专题1.5 空间向量法求空间中的位置关系专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量为工具，系统构建线线、线面、面面平行与垂直的向量判定体系，通过分层考点实现从概念到应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|2类6条判定|方向向量/法向量判定平行（共线）、垂直（数量积为0）|从向量基本概念到空间位置关系判定定理的推导| |考点1-7|每考点5题|法向量求解步骤、平行/垂直向量条件应用|从基础运算（求法向量）到复杂证明（含动点/折叠问题）的能力进阶|

专题1.5空间向量法求空间中的位置关系 【考点导航】 考点1：求平面的法向量 考点2：利用空间向量证明线线平行 考点3：利用空间向量证明线面平行 空间向量法求空 间中的位置关系 考点4：利用空间向量证明面面平行 考点5：利用空间向量证明线线垂直 考点6：利用空间向量证明线面垂直 考点7：利用空间向量证明面面垂直 【知识梳理】 1.空间中直线、平面平行的向量表示 )线线平行的向量表示：设凸，凸分别是直线4与马的方向向量，则台4‖4÷入∈R,使得 4=九42 (2)线面平行的向量表示：设“分别是直线的方向向量，n是平面的法向量，则 lla台u⊥n台n=0 ()面面平行的向量表示：设川，n分别是直线a与B的法向量，则‖B一%川%，分3入∈R,使得 n1=元n2 第1页共21页 n2 n 2.空间中直线、平面垂直的向量表示 (1)线线垂直的向量表示：设4,4分别是直线与的方向向量，则1，台41凸台44=0 a (2)线面垂直的向量表示：设“分别是直线I的方向向量，n是平面的法向量，则 lLa台ulln台孔eR,使得u=n (3)面面垂直的向量表示：设%，乃分别是直线Q与P的法向量，则“LB←%1历一几·元=0 B 1n2 n 【考点1：求平面的法向量】 BCD-48CD中，P是DD的中点，O为底面 0 1.(26-27高二上·全国课后作业)如图，在正方体 ABCD的中心.求证： OB 是平面PAC的一个法向量. C A B B 第2页共21页 2.(26-27高二上：河南漯河阶段检测)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，A⊥平面 ABCD,E为PD的中点，AB=AP=1,AD-V5 ,试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向 量 B 3.(专题1.9空间向量的应用-重难点题型精讲-2026-2027学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选 择性必修第一册))如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，A⊥平面ABCD,点E在线 段PC上，PC⊥平面BDE,设A=1,AD=2.求平面BPC的法向量： 第3页共21页 4.(26-27高二全国课后作业)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面 ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量. D 5.(25-26高二上四川成都期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD E为PD的中点， AB=AP=1 AD=3 ,试建立恰当的空间直角坐标系，求： D B (1)平面ACE的一个法向量 (2)直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量 第4页共21页 【考点2：利用空间向量证明线线平行】 1.(26-27高二上·全国课后作业)长方 体BCD-4BCD中，E,F分别是面对角线BA,AB上 上的点， DE=2EB BF=2FA EF∥AC 且 .求证： 2.(26-27高二全国课后作业)在长方 体MBCD-ABGD中，MB=3,AD=4,M=2 ,点M在棱 B上，且BM=2M,点S在DD上，且D=2SD,点XR分别为0，BC的中点，求证，NR 3.(26-27高二上·全国课后作业)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面 第5页共21页 BCD,E为CP的中点，N为DE的中点，DM=二DB,DA=DP=1l,CD=2,求证：MNI∥A p M 4.(26-27高一全国课后作业)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD, AD=AP,E是PD的中点，M,N分别在AB,PC上，且MN⊥AB,MN⊥PC.证明：AE/IMN N D 5.(25-26高二下·全国课堂例题)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E, F,G分别是棱AB,BC,CP,AP的中点，AB=AC=PA=2,求证：DGIIEF: G 第6页共21页 【考点3：利用空间向量证明线面平行】 1.(26-27高三·全国·一轮复习)如图所示，四边形ABCD是菱形，△ADE为等边三角形，且 AD=2,BE=3,D1B-号EG-号孤.Dc-3DF.证明：RG/平面ADE: E G C B 2.(25-26高二下·全国课堂例题)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平 面ABCD,且PA=AB=L,点E是PD的中点，求证：直线PB/I平面AEC; 第7页共21页 A 3.(25-26高二上福建莆田期末)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2,PC与平面 P所成角是45，F是1D的中点，M是PC的中点求证：DM/平面PF. ABCD M B ABCD-ABCD 4.(微主题一利用坐标法数学机械化)如图，已知正方体 ,动点E和F分别在线段DB 第8页共21页 DC DF=DE 和线段上（不包括端点），且 ,求证： BF∥平面BRCC D C 、F A B D E B ABC-ABC 5.(考点65空间向量的应用【讲】2026届高三数学黄金考点总动员)如图，在直三棱柱 中 ∠B4C=90°，AB=AC=2,M4=25.N是BG的中点，P是BC与BC 的交点 B B ABC-ABC (1)求直三棱柱 的体积： O AN (2)若兰是 的中点，证明： /平面4BC 第9页共21页 【考点4：利用空间向量证明面面平行】 1,(25-26高二下全国课堂例题)己知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD 且PA=AB=2,点E、F分别是CD、PA的中点，点G为线段PD上一点.确定点G的位置，使平面 GEF平面PBC,并证明. D 2.(1.2.2空间中的平面与空间向量一一课后作业（基础版）)如图，在长方 ABCD-ABCD中， AB=4 BC=3 CC=2 求证：平面4GB1/平ACD 平面 D B D 第10页共21页 3.(第七章立体几何与空间向量第三节？第二课时直线，平面平行的判定与性质（讲）)如图，在八面体 PABCDO PAD P-AB-C 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC,二面角 与二面角 O-CD-A 的大小都是30°，P=C0=v5,PD1AB.证明：平面PCD/平面Q1B. B 0 4.(26-27高二上山东烟台开学考试)如图，在长方体 BCD-48GD中，4B=4Bc=3CG=2 D B ACB∥ACD (1)求证：平面 平面 .(使用向量方法) 第11页共21页 BC AP∥ACD (2)线段 上是否存在点P,使得4P平面C心？若存在，求出点P的位置：若不存在，请说明理由 5.(26-27高二上全国课后作业)在正方体 BCD-ACD中，若0为4，G中点，O为4C中点 01 A B 求证： ,B0/1DO2 (1) 2B0∥平ACD 平面 ACD//BAC (3)平面 平面 【考点5：利用空间向量证明线线垂直】 ABC-ABC 1.(2025·上海·高考真题)如图，直三棱柱 ,底面△MBC中，CA=CB=l,∠BCA=90 A4=2 AA AB ,MN分别是、 的中点 第12页共21页 C B N A M (1)求的BM长； 21求os(B4,CB）的值： AB⊥CN (3)求证： ABC-ABC 2.(25-26高二全国·暑假作业)如图所示，直三棱柱 的底面 MBC中，CM=CB=1, ∠BCA=60°， 楼M=2,MN分别是4码、44 “的中点。 C B M A B (1)求BN的长； AB⊥CM (2)求证： 第13页共21页 3.(26-27高二上重庆巴南阶段检测)如图所示，已知直三棱 、ABC-ABC CA=CB=1AC⊥CB AA=2 M N 分别是所在棱上的中点。 AB⊥CM (1)求证： BN CB (2)求异面直线、 所成的角的余弦值 4.(25-26高二上重庆巴南期中)如图所示，直三棱柱 BC-4BG中，CM=CB=l,∠BCM=90,棱 A4=2M、N分别是 AB AA 的中点. B1 A1 M N B 第14页共21页 CM⊥NB (1)求证： AB CB (2)求直线 与直线所成夹角的余弦值. 5.(25-26高二下广东茂名·开学考试)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=AA,∠ACB=90°， E分别为MB,BB D E 中点， D (1)求证：CE⊥AD: (2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值， 【考点6：利用空间向量证明线面垂直】 1.（25-26高二下·福建宁德期中)如图，正四棱柱 BCD-4BGD中.D=2DA=4,0为D的中点， 第15页共21页 CCCC=4CE,M AA E在线 上， 为的中点 D C A M DE (1)证明： MCIIOE (2)证明：M0⊥平面DEB, 2.(25-26高二下·全国课堂例题)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AB=1, PA=AC=2,D是棱AC上一点，且AC=3AD,M为棱PC的中点.证明：PC⊥平面ABM; M 第16页共21页 3.(24-25高二上·贵州遵义期末)如图，底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD, PA=AB=2,M,N分别为AD,PC的中点 M (1)求证：MN∥平面PAB: (2)求证：MN⊥平面PBC. 4.(2026河北沧州·二模)如图，在直三棱柱 BC-4G中，BLBC,B=BC=M=之2D为4C 的中点，点E为枝B上一动点，且 BE=BB元∈(O,1) 第17页共21页 B E B D-ABC (1)求三棱锥 的体积： 平面4BG,求入的值 2刨若DE1平面 ABCD-ABCD 5.(25-26高二下江苏南通期中)如图，平行六面体 的底面 ABCD 是菱形，且 ∠CCB=∠CCD=∠BCD=O B D D CC⊥BD (1)求证： CD 2)当CC的值为多少时，AC1平面CBD?请给出证明. 第18页共21页 【考点7：利用空间向量证明面面垂直】 1.(25-26高二下·全国课堂例题)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面 ABCD,点E是线段BC的中点，AB=2,PA=BC=4,∠ABC=6O°.求证：平面PAE⊥平面PED. ABCD-ABCD AB=2BB=2 B.C 2.(25-26高二上·浙江嘉兴阶段检测)在正四棱柱 中， ,P为的中点 D y a取4中点M,4B中点W,求证：AW AD 平面PC BDD B 2求证：平面1PC1平面 第19页共21页 3.(25-26高二上山东济宁·期中)棱长为2的正方体 1BCD-ABCA中，E为DD的中点，F为D中 点， G AA 为的中点 D B A E B ABC D (1)证明： EF1平面 DC⊥ BDG (2)证明：平面 平面 4.(2026·重庆九龙坡·一模)如图，已知圆锥PO,AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A, B),BE=BP,CD=CP0<<） 3 D E 0 B C 1 ()若2=2，证明：4AD11平面0CB: 第20页共21页 (2)若PA=AB=2BC=4,平面ABD⊥平面PBC,求1的值. 5.(25-26高三上·宁夏中卫阶段检测)如图1，在边长为2的菱形MBCD中，∠B1D=60,DE11B 中， 点 △ADE E,将△MDB沿DE折起到 的位置，使4DLBE ,如图2. A C B B 图1 图2 A-BCD (1)求多面体 的体积； BP (2)在线段BD上是否存在点P,使平面AEP1平面A,BP?若存在，求出BD的值：若不存在请说明理由. 第21页共21页 专题1.5 空间向量法求空间中的位置关系 【考点导航】 【知识梳理】 1. 空间中直线、平面平行的向量表示 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线与的方向向量，则，使得； (2)线面平行的向量表示：设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. (3)面面平行的向量表示：设分别是直线与的法向量，则，使得. 2．空间中直线、平面垂直的向量表示 (1)线线垂直的向量表示：设分别是直线与的方向向量，则. (2)线面垂直的向量表示：设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. (3)面面垂直的向量表示：设分别是直线与的法向量，则. 【考点1：求平面的法向量】 1．（26-27高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，是的中点，为底面的中心．求证：是平面的一个法向量． 【答案】如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线 为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2， 则，，，，， 于是，，， 所以，， 所以，，所以，． 因为，平面，平面， 所以平面．所以是平面的一个法向量． 【分析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，求出，，再由线面垂直的判定定理可得答案. 【详解】略 2．（26-27高二上·河南漯河·阶段检测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【答案】（不唯一） 【分析】用垂直关系，可以以A为原点，以AB、AD、AP为坐标轴建立空间直角坐标系，再按照法向量的求法计算即可. 【详解】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz， 则，， ，，， 于是，， 设平面ACE的一个法向量为， 则，即，所以， 令，则，，即 所以平面ACE的一个法向量. 3．（专题1.9空间向量的应用-重难点题型精讲-2026-2027学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册））如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量； 【答案】（1，0，2） 【分析】由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD．利用线面垂直的性质定理与判定定理可得PC⊥BD，BD⊥平面PAC，即可证明BD⊥AC．又底面ABCD为矩形，可得ABCD为正方形．建立如图所示的空间直角坐标系．设平面BPC的法向量为（x，y，z），可得，即可得出平面BPC的一个法向量为． 【详解】解：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD． ∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD． 又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥AC． 又底面四边形ABCD为矩形，∴矩形ABCD为正方形． 建立如图所示的空间直角坐标系． A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），D（0，2，0）． （0，2，0），（﹣2，0，1）， 设平面BPC的法向量为（x，y，z）， 则，即，取（1，0，2）． ∴平面BPC的一个法向量为（1，0，2）． 4．（26-27高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，求平面的一个法向量. 【答案】 【分析】首先建立空间直角坐标系，然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解. 【详解】解：如图所示建立空间直角坐标系. 依题意可得，，，，于是， .设平面的法向量为，则，，于是 取，则，故平面的一个法向量为. 【点睛】本题考查平面法向量的求法，属于基础题. 5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 【考点2：利用空间向量证明线线平行】 1．（26-27高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【答案】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 【分析】建立空间直角坐标系，由向量共线坐标运算即可求证. 【详解】略 2．（26-27高二·全国·课后作业）在长方体中，，，．点M在棱上，且，点S在上，且，点N，R分别为，BC的中点，求证：． 【答案】证明:（方法1）设，，， 则， ， ∴，∴． 又∵，∴． （方法2）如图D-1-8所示，建立空间直角坐标系Axyz， 图D-1-8 根据题意得，，，． ∴，，，∴． ∵，∴． 【分析】设，，，分别用进行表示，然后简单判断即可得到结果. 【详解】略. 3．（26-27高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    【答案】证明: 证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以． 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】略.   4．（26-27高一·全国·课后作业）如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明：∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 【分析】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【详解】略． 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【答案】证明:依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． 【详解】略. 【考点3：利用空间向量证明线面平行】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，. 证明：平面； 【答案】证法一：如图①所示，取棱 上一点，使得， 连接，因为，所以，且， 又因为四边形为菱形，且，所以且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 证法二:如图②所示，取棱上一点，使得，连接， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为四边形为菱形，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 证法三：如图③所示，取的中点，连接，作，垂足为， 在菱形中，，所以为等边三角形，所以， 又因为，平面 ，所以平面， 在中，，可得， 由余弦定理得，可得， 所以，即， 因为，所以， 又因为平面，平面， 所以， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，又因为平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 所以， 因为平面，所以平面. 【分析】法一：取棱 上一点，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 法二:取棱上一点，分别证得平面和平面，得到平面平面，即可证得平面； 法三：取的中点，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再求得，结合，进而证得平面. 【详解】略. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明:因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】略. 3．（25-26高二上·福建莆田·期末）如图所示，垂直于正方形所在的平面，，与平面所成角是，是的中点，是的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由线面夹角的定义可知，与平面所成角的平面角为,则， 然后以点为原点，,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，标出个点坐标，计算出平面的法向量，证明即可. 【详解】证明：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由与平面所成的角为，得，则， 则，，，，，， ，，. 设平面PFB的法向量为，则，即. 令，则，，故平面的一个法向量为. ，， 又平面PFB，则平面PFB. 【点睛】本题考查线面平行的判定及证明，可采用空间向量法证明，证明的思路为：设平面的法向量为，直线，若，则//. 4．（微主题一利用坐标法数学机械化）如图，已知正方体，动点和分别在线段和线段上（不包括端点），且，求证：平面． 【答案】 证明法一（向量法）：设，则，， 因为， ①②得， 所以，则，，共面， 又平面，，平面，即平面； 法二（坐标法）：以为原点，，，分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则，， ，则，， ， 平面的法向量可以是， 因为，平面，所以平面． 【分析】法一：设，，应用向量加法的几何意义用表示出，结合向量共面的推论即可证；法二：构建合适的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，，标注相关点坐标，应用向量法计算证明线面关系. 【详解】略 5．（考点65空间向量的应用【讲】2026届高三数学黄金考点总动员）如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【答案】(1) (2) 由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 【分析】（1）棱柱体积等于底面乘以高，进而计算可得体积； （2）先求平面的法向量，进而证明即可得证. 【详解】（1）. （2）略 【考点4：利用空间向量证明面面平行】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】略 2．（1.2.2空间中的平面与空间向量——课后作业（基础版））如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】 以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【详解】略 3．（第七章立体几何与空间向量第三节?第二课时直线,平面平行的判定与性质（讲））如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB． 【答案】因为为正方形，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即， 又因为平面∥平面QBC，∥， 所以平面，且平面，则， 所以为二面角的平面角，即，    如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，即，所以∥， 且平面，平面，所以∥平面， 又因为∥，平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面QAB． 【分析】根据垂直关系分析可知，，建系，利用空间向量可得∥，根据题意结合线面、面面平行分析证明. 【详解】略 4．（26-27高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）略 （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 5．（26-27高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1) 以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. (2) 设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． (3) 证法一  ∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面, ∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 【分析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； （2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； （3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【考点5：利用空间向量证明线线垂直】 1．（2025·上海·高考真题）如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明：由（1）知， 所以， 则， 所以． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得的坐标，再求模即可； （2）分别求得的坐标，再利用向量的夹角公式求解； （3）分别求得的坐标，再判断是否为零即可. 【详解】（1）解：建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以， 则； （2）由（1）知， 所以， 则， 所以； （3）略. 2．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 3．（26-27高二上·重庆巴南·阶段检测）如图所示，已知直三棱柱，，，，、分别是所在棱上的中点． (1)求证：； (2)求异面直线、所成的角的余弦值. 【答案】(1) 如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝， ∴·＝－＋＋0＝0，即 (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法确定直线的位置关系； （2）利用向量法求异面直线所成的角. 【详解】（1）略 （2）由题意得B(0，1，0)，，∴＝(0，1，2)， ·∴.， 故所求异面直线、所成的角的余弦值 4．（25-26高二上·重庆巴南·期中）如图所示，直三棱柱中，，，棱．、分别是、的中点． (1)求证：； (2)求直线与直线所成夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可； （2）结合（1），利用坐标法求解即可. 【详解】（1）证明：因为直三棱柱中，， 所以两两垂直，故以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，、分别是、的中点． 所以，，，，，，， 所以， 所以，即， 所以 （2）解：根据（1）得，，，， 所以，， 所以 所以直线与直线所成夹角的余弦值为. 5．（25-26高二下·广东茂名·开学考试）如图，在直三棱柱'中，，，，分别为，的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）利用向量的基底表示计算，设，，，根据它们的模长相等和两两之间互相垂直可得数量积为零，将和表示成，计算得，可得；（2）将表示为的形式，然后计算，以及它们的模长，再代入计算余弦值即可. 【详解】设，，， 根据题意得，且 ∴，. ∴， ∴，即. （2）∵，∴，， ∵， ∴. ∴异面直线与所成角的余弦值为. 【点睛】利用向量的基本定理计算需要注意： （1）选择向量的基底，在空间中需要选择不共面的三个向量作为基底向量； （2）判断基底向量的模长以及计算出它们两两之间的数量积； （3）将所求向量表示为基底向量的形式，即，然后计算所求向量的数量积即可. 【考点6：利用空间向量证明线面垂直】 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 【答案】 证明：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 又，平面，故平面． 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证，进而利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】略 3．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1) 因为是矩形，所以， 因为底面，所以以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，且设，所以，，， ，，因为，分别为，的中点， 所以由中点坐标公式得，，则， 由题意得面的法向量为， 因为，面，所以平面. (2) 由题意得，， 设面的一个法向量为， 则，由题意得，令，解得， 得到，此时， 可得，故平面. 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 4．（2026·河北沧州·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点为棱上一动点，且，.    (1)求三棱锥的体积； (2)若平面，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由线面垂直推，结合等腰三角形得，证出垂直侧面，再利用等体积法转换顶点，代入棱长数值套用棱锥体积公式算出结果. （2）先证垂直平面得线线垂直，再建空间直角坐标系写出对应点与向量坐标，由线面垂直推出向量点积为零，列方程求解得出的值. 【详解】（1）由题可知，平面，平面，所以. 又，所以. 因为，，平面，所以平面. 易得，， 所以. （2）如图，过点作平面，交于点，所以. 由（1）得平面，平面，所以 所以分，，两两垂直. 所以分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.    则，，，， 可得，， 因为平面，所以. 即，所以，解得， 检验可知符合题意. 5．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律证明即可； （2）首先利用线面垂直的性质定理证明，若 平面 ，只需满足 ，然后利用空间向量数量积的运算律即可证明. 【详解】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 【考点7：利用空间向量证明面面垂直】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】略 2．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明: 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. (2)证明: 因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【详解】（1）略； （2）略. 3．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； (2)证明：由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【详解】（1）略 （2）略 4．（2026·重庆九龙坡·一模）如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.    (1)若，证明：平面OCE； (2)若，平面平面PBC，求λ的值． 【答案】(1) 取中点F，设与交于点G，连接，， 由知D为中点，且F为中点，则， 则E为中点，且G为中点， 因为O为中点，则， 且平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）作辅助线，根据几何性质可得，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面、平面PBC的法向量，根据面面垂直可得，运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面， 则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．    因， 则，，，，． 可得，，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量，则。 令，则，可得， 若平面平面，则，解得． 故的值为． 5．（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定定理证明平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）令，，分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直求出参数，即可得答案. 【详解】（1）因为，即, 又，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又，，平面，所以平面， 在直角三角形中，，， 所以. （2）因为平面，，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， 假设存在线段上存在一点，使得平面平面，设点，，则，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，所以， 若平面平面，则，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $