精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市商都县商都高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

商都高级中学2026-2027学年度高三数学第一次月考试卷 考试时间：120分钟； 命题：宋贵 审核：栗文玲 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解集合中的不等式,将集合A表示成,再通过补集运算求出集合的补集,最后通过交集运算得到最终解. 【详解】由题知,解得,所以集合, 又,则,所以. 故选:B 2. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：A,B,C,D选项中，B,C为偶函数，而函数在上单调递减，函数在上单调递增，故选C 考点：函数的单调性，奇偶性 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数定义域，函数单调性以及函数零点存在性定理分析即可. 【详解】由函数的定义域为， 又，故函数在上单调递增， 所以函数在上至多有1个零点， 由， 所以，所以函数的零点所在的区间是. 4. 已知命题：；命题：，则（   ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于含全称量词的命题和含存在性量词的命题的真假性的判断，可以利用特殊值检验，找是否有一个条件让全称量词命题不成立或者存在量词命题成立可以判断真假性. 【详解】已知命题：， 当时，，所以是假命题，则是真命题； 命题：， 当时，，所以是真命题，则是假命题. 5. 已知函数，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，求出的值，然后求切点坐标与切线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数性质，借助中间值进行大小比较. 【详解】由对数函数性质可知，； 由指数函数性质可知，，因为且，所以； 又，因为且，所以. 综上所述，. 故选：A. 7. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求出函数的周期及其在区间上的表达式即可求解. 【详解】∵，∴，∴， ∴，∴的周期为4， 当时，，则， 又∵为奇函数，∴，∴当时，， 又∵，且， ∴， 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，．那么，当时，的减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据为奇函数，得到关于成中心对称，根据时，，得到的解析式，从而得到单调递减区间. 【详解】因为为奇函数，所以的图像关于对称， 所以的图像关于对称 所以 当时，， 当时，， 所以 所以， 开口向下，对称轴为， 故当时，的单调递减区间为 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求函数的解析式，求函数的单调区间，属于中档题. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A，，A正确； 选项B，，B正确； 选项C，，C错误； 选项D，，D正确. 10. 已知函数在上单调，则的值可以为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据各段函数的单调性结合分段点处的高低可得关于参数的方程组，求解可得参数的范围. 【详解】因为为减函数，所以在上单调递减，则，解得. 故选：BC. 11. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧，基本不等式以及二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，由， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数，若正数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶性与单调性可化简已知等式求得；由，结合基本不等式可求得结果. 【详解】，为定义在上的奇函数，且， ，即， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，，即， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 13. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 【答案】## 【解析】 【分析】对函数求导数，然后根据切线与已知直线垂直建立方程求解即可. 【详解】因为直线的斜率为：， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线的斜率为：， 由，则， 所以，解得：. 14. 若函数对任意的都有，是偶函数，且当时，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题干信息可以得到函数周期为，，再根据对称性得到，代入即可求出答案. 【详解】，， 即函数是周期为， 是偶函数，， 令，则， ． 四、解答题（共77分） 15. 已知是奇函数． （1）求实数的值； （2）作的图象； （3）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的解析式结合奇函数的性质求出的解析式，即可求出； （2）根据二次函数的图象及分段函数图象的画法即可画出图象； （3）从图象上可以得到函数的单调递增区间，列不等式即可求出答案. 【小问1详解】 设，则，所以， 因为是奇函数，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 函数的图象如下， 【小问3详解】 由图知，函数的单调递增区间为， 所以根据函数在区间上单调递增， 可知需满足，解得， 故所求实数的取值范围为． 16. 已知函数. （1）若为偶函数，求； （2）若不等式有解，求的范围. 【答案】（1）0；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数函数的性质即可求得； （2）利用对数函数的单调性，结合一元二次不等式有解的条件求得. 【详解】（1）， 则，则， 此时，定义域为R上的偶函数. （2）有解 有解，即有解，则 故实数的取值范围是. 17. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值为5，最小值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，函数，利用二次函数的图像求解； （2）由对任意实数，恒成立，整理得到对任意实数恒成立，按照和讨论求解，当时，对任意实数恒成立等价于，计算得解. 【小问1详解】 当时，函数， 因为，所以当时，有最小值； 当时，有最大值5， 所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为5和． 【小问2详解】 因为对任意实数，恒成立， 即对任意实数恒成立， 所以对任意实数恒成立， 当时，，解得，不满足题意； 当时，对任意实数恒成立等价于， 即，解得 综上，实数的取值范围为. 18. 已知函数，. （1）若函数在点处的切线方程为，求，的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出的值并验证即可 (2)求出函数及导数，再由在上恒成立求出的范围 【小问1详解】 由题，，因为在处的切线为，所以， 代入得切点为，切点在切线上，则. 【小问2详解】 由题，求导得， 由在上单调递增，得在上恒成立， 当时，，因此在上恒成立，又，则 19. 已知函数的两个极值点互为相反数，且极小值为． （1）求，的值； （2）求曲线经过原点的切线方程； （3）已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合韦达定理求得，再讨论函数单调性即可得，解方程即可求得； （2）分为切点和不是切点两种情况讨论求解即可； （3）结合函数的单调性，极值讨论求解即可. 【小问1详解】 由得， 因为函数的两个极值点互为相反数， 所以有两个不相等的实数根，且互为相反数，不妨设为， 所以，由韦达定理得，解得， 所以，解得， 所以，当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，当时，函数取得极小值， 因为极小值为， 所以，即，解得， 所以， 【小问2详解】 结合（1）知，， 当为切点时，，此时切线方程为，即； 当不是切点时，设切点为，则切线斜率为， 此时切线方程为：， 因为切线过点， 所以，即，解得，与矛盾， 所以，不存在切点不是原点，且过原点的切线. 综上，过原点切线只有. 【小问3详解】 由（1）知，， 所以，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 因为，，，， 所以，当函数在区间上的值域为，需满足， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商都高级中学2026-2027学年度高三数学第一次月考试卷 考试时间：120分钟； 命题：宋贵 审核：栗文玲 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是 A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题：；命题：，则（   ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 5. 已知函数，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，．那么，当时，的减区间是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在上单调，则的值可以为（ ） A. B. C. 3 D. 11. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数，若正数满足，则的最小值为______． 13. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 14. 若函数对任意的都有，是偶函数，且当时，，则______． 四、解答题（共77分） 15. 已知是奇函数． （1）求实数的值； （2）作的图象； （3）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 16. 已知函数. （1）若为偶函数，求； （2）若不等式有解，求的范围. 17. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，. （1）若函数在点处的切线方程为，求，的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 19. 已知函数的两个极值点互为相反数，且极小值为． （1）求，的值； （2）求曲线经过原点的切线方程； （3）已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $