辽宁省朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二12月月考数学答案 一·单选 1-4ACBB 5-8DADC 二·多选 9ACD 10ACD f(x)=cosπx+ 11AC【详解】在图1中，由函数 的解析式可知 A8后-m0 在图2中，建立空间直角坐标系O-xyz如下图所示： 则40s1号00号0M00 可得AB=(11,-1) 对于A,因此可知AB=V12+12+(-1)2=V5,即A正确： 对于B,易知AD=(0,1-1, 则点D到直线AB的距离为 AD·AB 2 2- 6 即B错误： AB 对打C设平面Bw的-个法台量为月=(x小.又-05 所以 320 ,令y=3,则z=2,x=-1; n·AB=x+y-z=0 因此平面ABM的一个法向量为=(-1,3,2)， 1 n.AD 3-21√14 所以点D到平面ABM的距离为 V-1)2+32+2214=14 因此C正确： 对于D,显然平面OBD的-个法向量为m=(0,0,1, |m.i214 所以平面OBD与平面ABM夹角的余弦值为cosm,= D错误， 际14 7 故选：AC 三.填空题 7 x2 y2 5 12. 1321 143 四.解答题 15.BD= 2 【小问1详解】acos B-bcosA=a-c,由正弦定理得 sin Acos B-sin B cos A=sin A-sin C, 由于sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+sin B cosA, sin Acos B-sin B cos A=sin A-sin Acos B-sin Bcos A,2sin Acos B=sin A. 因为A∈0，元)，所以sinA>0.故2cosB=1,cosB=因为B∈(0，，所以 B 【小问2详解)D为AC边的中点.故BD=,(BA+BC) 两边平方得8D=8+8C+2a.BC）号e2+a+2acos), 又=1，c=3.8-号以而-016×引号k0=网- 2 16 【小问1详解】 B(-2,0),C(-3,-3) ∴BC边的中点D的坐标为 引 3 -03 、中线4D的斜率为5.5· 2 中线D的直线方程为：y-0=x-0),即3x-5列y=0 【小问2详解】 设△ABC的外接圆O的方程为x2+y2+Dx+y+F=0, :A、B、C三点在圆上， F=0 4-2D+F=0 9+9-3D-3E+F=0 D=2 解得：{E=4 F=0 ∴外接圆0的方程为x2+y2+2x+4y=0,即(x+1)2+0y+2)2=5, 其中圆心0为(-1-2)，半径r=√5 又圆心O到直线1的距离为d= 1-(-2+.5 V+(- 被截得的弦长的一半为V2-d=√5， “被截得的弦长为2√5 17.因为长轴长为4，放a=2,而离心率为5，故c=V2, 2 故b=V反，故椭圆方程为：父+ -=1 42 【小问2详解】 由题设直线AB的斜率不为0，故设直线：x=t(y+2),A(x,y),B(x2,2), x=t(y+2) 由 x2+2y2=4 可得t2+2)y2+412y+412-4=0, 故△=161-42+2)(42-4）=4(8-42)>0即-√2<1<√2， 且%+为=2+2 4t2 4t2-4 故5s=p4-为小=0+男户-4- v32-1 t2+ 6r-2,得1=±6 7小m*-原26 2 2 +2 4 18. ②如图所示建立平面直角坐标系，则C1(0, 【详解) 0,1),A(1,0,1),A(2,0,0） 解：(1)证明：设A1C交CD于点G,连接 B(1,V3,0),不妨设=入丽，入∈[0， EG, 1],则F(2-入，3入，0)， 在三棱台ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC C=(2-,5,-1), A,C1号C,又D为AC的中点， 所以A1C1∥DC,又A1C1=DC 所以四边形A1C1CD是平行四边形，G为A1C的 中点， 又E为BC的中点 所以EG∥AB,又EGC平面C1DE,ABt平面 CiDE, 所以AB∥平面CDE (2)O连接BD,因为CC1⊥平面ABC,且 CC1C平面AA1C,C, 设平面ABBA1的一个法向量为n=(么，y,z), 所以平面ABC⊥平面AA1CC L函得 则 -x+z=0 因为AB=BC,D为CA的中点 所以BD⊥AC,又平面ABC∩平面 1 -x+W3y=0 AAC1C=AC,BDC平面ABC 令y=1,可得：63,1,3)， 所以BD⊥平面AA1C1C,因为A1CC平面 设CF与平面ABB1A1所成角为0， AACiC. 则 所以BD⊥AC sine=cos<n,CF> 又BC1⊥A1C,BC1∩BD=B,BC1,BDC平面 V7xW2λ-1)2+4 14 BDC1. 所以A1C⊥平面BDC1,AC⊥DC1, 当且仅当入时，等号成立 故四边形A1C1CD为菱形，即CC1=1 所以三棱台AB1C1-ABC的体积为 所以C1F与平面ABBA1所成角的正弦值的最大 音×1x955)- 值为V② 12 14 19. 【小问1详解】因为点T(3,-V⑤和点T,-5,V21在双曲线上， 95 a2 b2 =1 a2=4 所以 ，解得 2521 b2=4' 所以双曲线C的标准方程为：_y (a26l 41 【小问2详解】由题可知，直线1的斜率不等于零，故可设直线1的方程为x=my+4, 设P(x,y),Q(x2,y2), 5 令4=整理得（m-Dy+8y+120 x=my+4 若m2=1,即m=±1，直线1的斜率为±1，与渐近线y=±x平行， 此时直线1与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以m2≠1， -8m 12 所以》，+y2= m21y= m2-13 x+=m0y+,)+8=-8m2+8m2-8。-8 m2-1m2-1m2-1 x=my5+4m0+y)+16=12m+-32m2+16m2-16-4m2-16 m2-1m2-1m2-1m2-1 因为4-2,0)所以kk,=kk0=12×上 x1+2x2+2xx2+2(x1+x2)+4 12 m2-1 。121 -4m2-16-164m2-4-363,所以kk,=-37 m2-1m2-1m2-1 小间3洋潮行当MN上x销时，店=-点，且：=号 、3,=3’2一373. 3 x2+y2=4 联立 V 整理得x2+(x+2}2=4, 3x+2) y= 3 即x2+x-2=0,解得x=-2或x=1, 当x=1时，y=V3,所以ML,V3), 由于对称性，N(1,-√3)，此时直线MN过定点(1，O): (i)当MN不垂直于x轴时，以下证明直线MN仍过定点设为B(1,O), x2+y2=4 因为AP:y=kx+2),所以联立 y=k(x+2) 即x2+k2(x+2)2=4,所以(2+1)x2+4k2x+4k2-4=0, 6 -2k2+2 解得x=-2或X= k+1 当x=-2%2+2 时，y=k -2K+2 +2 4k1 k+1 k2+1 k2+1 所以M2+2.4%) k2+1’+1 同理，将上述过程中名替换为么，可得N2+2.4). K+1’kG+1 4k 4k2 k+1 所以kBM=-2k+2-1 4k k+1 kBN= 4k2 -3k2+1 -2k+2-1-3号+1 k+1 k3+1 1 1 因为k,=写所以6，=流 4 4k2 所以kaw=-3Kg+1 3k -4k 4k 、2 1 3k2-1-3k+1 =kBM, -3 +1 3k 所以M,N,B三点共线，即此时直线MN恒过定点(1，O), 综上直线MN过定点(1,0) 7建平县实验中学高二数学12月份月考试卷 试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 (1+i)(3+i) 1.已知复数 ,则复数？的虚部为() A.-2 B.-2i C.4 D.2i 2.抛物线x2=-4y的准线方程是() A.y=2 B.y=-2 C.y=1 D.y=-1 x_y=1 3.若点P在双曲线58上，则P到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为() A.4V2 B.2√5 c.213 D.10 4. y2 己知焦点在y轴上的椭圆+ =1,其焦距为2，则m的值等于() m 8 A.4 B.7 C.9 D.12 5.已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为⑤ ,焦点到一条渐近线的距离为1，则C的标准方 程为()A2-号=1 B.-x2=1 c.-y=1 D. 4 44 -y2=1 4 6.已知椭圆C:+二-1的左、右焦点分别为，5，点P为椭圆C上一点，若PFPF了 43 则cos∠EPF,=() 3 A. B. C. D. 3 14 14 第1页 已知双自线C若千-a>0b>0的条新线与直骏34613-0直，以C前 右焦点F为圆心的圆(x-c)?+y2=2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为() A1 B.2 C.5 D.2W5 8.已知椭圆E: + =1(a>b>0)的右焦点为F(3,O),过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB 的中点坐标为(1，一1)，则E的方程为() A 心+y=1B+ =1c+=1 +=1 4536 3627 189 2718 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9已知曲线C的方程为弋+， =1，则() m 2-m A.当m=1时，曲线C表示一个圆 B.当0<m<2时，曲线C表示椭圆 C.当m>2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线 D.当m<0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线 10.己知点P是抛物线C:y2=16x上任意一点，过C焦点F的直线1与其交于A,B两点，则下列 说法正确的是() A.焦点为F(4,0) B.当1的斜率为1时，AB=16 C.点M(6,4),则PM+PF的最小值为10D.过点(0,2)与C有1个公共点的直线有3条 11.如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数f(x)=os? + 的部分图象，A,B分别是 f(x)图象的一个最高点和最低点，M是f(x)图象与y轴的交点，BD⊥OD,垂足为D,现将 共2页 该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角A一OD-B,对于图2，则下列结论正确的是() 图1 图2 A.AB=√5 B点D到直线AB的距离为B 3 C.点D到平面ABM的距离为 V14 D.平面OBD与平面ABM夹角的余弦值为 14 > 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知F是抛物线C:x2=2y的焦点，A是C上的一点，若AF=4,则A的纵坐标 13与双曲线2-上=1有共同渐近线，且过点M(2,2)的双曲线方程为一 4 4已知点A是秘盟C:若+茶=a>b0)的下顶点，P是C侍新在点，延长文C于内 B,若AF=2FB,则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤。 15.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知ac0sB-bcos A=a-c. (1)求B;(2)若a=1,c=3,D为AC边的中点，求BD的长 16.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0),B(-2,0),C(-3,-3). (1)求BC边上的中线AD的所在直线方程； (2)求△ABC的外接圆O被直线1：x-y+1=0截得的弦长. 第2) 已知椭圆C:器+=1(Q>b>0)的离心率为号长轴长为4。@)求C的方程： (2)过点(0，-2)的直线1与C交于A,B两点，0为坐标原点，若△OAB的面积为V2,求AB. 18.在三棱台ABC-AB,C,中，CC,⊥平面ABC,AB=BC=AC=2AB,=2,D,E分别为 CA,CB的中点.(1)证明：AB∥平面CDE;(2)己知BC11A1C,F为线段AB上的动点 (包括端点).①求三棱台ABC1-ABC的体积；②求C,F与平面ABB,A所成角的正弦值的最 大值. A B B a年，u07问两x5网在须c若茶-阳0b0及 线C的左顶点为A,过点L(a2,0)且不与x轴重合的直线I与双曲线C交于P,Q两点，直线 AP,AQ与圆O:x2+y2=a2分别交于M,N两点.(1)求双曲线C的标准方程： (2)设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求kk2的值；(3)证明：直线MN过定点： M 页供2页