专题02 空间向量基本定理（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题02 空间向量基本定理 常考题型·精准突破 题型1 基底的判定 题型2 用基底表示空间向量 题型3 由基本定理求参 题型4 求数量积 题型5 证明空间位置关系 题型6 求空间角 题型7 求距离（长度） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 基底的判定 ( 解题贴士 ： 判断基底的基本思路 （ 1 ） 判断一组向量能否构成空间的一个基底 ， 实质是判断这三个向量是否共面 ， 若不共面 ， 就可以构成一个基底 ； （ 2 ） 判断基底时 ， 常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体 ， 用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底 ， 并在此基础上构造其他向量进行相关的判断 . ) 【例1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． ◆题型2 用基底表示空间向量 ( 解题贴士 ： 用基底表示向量的步骤 ) 【例2】（25-26高二下·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）    A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东清远·期末）在平行六面体中，与交于点，记，，，则（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·四川巴中·期末）在三棱柱中，是的中点，且，则（   ）    A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）如图，在空间中平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，则用向量，，表示为（    ） A． B． C． D． ◆题型3 由基本定理求参 【例3】（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式3】（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． ◆题型4 求数量积 【例4】（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式1】（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【变式2】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【变式3】（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． ◆题型5 证明空间位置关系 ( 解题贴士 ： 用向量方法证明平行、垂直问题的思路 （ 1 ） 利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行 ； （ 2 ） 把要证的线面垂直转化为线线垂直 ， 再转化为两直线的方向向量的数量积为 0 . ) 【例5】（2026·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是（　　） A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 【变式1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中点，则AC1与CE的位置关系是（　　） A.重合 B.垂直 C.平行 D.异面 【变式2】在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ＝－1. 【变式3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明： （1）EF∥平面PAD； （2）EF⊥平面PCD. ◆题型6 求空间角 ( 解题贴士 ： 基向量法求空间角的基本思路 将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角 （ 或其补角 ）， 再用基向量表示两方向向量 ， 并借助向量的运算求出角 . ) 【例6】（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【变式1】如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.    （1）用表示； （2）求向量与向量所成角的余弦值. 【变式2】（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. ◆题型7 求距离（长度） ( 解题贴士 ： 求空间距离 （ 长度 ） 问题的步骤 （ 1 ） 选取空间基向量 ， 将待求线段对应的向量用基向量线性表示 ； （ 2 ） 求该向量的模 ， 利用空间向量的数量积运算求得线段的长度 . ) 【例7】如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，求的长．      【变式1】（25-26高二上·四川南充·期末）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．求线段的长．            【变式3】如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，，，分别为，，的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求．    综合攻坚·知能拔高 1．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川眉山·期末）如图，在平行六面体中，，，则（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南常德·期中）已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 6．（25-26高二上·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 8．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·贵州黔西南·阶段检测）已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有(    ) A．，，共面 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 10．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 11．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（       ） A． B． C．与的夹角为 D．三棱锥的体积为 12．（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正三棱锥中，是的中心，，则______________． 14．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 15．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 16．（25-26高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 17．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 18．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知是平行六面体，、分别为棱和的中点． (1)化简，并在图中标出化简结果 (2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值． 19．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 20．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 21．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量基本定理 常考题型·精准突破 题型1 基底的判定 题型2 用基底表示空间向量 题型3 由基本定理求参 题型4 求数量积 题型5 证明空间位置关系 题型6 求空间角 题型7 求距离（长度） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 基底的判定 ( 解题贴士 ： 判断基底的基本思路 （ 1 ） 判断一组向量能否构成空间的一个基底 ， 实质是判断这三个向量是否共面 ， 若不共面 ， 就可以构成一个基底 ； （ 2 ） 判断基底时 ， 常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体 ， 用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底 ， 并在此基础上构造其他向量进行相关的判断 . ) 【例1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 【变式1】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能，故选D 【变式2】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行六面体中，为不共面向量. A，因中的可以表示为的和，即三个向量共面，不能作为基底，不合题意； B，对于，因，即为共面向量，不合题意； C，对于，因，即为共面向量，不合题意； D，假设为共面向量， 则存在唯一的，满足， 则，该方程显然无解，故假设不成立，即可以作为空间中的一组基，故选D. 【变式3】（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. ◆题型2 用基底表示空间向量 ( 解题贴士 ： 用基底表示向量的步骤 ) 【例2】（25-26高二下·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，    ∵N是的中点，，，， ． 【变式1】（25-26高二上·广东清远·期末）在平行六面体中，与交于点，记，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由. 故选：A 【变式2】（25-26高二上·四川巴中·期末）在三棱柱中，是的中点，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 .故选：B 【变式3】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）如图，在空间中平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，则用向量，，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 .故选：A ◆题型3 由基本定理求参 【例3】（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此，所以. 【变式1】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 【变式2】（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为点、分别是棱、的中点， 所以 ， 又，、、不共面， 所以，所以. 【变式3】（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 因为为的中点，所以， 又因为，，且， 即 ， 显然、、不共面，所以，解得，故. 故选：C. ◆题型4 求数量积 【例4】（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】在直四棱柱中，，， , . 【变式1】（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【解析】分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ，故选：A. 【变式2】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【解析】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B 【变式3】（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【解析】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得.故选：A. ◆题型5 证明空间位置关系 ( 解题贴士 ： 用向量方法证明平行、垂直问题的思路 （ 1 ） 利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行 ； （ 2 ） 把要证的线面垂直转化为线线垂直 ， 再转化为两直线的方向向量的数量积为 0 . ) 【例5】（2026·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是（　　） A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 【答案】ACD　 【解析】依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面.因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正确.故选A、C、D. 【变式1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中点，则AC1与CE的位置关系是（　　） A.重合 B.垂直 C.平行 D.异面 【答案】B　 【解析】设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，＝a＋b＋c，＝＋＝c－a－b，设正方体的棱长为1，则·＝（a＋b＋c）·（c－a－b）＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直. 【变式2】在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ＝－1. 【答案】－1　 【解析】设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底.设AB＝1，因为BD⊥AN，所以·＝0，因为＝－＝b－a，＝＋＝c＋λb，所以（b－a）·（c＋λb）＝0，所以＋λ－－＝0，所以λ＝－1. 【变式3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明： （1）EF∥平面PAD； （2）EF⊥平面PCD. 【证明】（1）连接PF（图略），因为E，F分别为PC，BD的中点，则＝－＝（＋）－＝＋（－）＝＋＝＋，所以向量，，共面， 又EF⊄平面PAD，DA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD. （2）因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD， 又PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA. 因为PA＝PD＝AD， 所以PA⊥PD， 所以·＝（＋）·＝·＝0， ·＝（＋）·＝·＝0， 所以EF⊥PD，EF⊥CD， 又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD. ◆题型6 求空间角 ( 解题贴士 ： 基向量法求空间角的基本思路 将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角 （ 或其补角 ）， 再用基向量表示两方向向量 ， 并借助向量的运算求出角 . ) 【例6】（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【解】（1） （2）由题意知，，，， 则， ， 所以 【变式1】如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.    （1）用表示； （2）求向量与向量所成角的余弦值. 【解】（1）因为E是的中点，F在上，且， 所以， 于是. （2）由（1）得， 因此， ， 又因为， 所以向量与向量所成角的余弦值为. 【变式2】（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 【解】设，， 由题可知：两两之间的夹角均为，且， （1）由 所以即证. （2）由，又 所以， 又 则 又异面直线夹角范围为 所以异面直线夹角的余弦值为. ◆题型7 求距离（长度） ( 解题贴士 ： 求空间距离 （ 长度 ） 问题的步骤 （ 1 ） 选取空间基向量 ， 将待求线段对应的向量用基向量线性表示 ； （ 2 ） 求该向量的模 ， 利用空间向量的数量积运算求得线段的长度 . ) 【例7】如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，求的长．      【答案】 【解析】设， 则，，，， 因为， 所以． 【变式1】（25-26高二上·四川南充·期末）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行六面体中，， 由为平行四边形，与交于点， 所以为与的中点， 所以 ， 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．求线段的长．            【答案】 【解析】设，，， 则，，， ， ∵， ∴ ． ∴线段的长为． 【变式3】如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，，，分别为，，的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求．    【解】令，，方向上的单位向量分别为，，，则是单位正交基底． 因为 ， 所以， 所以的长度为． 综合攻坚·知能拔高 1．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，若共面，则有， 即，则该方程无解，故不共面； 对于B，若共面，则有， 即，显然无解，故不共面； 对于C，若共面，则有，显然该等式不成立， 故不共面； 对于D，易知，即共面. 故选：D 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为中点， 所以 .故选：A 3．（25-26高二上·四川眉山·期末）如图，在平行六面体中，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在平行六面体中，， 所以， 故选：A 4．（25-26高二上·湖南常德·期中）已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取中点，连接， 因为是的重心，， 所以 ，所以.故选：B 5．（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】由题意，在平行六面体 中，，， 由点P是与的交点，得， 而，因此 .故选：B 6．（25-26高二上·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 7．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【解析】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 8．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确； 故选：BD 9．（25-26高二上·贵州黔西南·阶段检测）已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有(    ) A．，，共面 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 【答案】AD 【解析】∵向量，，不能构成空间的一组基底，∴，，共面， ∵向量，，有共同的点，∴四点共面.故选：AD 10．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【答案】BD 【解析】对于AB，由题知，， ，故A错误，B正确； 对于CD，设点在平面的投影为点， 由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱， 所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为， 则，所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确． 11．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（       ） A． B． C．与的夹角为 D．三棱锥的体积为 【答案】AB 【解析】A选项，因为两两垂直，所以， 故，A正确； B选项， ，B正确； C选项， ， ， 由勾股定理得， 所以与的夹角余弦为， 故与的夹角为，C错误； D选项，， 因为， 所以三棱锥的体积为， 由于，D错误. 故选：AB 12．（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    【答案】 【解析】由题意知， 因为，所以，则. 13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正三棱锥中，是的中心，，则______________． 【答案】16 【解析】如图： 首先：，. 又. . 14．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【解析】由题知，设， 则， 又， 且 ， 因为，，，四点共面， 所以， 即， 又因为，则， 即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以. 15．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 【解】（1）. （2）． 16．（25-26高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 17．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 【解】（1）因为， 所以 ， . （2）由题意易知， 所以， ， 则 . 18．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知是平行六面体，、分别为棱和的中点． (1)化简，并在图中标出化简结果 (2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值． 【解】（1）取的中点，则 . （2）因为是底面的中心，则， 因为是侧面对角线上靠近的四等分点， 所以， 则， 又，则， 所以. 19．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 【解】（1）由图知， . （2）由题意， 由（1） ， 所以当时有最小值即有最小值； 此时，， 故， 且， 设与的夹角为，则. 20．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 21．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【解】（1）． （2），， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $