专题1.4 空间向量的应用专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.4 空间向量的应用 考点预览 考点一 直线的方向向量与平面的法向量 考点二 用向量证明平行与垂直 考点三 用向量求空间角 考点四 用向量求空间距离 考点五 空间向量的综合应用 一、知识填空 1．直线的方向向量与平面的法向量 （1）若 是直线 的方向向量，则 上任意非零向量都是 的方向向量，它们互相 。 （2）若 与平面 内的 个向量都垂直，则称 为平面 的法向量；一个平面的法向量有 个。 2．用向量证明平行与垂直 （1）设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 ； （且直线 不在平面 内）。 （2）设平面 的法向量分别为 ，则 ； 。 （3）设直线 的方向向量分别为 ，则 ； 。 3．用向量求空间角 （1）异面直线所成角 满足 （ 为两直线的方向向量）。 （2）直线与平面所成角 满足 （ 为直线方向向量， 为平面法向量）。 （3）二面角的大小与两半平面法向量的夹角的关系：当二面角为锐角时二者 ，当二面角为钝角时二者 。 4．用向量求空间距离 （1）点 到平面 的距离 （ 为平面 内一点， 为 的法向量）。 （2）直线与平面平行时的距离、两平行平面间的距离，都可以转化为 到平面的距离。 5．坐标法解题步骤 建立空间直角坐标系后：① 写点的坐标；② 求 向量或 向量；③ 代入公式求角或距离；④ 注意角的范围与 的取值。 自检自纠： 1．（1）平行 （2）所有（任意一个）；无数 2．（1）；0 （2）；0 （3） 3．（1） （2） （3）相等；互补 4．（1） （2）点 5．方向；法；三角函数值（符号） 二、考点专练 考点一 直线的方向向量与平面的法向量 方法与技巧： 1. 识别信号：求直线的方向向量、求平面的法向量，或验证某向量是否为法向量。 1. 操作流程：方向向量取直线上两点连线；法向量设 ，令它与平面内两个不共线向量的数量积都为 ，解方程组后取一个非零解。 1. 技巧·口诀：“方向向量两点定，法向量点积两个零”。 1. 易错点：法向量不唯一（任意非零倍数仍是法向量）；求出的解要代回验算点积为 。 【例题精讲】 1．已知 ，，则直线 的一个方向向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故直线 的一个方向向量为 。故选 A。 2．已知平面 内有两个不共线向量 ，，求平面 的一个法向量。 【答案】 【详解】设法向量 ，由 ，，取 得 。 【变式训练】 1．已知直线 经过点 和 ，则 的一个方向向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 的一个方向向量为 。故选 A。 2．已知 是平面 的法向量，则下列向量中也是 的法向量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法向量的任意非零倍数仍是法向量，，故它是 的法向量。故选 A。 3．已知 是平面 的法向量，且 在平面 内，则 （　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【详解】平面内的向量与法向量垂直，，故 。故选 A。 【巩固练习】 1．下列向量中，可以作为方向向量为 的直线 的方向向量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，与 共线且非零，可作为 的方向向量；D 是零向量不能作方向向量。故选 A。 2．已知 ，，则直线 的一个方向向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故方向向量为 。故选 A。 3．已知平面 的法向量 ，则平面 （　　） A．平行于 平面 B．垂直于 平面 C．一定经过原点 D．平行于 轴 【答案】A 【详解】法向量与 轴平行，说明平面垂直于 轴，即平行于 平面。故选 A。 4．已知 ，，则平面 的一个法向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，由 与 得 ，，取 得 。故选 A。 5．设直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【详解】，方向向量与法向量平行，故 。故选 A。 6．设直线 的方向向量分别为 ，，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．异面 D．无法判断 【答案】A 【详解】，两直线方向向量共线，故 。故选 A。 7．已知平面 的法向量分别为 ，，则 与 （　　） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法判断 【答案】A 【详解】，两法向量垂直，故两平面互相垂直。故选 A。 8．已知 ，，，则平面 的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。设 ，由 、 得 ，取 。故选 A。 考点二 用向量证明平行与垂直 方法与技巧： 1. 识别信号：判断或证明线线、线面、面面的平行与垂直，常以坐标或方向向量、法向量形式给出。 1. 操作流程：把几何关系翻译成向量关系——平行 共线（）；垂直 数量积为零（）。 1. 技巧·口诀：“平行找倍数，垂直找点积；线面关系看方向与法向”。 1. 易错点： 要求 不在平面 内，用向量只能得到方向向量与法向量垂直，需另作说明； 时直线可能在平面内。 【例题精讲】 1．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【详解】，方向向量与法向量共线，故 。故选 A。 2．已知两个平面的法向量分别为 ，，求证：这两个平面互相垂直。 【答案】两平面互相垂直 【详解】，故 ，两平面的法向量垂直，所以这两个平面互相垂直。 【变式训练】 1．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 的位置关系是（　　） A． 或 B． C． 与 斜交但不垂直 D．无法判断 【答案】A 【详解】，方向向量与法向量垂直，故 或 。故选 A。 2．已知平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断 【答案】A 【详解】，两法向量共线，故两平面平行。故选 A。 3．已知直线 的方向向量 ，平面 内有两个不共线向量 ，，则 与 的关系是（　　） A． 或 B． C． 与 斜交 D．无法判断 【答案】A 【详解】平面 的法向量 满足 ，可取 ；因 ，故 或 。故选 A。 【巩固练习】 1．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则（　　） A． B． C． D． 与 斜交 【答案】A 【详解】，方向向量与法向量共线，故 。故选 A。 2．若直线 的方向向量与平面 的法向量平行，则 与 的位置关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】方向向量与法向量平行，说明直线垂直于平面，即 。故选 A。 3．已知两平面 的法向量分别为 ，，则 与 （　　） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】A 【详解】，两法向量不垂直；又两法向量不成比例，故两平面相交但不垂直。故选 A。 4．已知直线 的方向向量分别为 ，，则（　　） A． B． C． 与 重合 D．无法判断 【答案】A 【详解】，两方向向量垂直，故 。故选 A。 5．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 的位置关系是（　　） A． 或 B． C． 与 斜交 D．无法判断 【答案】A 【详解】，方向向量与法向量垂直，故 或 。故选 A。 6．已知平面 内有两个不共线向量 ，，直线 的方向向量 ，则 与 的关系是（　　） A． B． C． 与 斜交 D．无法判断 【答案】A 【详解】平面 的法向量可取 ，而 ，方向向量与法向量共线，故 。故选 A。 7．下列说法正确的是（　　） A．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行 B．若直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直 C．若两平面的法向量垂直，则两平面平行 D．若两直线的方向向量垂直，则两直线一定相交 【答案】B 【详解】A 中直线还可能在平面内，错；方向向量与法向量平行说明直线垂直于平面，B 正确；两平面法向量垂直说明两平面垂直，C 错；两直线的方向向量垂直只说明它们垂直，可能异面，D 错。故选 B。 8．已知两个平面的法向量 ，，则这两个平面（　　） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法判断 【答案】A 【详解】，两法向量垂直，故两平面互相垂直。故选 A。 考点三 用向量求空间角 方法与技巧： 1. 识别信号：求异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角。 1. 操作流程：异面直线角用 ；线面角用 ；二面角用两半平面法向量的夹角（先判断锐钝，再定符号）。 1. 技巧·口诀：“线线角用余弦，线面角用正弦，面面角看锐钝”。 1. 易错点：三种角的范围不同——线线角 ，线面角 ，二面角 ；线面角不要漏加绝对值。 【例题精讲】 1．已知两异面直线的方向向量分别为 ，，则它们所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，故所成角为 。故选 A。 2．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，求 与 所成的角。 【答案】 【详解】，，，故 与 所成的角为 。 【变式训练】 1．已知两直线的方向向量分别为 ，，则两直线所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 2．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 与 所成的角为 （ 平行于 ）。故选 A。 3．已知二面角的两个半平面的法向量分别为 ，，则这个二面角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，两法向量的夹角为 ，故二面角为 。故选 A。 【巩固练习】 1．已知两异面直线 的方向向量分别为 ，，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故两直线所成角为 。故选 A。 2．已知两直线的方向向量分别为 ，，则两直线所成角的余弦值为（　　） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，故所成角为 。故选 A。 4．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故所成角为 。故选 A。 5．已知两直线的方向向量 ，，则两直线所成角的余弦值为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 6．若二面角的两个半平面的法向量分别为 ，，则二面角的大小可能为（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】，两法向量夹角为 ，故二面角为 或 。故选 A。 7．在棱长为 1 的正方体 中，以 为原点标准建系，则直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，。故选 A。 8．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，故所成角为 。故选 A。 考点四 用向量求空间距离 方法与技巧： 1. 识别信号：求点到平面的距离、平行直线（平面）间的距离、两平行平面间的距离。 1. 操作流程：求点 到平面 的距离，先取平面内一点 与法向量 ，再代公式 。 1. 技巧·口诀：“点面距离一条公式，投影长度除模长”。 1. 易错点：公式中取绝对值；求线面距、面面距时要先转化为点面距（在平面上找一个点）。 【例题精讲】 1．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【详解】，。故选 A。 2．已知平面 经过点 ，法向量 ，求点 到平面 的距离。 【答案】 【详解】，。 【变式训练】 1．已知平面 经过点 ，法向量 ，则点 到 的距离为（　　） A．3 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【详解】，。故选 A。 2．已知点 ，，则 （　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 【巩固练习】 1．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A．4 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】，。故选 A。 2．已知平面 经过点 ，法向量 ，则点 到 的距离为（　　） A．3 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．已知两平行平面 的法向量均为 ，，，则两平面间的距离为（　　） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 4．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 5．已知 ，，则 （　　） A．2 B．4 C．1 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 6．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A．3 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】，。故选 A。 7．已知直线 平面 ，，平面 经过点 且法向量 ，则 到 的距离为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 8．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A．5 B．10 C．2 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 考点五 空间向量的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：以正方体、长方体、四面体为载体，综合求角、距离或证明位置关系。 1. 操作流程：建系—写点—算向量—代公式。正方体常以顶点为原点、三条棱作坐标轴，棱长为单位长度。 1. 技巧·口诀：“正方体最听话，顶点原点棱作轴；先写坐标再算向量，角与距离逐个求”。 1. 易错点：写点坐标时注意方向与顺序（如 而非 ）；求二面角要结合图形判断锐钝。 【例题精讲】 1．在棱长为 1 的正方体 中，以 为原点， 为 轴正方向建系，求异面直线 与 所成角的余弦值。 【答案】 【详解】，，故 ；，，故 。。 2．已知 ，，，，求点 到平面 的距离。 【答案】 【详解】平面 的方程为 ，法向量 。取 ，，。 【变式训练】 1．在棱长为 1 的正方体 中标准建系，则异面直线 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，故所成角为 。故选 A。 2．已知 ，，，求 的面积。 【答案】 【详解】，，，，，故 。 3．已知平面 的法向量 ，，点 ，则 与点 到 的距离分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】，；。故选 A。 【巩固练习】 1．在棱长为 1 的正方体 中标准建系，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 2．已知 ，，，则 的面积为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，，，故 。故选 A。 3．在棱长为 1 的正方体（标准建系）中，点 到底面 （即 平面）的距离为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】底面 平面为 ， 的 坐标为 ，故距离为 。故选 A。 4．已知 ，，，则 （　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 5．在棱长为 1 的正方体（标准建系）中，直线 的方向向量为 ，则 与底面 所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底面法向量为 ，，故所成角为 。故选 A。 6．已知 ，，，则平面 的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，设 ，由 与 得 ，取 。故选 A。 7．已知点 ，，则 （　　） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 8．在棱长为 2 的正方体（标准建系）中，点 到平面 （即 平面）的距离为（　　） A．2 B．0 C． D．4 【答案】A 【详解】平面 的法向量为 ，点 的 坐标为 ，故距离为 。故选 A。 三、达标检测 1．已知 ，，则直线 的一个方向向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故直线 的一个方向向量为 。故选 A。 2．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【详解】，方向向量与法向量共线，故 。故选 A。 3．已知两平面 的法向量分别为 ，，则 与 （　　） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法判断 【答案】A 【详解】，两法向量垂直，故两平面互相垂直。故选 A。 4．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故所成角为 。故选 A。 5．已知两异面直线的方向向量分别为 ，，则它们所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，故所成角为 。故选 A。 6．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【详解】，。故选 A。 7．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则（　　） A． B． C． D． 与 斜交 【答案】A 【详解】，方向向量与法向量共线，故 。故选 A。 8．在棱长为 1 的正方体 中标准建系，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 9．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故所成角为 。故选 A。 10．已知 ，，，求平面 的一个法向量，并求点 到平面 的距离。 【答案】， 【详解】，，可取法向量 。平面 方程为 ，取 ，，。 11．在棱长为 1 的正方体 中标准建系，求异面直线 与 所成角的大小。 【答案】 【详解】，，；，，。，故所成角为 。 12．已知平面 的法向量 ，点 ，求点 到平面 的距离。 【答案】 【详解】，。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 空间向量的应用 考点预览 考点一 直线的方向向量与平面的法向量 考点二 用向量证明平行与垂直 考点三 用向量求空间角 考点四 用向量求空间距离 考点五 空间向量的综合应用 一、知识填空 1．直线的方向向量与平面的法向量 （1）若 是直线 的方向向量，则 上任意非零向量都是 的方向向量，它们互相 。 （2）若 与平面 内的 个向量都垂直，则称 为平面 的法向量；一个平面的法向量有 个。 2．用向量证明平行与垂直 （1）设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 ； （且直线 不在平面 内）。 （2）设平面 的法向量分别为 ，则 ； 。 （3）设直线 的方向向量分别为 ，则 ； 。 3．用向量求空间角 （1）异面直线所成角 满足 （ 为两直线的方向向量）。 （2）直线与平面所成角 满足 （ 为直线方向向量， 为平面法向量）。 （3）二面角的大小与两半平面法向量的夹角的关系：当二面角为锐角时二者 ，当二面角为钝角时二者 。 4．用向量求空间距离 （1）点 到平面 的距离 （ 为平面 内一点， 为 的法向量）。 （2）直线与平面平行时的距离、两平行平面间的距离，都可以转化为 到平面的距离。 5．坐标法解题步骤 建立空间直角坐标系后：① 写点的坐标；② 求 向量或 向量；③ 代入公式求角或距离；④ 注意角的范围与 的取值。 二、考点专练 考点一 直线的方向向量与平面的法向量 方法与技巧： 1. 识别信号：求直线的方向向量、求平面的法向量，或验证某向量是否为法向量。 1. 操作流程：方向向量取直线上两点连线；法向量设 ，令它与平面内两个不共线向量的数量积都为 ，解方程组后取一个非零解。 1. 技巧·口诀：“方向向量两点定，法向量点积两个零”。 1. 易错点：法向量不唯一（任意非零倍数仍是法向量）；求出的解要代回验算点积为 。 【例题精讲】 1．已知 ，，则直线 的一个方向向量是（　　） A． B． C． D． 2．已知平面 内有两个不共线向量 ，，求平面 的一个法向量。 【变式训练】 1．已知直线 经过点 和 ，则 的一个方向向量为（　　） A． B． C． D． 2．已知 是平面 的法向量，则下列向量中也是 的法向量的是（　　） A． B． C． D． 3．已知 是平面 的法向量，且 在平面 内，则 （　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【巩固练习】 1．下列向量中，可以作为方向向量为 的直线 的方向向量的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则直线 的一个方向向量是（　　） A． B． C． D． 3．已知平面 的法向量 ，则平面 （　　） A．平行于 平面 B．垂直于 平面 C．一定经过原点 D．平行于 轴 4．已知 ，，则平面 的一个法向量是（　　） A． B． C． D． 5．设直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则（　　） A． B． C． D．无法判断 6．设直线 的方向向量分别为 ，，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．异面 D．无法判断 7．已知平面 的法向量分别为 ，，则 与 （　　） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法判断 8．已知 ，，，则平面 的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 考点二 用向量证明平行与垂直 方法与技巧： 1. 识别信号：判断或证明线线、线面、面面的平行与垂直，常以坐标或方向向量、法向量形式给出。 1. 操作流程：把几何关系翻译成向量关系——平行 共线（）；垂直 数量积为零（）。 1. 技巧·口诀：“平行找倍数，垂直找点积；线面关系看方向与法向”。 1. 易错点： 要求 不在平面 内，用向量只能得到方向向量与法向量垂直，需另作说明； 时直线可能在平面内。 【例题精讲】 1．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则（　　） A． B． C． D．无法判断 2．已知两个平面的法向量分别为 ，，求证：这两个平面互相垂直。 【变式训练】 1．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 的位置关系是（　　） A． 或 B． C． 与 斜交但不垂直 D．无法判断 2．已知平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断 3．已知直线 的方向向量 ，平面 内有两个不共线向量 ，，则 与 的关系是（　　） A． 或 B． C． 与 斜交 D．无法判断 【巩固练习】 1．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则（　　） A． B． C． D． 与 斜交 2．若直线 的方向向量与平面 的法向量平行，则 与 的位置关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 3．已知两平面 的法向量分别为 ，，则 与 （　　） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 4．已知直线 的方向向量分别为 ，，则（　　） A． B． C． 与 重合 D．无法判断 5．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 的位置关系是（　　） A． 或 B． C． 与 斜交 D．无法判断 6．已知平面 内有两个不共线向量 ，，直线 的方向向量 ，则 与 的关系是（　　） A． B． C． 与 斜交 D．无法判断 7．下列说法正确的是（　　） A．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行 B．若直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直 C．若两平面的法向量垂直，则两平面平行 D．若两直线的方向向量垂直，则两直线一定相交 8．已知两个平面的法向量 ，，则这两个平面（　　） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法判断 考点三 用向量求空间角 方法与技巧： 1. 识别信号：求异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角。 1. 操作流程：异面直线角用 ；线面角用 ；二面角用两半平面法向量的夹角（先判断锐钝，再定符号）。 1. 技巧·口诀：“线线角用余弦，线面角用正弦，面面角看锐钝”。 1. 易错点：三种角的范围不同——线线角 ，线面角 ，二面角 ；线面角不要漏加绝对值。 【例题精讲】 1．已知两异面直线的方向向量分别为 ，，则它们所成的角为（　　） A． B． C． D． 2．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，求 与 所成的角。 【变式训练】 1．已知两直线的方向向量分别为 ，，则两直线所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 2．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 3．已知二面角的两个半平面的法向量分别为 ，，则这个二面角的大小为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知两异面直线 的方向向量分别为 ，，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 2．已知两直线的方向向量分别为 ，，则两直线所成角的余弦值为（　　） A．0 B． C． D．1 3．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 4．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 5．已知两直线的方向向量 ，，则两直线所成角的余弦值为（　　） A．0 B． C． D． 6．若二面角的两个半平面的法向量分别为 ，，则二面角的大小可能为（　　） A． 或 B． C． D． 7．在棱长为 1 的正方体 中，以 为原点标准建系，则直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 8．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 考点四 用向量求空间距离 方法与技巧： 1. 识别信号：求点到平面的距离、平行直线（平面）间的距离、两平行平面间的距离。 1. 操作流程：求点 到平面 的距离，先取平面内一点 与法向量 ，再代公式 。 1. 技巧·口诀：“点面距离一条公式，投影长度除模长”。 1. 易错点：公式中取绝对值；求线面距、面面距时要先转化为点面距（在平面上找一个点）。 【例题精讲】 1．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A．4 B．5 C．2 D．1 2．已知平面 经过点 ，法向量 ，求点 到平面 的距离。 【变式训练】 1．已知平面 经过点 ，法向量 ，则点 到 的距离为（　　） A．3 B．1 C．2 D．0 2．已知点 ，，则 （　　） A． B．2 C．1 D． 3．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A． B．2 C．1 D． 【巩固练习】 1．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A．4 B．1 C． D．2 2．已知平面 经过点 ，法向量 ，则点 到 的距离为（　　） A．3 B．5 C．2 D．1 3．已知两平行平面 的法向量均为 ，，，则两平面间的距离为（　　） A．3 B．1 C．0 D． 4．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A． B．3 C．1 D． 5．已知 ，，则 （　　） A．2 B．4 C．1 D． 6．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A．3 B．1 C． D．2 7．已知直线 平面 ，，平面 经过点 且法向量 ，则 到 的距离为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 8．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A．5 B．10 C．2 D． 考点五 空间向量的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：以正方体、长方体、四面体为载体，综合求角、距离或证明位置关系。 1. 操作流程：建系—写点—算向量—代公式。正方体常以顶点为原点、三条棱作坐标轴，棱长为单位长度。 1. 技巧·口诀：“正方体最听话，顶点原点棱作轴；先写坐标再算向量，角与距离逐个求”。 1. 易错点：写点坐标时注意方向与顺序（如 而非 ）；求二面角要结合图形判断锐钝。 【例题精讲】 1．在棱长为 1 的正方体 中，以 为原点， 为 轴正方向建系，求异面直线 与 所成角的余弦值。 2．已知 ，，，，求点 到平面 的距离。 【变式训练】 1．在棱长为 1 的正方体 中标准建系，则异面直线 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，，求 的面积。 3．已知平面 的法向量 ，，点 ，则 与点 到 的距离分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习】 1．在棱长为 1 的正方体 中标准建系，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，，则 的面积为（　　） A． B．1 C． D． 3．在棱长为 1 的正方体（标准建系）中，点 到底面 （即 平面）的距离为（　　） A．1 B．0 C． D． 4．已知 ，，，则 （　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 5．在棱长为 1 的正方体（标准建系）中，直线 的方向向量为 ，则 与底面 所成的角为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，，则平面 的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 7．已知点 ，，则 （　　） A． B．3 C．1 D． 8．在棱长为 2 的正方体（标准建系）中，点 到平面 （即 平面）的距离为（　　） A．2 B．0 C． D．4 三、达标检测 1．已知 ，，则直线 的一个方向向量是（　　） A． B． C． D． 2．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则（　　） A． B． C． D．无法判断 3．已知两平面 的法向量分别为 ，，则 与 （　　） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法判断 4．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 5．已知两异面直线的方向向量分别为 ，，则它们所成的角为（　　） A． B． C． D． 6．已知平面 的法向量 ，点 ，则点 到 的距离为（　　） A．4 B．5 C．2 D．1 7．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则（　　） A． B． C． D． 与 斜交 8．在棱长为 1 的正方体 中标准建系，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 9．已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 与 所成的角为（　　） A． B． C． D． 10．已知 ，，，求平面 的一个法向量，并求点 到平面 的距离。 11．在棱长为 1 的正方体 中标准建系，求异面直线 与 所成角的大小。 12．已知平面 的法向量 ，点 ，求点 到平面 的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $