镇宁高中教育集团2026-2027学年高二上学期第2周数学周统练

**基本信息** 聚焦空间向量核心知识，以正方体、三棱柱等几何体为载体，分层考查线性运算、共线共面判定及数量积应用，强化空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|5|空间向量线性运算、共线判定、投影向量|结合正方体模型（题1、5），基础与辨析并重| |多选题|2|向量相等、共面定理|选项设置包含反例（题6A、D），考查推理严谨性| |填空题|2|四点共面、向量表示|空间四边形中点问题（题9），体现转化思想| |解答题|2|向量化简、数量积与垂直证明|正方体背景下多问递进（题11），衔接逻辑推理| |附加题|1|四点共面、异面直线成角|平行六面体综合应用（题12），对接高考难度|

镇宁高中教育集团2026～2027学年度第一学期第2周统练 高二年级 数学 命题人 ： 审题人： 姓名： 高二（ ）班 学号： 一、单选题 1．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 3．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 4．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 5．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 二、多选题 6．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 7．已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 镇宁高中教育集团2026～2027学年度第一学期第2周统练 高二年级 数学 姓名： （ ）班 学号： 1 2 3 4 5 6 7 三、填空题 8．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 9．空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 四、解答题 10．如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 11．如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 附加题．如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《镇宁高中教育集团2026～2027学年度第一学期第2周统练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A A B C BC BCD 1．D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 2．A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 3．A 【详解】是的中点，则 ． 4．B 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 5．C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 6．BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 7．BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为平面外一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 8． 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 9． 【详解】因为为的中点，根据向量加法的平行四边形法则， 所以. 则根据向量减法的三角形法则可知， 得到. 10．(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 11．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； （2）计算得到即可证明. 【详解】（1）正方体中，，， 有，， 所以. （2）证明：正方体中，，， 有，， 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以且，即， 则有， 所以． 12．(1) 证明：设，，，则、、不共面， 由题意可得，，所以， 又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面. (2) 【分析】（1）设，，，证明出，结合直线、不重合可证得结论成立； （2）将、用基底、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）由题意可得，， 由空间向量数量积的定义可得， ，同理可得， 因为为的中点，所以， ， 所以， 故 ， ， ， 所以， 因此直线与所成角的余弦值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $