内蒙古衡越教育集团（清北）2026-2027学年高三上学期第二次诊断数学试题

**基本信息** 高三二诊数学试卷涵盖集合、复数、函数、三角、立体几何等核心知识，解答题注重综合应用（如导数单调性与不等式恒成立、立体几何证明与空间角），适配高三诊断与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数几何意义、充要条件|基础巩固，考查抽象能力与符号意识| |多选题|3/18|向量运算、解三角形、函数奇偶性与导数|多维度分析，体现推理意识| |填空题|3/15|三角求值、切线方程、函数零点|细节把控，强化运算能力| |解答题|5/77|三角函数性质、导数应用、立体几何证明与空间几何量|综合应用，突出空间观念与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

《2026-2027学年第一学期高三年级二诊考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D A D B B B C D AC B C D 8. 答案：B解答过程：因为，所以. 设函数，则，当时，单调递减， 所以，所以，故.故选：B 9. 答案：CD 解答过程：因为，，满足， 对于A选项，由基本不等式可得，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，， 当且仅当当时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对.故选：CD. 10. 答案：AC 解答过程：因为，，，所以由正弦定理，得，故A正确； 由余弦定理得，，因为，所以，故B错误； 的面积为，故C正确； 由余弦定理，得，因为，所以， 因为，是的角平分线，所以， 所以. 在中，由正弦定理，得·解得，故D错误. 故选：AC. 11. 答案：BCD解答过程：当时，，所以， 则，又，所以A错误； 当时，当时．，所以的极大值为， 又为奇函数，所以当时，有极小值，无极大,值，所以B正确； ，当或时，当时，，所以的极小值点为，所以C正确； 根据，或；或， 等价于或，则，所以D正确． 12. 答案： 13．答案： 14 .答案： 解析：先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可. 解答过程：结合解析式可知当时，；当时，. 因为，所以.令，得，则， 故.令，则， 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，， 因为，所以. 所以的取值范围为.故答案为： 15. 答案：（1）由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以，在的值域为.所以函数的最大值为，最小值为， （2）由（1）知，，由，得， 由，得， 所以，， 所以 . 16. 答案：（1）因为，由正弦定理得， 又，所以，所以，即，， 又，所以，所以，所以； （2）由（1）知，，又，则由正弦定理得． 由余弦定理可得，所以，所以，根据正弦定理得，， 因为，则，所以，所以． 17. 答案：（1）解：由题意，函数， 则，可得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，可得直线在x轴，y轴上的截距分别为，， 所以所求三角形的面积为. （2）解：由， 则，所以函数为增函数， 又因为，所以当时，，所以函数在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 即函数在区间上的最大值为，最小值为. 18. 答案：（1）证明：由题意知平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）由（1）得两两垂直，以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则． 所以， 设平面的一个法向量，则，即， 令，得，所以， 法1：因为是以为斜边的直角三角形，所以的外心为线段的中点， 其坐标为，且平面，所以在上，于是设， 由，得，即，解得， 所以，所以，球的半径． 法2：设，由，得， 解得，即，所以，球的半径． ①设点到平面的距离为，则， 所以截面圆的半径，故截面圆的周长为； ②，设与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 答案：（1）因为，所以， ，又，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. （2）令，，则， 所以当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 即在上恒成立，则在上单调递减． （3）关于的不等式恒成立，即恒成立， 由于，所以恒成立， 设，则， 由（2）知在上单调递减，且，， 所以存在唯一，使得，即， 则当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 因为在上单调递增，则， 要使恒成立，且为整数，所以最小值为. 第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高三年级二诊考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 5.已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 11. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 的极大值为 C. 函数的极小值点为 D. 不等式的解集为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若是第二象限角，，则______. 13．已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 14 .已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15．(13分) 已知函数． （1）求函数的单调递增区间及在上的最值； （2）若为锐角且，求的值． 16．(15分) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，且，求的值． 17．(15分) 设函数. （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 18．(17分) 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为的中点，且． （1）求证：； （2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上． ①求平面截球的表面所得圆的周长； ②求直线与平面所成角的正弦值． 19．(17分) 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）证明：在上单调递减． （3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $