质可知 AF＝AD＝BC＝10，∠AFE＝∠D＝90°．（2分） 在Rt△ABF中，∠B＝90°，AB＝8， 由勾股定理得 BF＝＝＝6．（3分） （2）由（1）得 FC＝BC－BF＝10－6＝4． 设CE＝x，则EF＝DE＝CD－CE＝8－x．（2分） 在Rt△EFC中，∠C＝90°， 由勾股定理得 EF²＝CE²＋FC²，即 (8－x)²＝x²＋16， 展开整理：64－16x＋x²＝x²＋16，解得x＝3．（2分） 答：CE的长为3．（1分） 【解析】折叠问题的核心是“折叠前后图形全等”：对应边相等（AF＝AD、EF＝ED）、对应角相等（∠AFE＝∠D＝90°）．第一问直接在Rt△ABF中用勾股定理；第二问设未知数，在Rt△EFC中用勾股定理列方程，这是“折叠＋勾股”问题的通用方法． 23．（10分） （1）△ABC是等腰直角三角形．（1分）理由如下： 由勾股定理得 AC＝＝＝2，BC＝＝2，AB＝4，（3分） 因为AC＝BC，且 AC²＋BC²＝8＋8＝16＝AB²， 由勾股定理的逆定理知∠ACB＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．（1分） （2）S△ABC＝·AC·BC＝×2×2＝4．（3分） （3）设BC边上的高为h， 由面积法得S=·BC·h＝4， 即×2×h＝4， 解得h＝2．（2分） 【解析】网格中求格点线段长，以线段为斜边构造直角三角形，用勾股定理计算；判断三角形形状，先算三边长，再用勾股定理的逆定理验证“两短边的平方和是否等于最长边的平方”；求斜边上的高用等面积法． 24．（12分，每小题4分） （1）因为 |x－2|≥0，≥0，且 |x－2|＋＝0， 所以x－2＝0且y－3＝0，即x＝2，y＝3，故x＋y＝5． （2）同理，由＋|ab－2|＝0 得 a－1＝0 且 ab－2＝0， 即a＝1，b＝2，所以 aᵇ＋bᵃ＝1²＋2¹＝3． （3）因为2²＝4＜7＜9＝3²， 所以2＜＜3，故5＜3＋＜6，且0＜3－＜1． 所以3＋的整数部分是5， 其小数部分a＝3＋－5＝－2； 3－的小数部分b＝3－； 所以a＋b＝(－2)＋(3－)＝1． 【解析】（1）（2）非负数之和为0，则各非负数同时为0，这是“非负性”问题的核心；（3）估算 的整数部分（2＜＜3），再用“无理数＝整数部分＋小数部分”分别表示a、b，相加时恰好消去． 25．（14分） 由题意得 AP＝t，则CP＝AC－AP＝8－t；CQ＝2t．运动时间范围：0＜t≤3（Q到达B点用时6÷2＝3秒，此时运动停止）．（2分） （1）S△PCQ＝·CP·CQ＝(8－t)·2t＝8t－t²．（1分） 令8t－t²＝6，即 t²－8t＋6＝0，解得 t＝4±．（1分） 因为0＜t≤3，所以t＝4－．即当t＝4－秒时，△PCQ的面积等于6．（2分） （2）在Rt△PCQ中，∠C＝90°， 由勾股定理得 PQ²＝CP²＋CQ²＝(8－t)²＋(2t)²＝64－16t＋5t²．（2分） 令PQ＝2，则PQ²＝52，即 5t²－16t＋64＝52，化简得 5t²－16t＋12＝0， 解得 t＝，即 t＝2 或 t＝1.2＝，两解均在0＜t≤3范围内．（2分） 即当t＝2秒或t＝秒时，线段PQ的长度等于2．（1分） （3）因为∠C＝90°，PQ是斜边， 所以PQ＞CP，PQ＞CQ，等腰三角形只能是CP＝CQ的情况．（2分） 令8－t＝2t，解得t＝．因为0＜≤3，符合题意．（2分） 即当t＝秒时，△PCQ是等腰三角形．（1分） 【解析】动点问题的解题步骤：①用含t的代数式表示相关线段（CP＝8－t，CQ＝2t，注意标出t的取值范围）；②把几何条件（面积、线段长、等腰）转化为方程；（3）中注意∠C＝90°使PQ必为斜边，斜边不可能是等腰三角形的腰，避免了分类讨论的遗漏与冗余． 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $