内蒙古衡越教育集团（清北）2026-2027学年高三上学期第二次诊断数学试题

2026-2027学年第一学期高三年级二诊考试数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（ ） A． B．1 C．-1 D．-2 5．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 6．在中，，，则外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． 7．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A． B．1 C．2 D． 8．若，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知，满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（ ） A． B． C．的面积为 D． 11．已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A．曲线在点处的切线方程为 B．的极大值为 C．函数的极小值点为-1 D．不等式的解集为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．若是第二象限角，，则___________． 13．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________． 14．已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为___________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．已知函数． （1）求函数的单调递增区间及在上的最值； （2）若为锐角且，求的值． 16．在中，内角的对边分别为，且． （1）求角B的大小； （2）若，且，求的值． 17．设函数． （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 18．如图，在直三棱柱中，为棱的中点，为的中点，且． （1）求证：； （2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上． ①求平面截球的表面所得圆的周长； ②求直线与平面所成角的正弦值． 19．已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上单调递减． （3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 《2026-2027学年第一学期高三年级二诊考试数学试题》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D A D B B B CD AC BCD 8．答案：B 解答过程：因为， 所以 设函数，则， 当时，单调递减， 所以，所以，故． 故选：B 9．答案：CD 解答过程：因为，满足， 对于A选项，由基本不等式可得，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，， 当且仅当当时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对．故选：CD． 10．答案：AC 解答过程：因为，所以由正弦定理，得 ，故A正确； 由余弦定理得，，因为，所以，故B错误； 的面积为，故C正确； 由余弦定理，得， 因为，所以， 因为是的角平分线，所以， 所以． 在中，由正弦定理，得解得，故D错误． 故选：AC． 11．答案：BCD 解答过程：当时，，所以， 则，又，所以A错误； 当时，当时．， 所以的极大值为， 又为奇函数，所以当时，有极小值，无极大，值，所以B正确； ， 当或时，当时，，所以的极小值点为-1， 所以C正确； 根据或或，等价于或， 则，所以D正确． 12．答案： 13．答案： 14．答案： 解析：先求出每一段函数的值域，然后由题意得到， 根据，可将化简为， 构造函数，利用导数求最值即可． 解答过程：结合解析式可知当时，； 当时，． 因为，所以． 令，得，则， 故． 令，则， 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，， 因为，所以． 所以的取值范围为． 故答案为： 15．答案：（1）由， 解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得 ， 所以，在的值域为．所以函数的最大值为2，最小值为-1， （2）由（1）知，， 由，得， 由，得， 所以， 所以 ． 16．答案：（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 即， 又，所以，所以，所以； （2）由（1）知，，又，则由正弦定理得． 由余弦定理可得，所以， 所以， 根据正弦定理得，， 因为，则，所以，所以． 17．答案：（1）解：由题意，函数， 则，可得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，可得直线在轴，轴上的截距分别为， 所以所求三角形的面积为． （2）解：由， 则，所以函数为增函数， 又因为，所以当时，，所以函数在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 即函数在区间上的最大值为，最小值为1． 18．答案：（1）证明：由题意知平面， 又平面，所以，又平面， 所以平面，又平面，所以； （2）由（1）得两两垂直，以C为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则． 所以， 设平面的一个法向量，则，即， 令，得，所以， 法1：因为是以为斜边的直角三角形，所以的外心为线段的中点， 其坐标为，且平面，所以在上，于是设， 由，得， 即，解得， 所以，所以，球的半径． 法2：设，由，得， 解得，即， 所以，球的半径． ①设点到平面的距离为，则， 所以截面圆的半径， 故截面圆的周长为； ②，设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19．答案：（1）因为，所以， ，又，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即． （2）令，则， 所以当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 即在上恒成立，则在上单调递减． （3）关于的不等式恒成立，即恒成立， 由于，所以恒成立， 设，则， 由（2）知在上单调递减，且， 所以存在唯一，使得，即， 则当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 因为在上单调递增，则， 要使恒成立，且为整数，所以最小值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $