辽宁省2026-2027学年高二上学期数学10月月考自编模拟卷02

**基本信息** 聚焦立体几何与直线方程，精选多地区期中期末真题改编，通过正方体截面计算、直线对称问题等，考查空间观念与运算能力，适配高二10月月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量共线、棱台体积、充要条件判断|基础题与中档题结合，如向量共线考查抽象能力，棱台体积强化空间观念| |多选|3/18|直观图面积、直线过定点、正方体线面关系|选项分层设计，如直线过定点问题培养推理意识| |填空|3/15|正方体截面面积、倾斜角范围、长方体动态点轨迹|注重空间几何直观，如截面面积计算发展几何直观| |解答|5/77|四棱锥证明与体积、直线对称、二面角存在性|综合题梯度明显，如二面角存在性问题提升创新意识与推理能力|

2026-2027学年上学期辽宁省高二数学10月月考自编模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修四第十一章立体几何初步+选择性必修选修一 第一章+第二章至2.2直线及其方程。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知向量，且，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026高三·全国·专题练习）过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 6．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山西太原·一模）在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 8．（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·上海·期末）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 10．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为2 C．原点到直线距离的最大值为 D．若直线与直线三条直线有且仅有两个不同的交点，则的值为 11．（25-26高一下·广东深圳·期中）正方体的棱长为分别为的中点.则（    ） A．正方体体积是三棱锥体积的12倍 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    13．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； 16．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 17．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 18．（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19．（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期辽宁省高二数学10月月考自编模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修四第十一章立体几何初步+选择性必修选修一 第一章+第二章至2.2直线及其方程。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知向量，且，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，且， 所以，即． 2．（2026高三·全国·专题练习）过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线的截距式方程，对截距分情况讨论计算即可. 【详解】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 3．（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得正三棱台的高，进而求得正三棱台的体积. 【详解】设等边三角形的中心为，等边三角形的中心为， 则是棱台的高.设分别是的中点，连接， 过作，垂足为，则， ， ，所以， 所以， 所以， ， 所以棱台的体积为.    4．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 6．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，所以， 所以， 设面的法向量为， 可知，即， 当时，解得， 所以面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 7．（2026·山西太原·一模）在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 【答案】A 【分析】以为原点，建立如图坐标系，结合向量的坐标运算即可. 【详解】在中，，，，以为原点，建立如图坐标系， 则，，，，设， 则，，， 由题意可知，即，解得. 则，所以. 故选：A. 8．（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·上海·期末）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】BC 【详解】作出如图所示，由图可得是等腰直角三角形，故A错误； ，，故的周长为，故B正确； 的面积为，故C正确； 的面积为，故D错误． 10．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为2 C．原点到直线距离的最大值为 D．若直线与直线三条直线有且仅有两个不同的交点，则的值为 【答案】ABD 【分析】把直线方程化为斜截式方程，结合点到直线距离公式、直线与直线位置关系逐一判断即可. 【详解】，所以直线过定点且在轴上的截距为2， 因此选项AB说法正确； 原点到直线距离为， 由， 所以原点到直线距离的最大值为，所以选项C说法不正确； 直线， 所以这两个直线的斜率分别为，显然两个斜率不相等也不互为负倒数，因此这两条直线相交，， 所以直线的交点为， 又因为直线和直线都过这一点， 所以要想直线与直线有且仅有两个不同的交点， 所以直线一定要和直线平行，且不与直线重合， 故，所以选项D说法正确. 故选：ABD 11．（25-26高一下·广东深圳·期中）正方体的棱长为分别为的中点.则（    ） A．正方体体积是三棱锥体积的12倍 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法及棱锥体积公式逐一判断各选项． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 则． 因为分别为的中点， 所以． 选项A：正方体体积． 三棱锥的体积． 因为，， 所以． 正方体体积是三棱锥体积的倍，故A错误； 选项B：． 设平面的法向量为， 则，取，得． 又， 所以，即． 又平面，所以直线平面，故B正确； 选项C：由坐标可得，，． 为等腰三角形，底边上的高． 所以截面面积，故C正确； 选项D：． ， 底面在平面（即平面）上． 在平面中， （此处坐标为）， ． 点到平面的距离为， 所以． 所以体积之比为，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．    【答案】18 【分析】首先根据平行的性质，作出截面，再求面积. 【详解】连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为为中点，为中点， 所以，所以即四点共面，而平面是过、、的截面，且三点、、不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为4， ，过点作于点， 所以， 所以截面的面积为.    13．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； 【答案】(1)证明：如图，连接，交于点，则为的中点．连接， 因为是的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，利用中位线找到线线平行证明即可； （2）通过将所求棱锥转换成已知底与高的两棱锥体积之差计算体积即可． 【详解】（1）略； （2）因为底面为菱形且，故为等边三角形， 则； 由，且三棱锥与三棱锥底面积相同， 因为是的中点，则三棱锥的高是三棱锥的高的二倍， ． 16．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【详解】（1）， ； （2）略 （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 17．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 18．（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) 证明：直线的方程可化为， 根据直线的点斜式方程，可知无论取何值，直线总过定点． (2)． (3), ． 【分析】（1）根据直线的点斜式方程判断定点即可； （2）根据斜截式方程的意义得即可求得答案； （3）根据题意，进而求得直线在坐标轴上的截距，最后计算面积，并结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）略 （2）解：由题意，直线，即， 因为直线不经过第四象限，所以，解得． 所以的取值范围为 （3）解：由题意知，，当时，，即点， 当时，，即点， 所以，， 所以的面积 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，此时，直线． 19．（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. (2) (3)存在； 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解. （3）假定存在并求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $